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2026 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1. 样本数据6,8,4,5,12的中位数为
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
2. 已知平面向量a,b不共线，且2a+yb = xa−3b，则
A. x = 2, y = −3 B. x = −2, y = 3
C. x = 2, y = 3 D. x = −2, y = −3
( ) ( √ )
7π 5π 5π 3 1
3. 已知集合A = sin ,cos ,tan ，B = − ,− ,1 ，则A∩B =
6 3 4 2 2
{ √ } { √ }
3 1 3
A. − ,− B. − ,1
2 2 2
{ } { √ }
1 3 1
C. − ,1 D. − ,− ,1
2 2 2
4. 曲线y = 5x+8lnx在点(1,5)处的切线方程为
A. y = 3x+2 B. y = 5x C. y = 8x−3 D. y = 13x−8
5. 已知抛物线C : y2 = 2p x(p > 0)和C : x2 = 2p y(p > 0)均经过点(4,8)，则C 的焦点
1 1 1 2 2 2 1
与C 的焦点之间的距离为
2
√
√
65
A. 12 B. 4 5 C. 6 D.
2
数学试题第1页（共4页）x+2
6. 已知函数f(x) = 的最大值为1，则a =
ex+a
1 3
A. B. 1 C. D. 2
2 2
7. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐
迩，该塔群共有 108 座塔，依山势自上而下排成 12 行，将第 i 行中塔的座数记为 a (i =
i
1,2,··· ,12)，其中a = 1, a = a = 3, a = a = 5，且a ,a ,··· ,a 是一个首项为7，公
1 2 3 4 5 6 7 12
差为2的等差数列。将a ,a ,··· ,a 分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构
1 2 12
成一个项数为6且公差为d(d > 0)的等差数列，则d =
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 设 U = {(x ,x ,x ) | x ∈ {−2,−1,1,2}, i = 1,2,3} 为空间中 64 个点构成的集合，点
1 2 3 i
P(1,1,1)，记样本空间Ω = ∁ (P)．从Ω中随机取一个点．定义随机变量X 如下：对Ω中
U
的每个点A(x ,x ,x )，令X(A) = x +x +x ，则X 的数学期望值为
1 2 3 1 2 3
1 1 1
A. − B. − C. 0 D.
21 63 7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设z = 3+2i，则
A. z¯= 3−2i B. |z| = 5
z+3
C. z2 = 5+12i D. ∈ R
z−i
10. 在空间中，A,B 为两个定点，动点C 到直线AB 的距离为2，动点D 到直线AB 的距离为
1．若二面角C −AB −D 为60◦，则
A. ∠CAD ≥ 60◦
√
B. CD ≥ 3
C. 当AB ⊥ CD 时，CD ⊥平面ABD
D. 当AB ⊥平面ACD 时，AC ⊥ AD
数学试题第2页（共4页）√
11. 已知圆C : (x+1)2+y2 = 1，圆C : (x−1)2+y2 = 1，圆C : x2+(y− 3)2 = 1，直线
1 2 3
l : y = kx+b与C ,C ,C 均有两个交点．记l被C ,C ,C 截得的弦长分别为s ,s ,s ，则
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A. k 可以取任意实数
B. 满足s = s = s 的直线l 共有3条
1 2 3
C. 满足s +s +s = 3的直线l 多于3条
1 2 3 √
2 21
D. 当b = 0时，s +s +s 的最大值为
1 2 3
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 双曲线5x2−6y2 = 1的离心率为 ．
π
13. 已知 f(x) = 2sin(ax+θ) (a ∈ Z,0 ≤ θ < 2π) 是偶函数；f(x) 在区间 (0, ) 单调递增．则
( ) 2
2π
θ = ，f = ．
3
14. 设实数q满足：存在数列{a }，使得对于任意n ∈ N∗，均有a +a +···+a = n2+n，且{a }中
n 1 2 n n
有某连续9项a ,a ,··· ,a 是公比为q的等比数列，则q的最大值为 ．
j j+1 j+8
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
如图，在直三棱柱ABC−A B C 中，∠ACB = 90◦，AC = BC，D,E 分别为AB,AC 的中
1 1 1 1
C
1
（1）证明：DE ∥平面BCC B ；
1 1 A B
1 1
点。（2）设CC = 2，直线DE 与平面ACC A 所成的角为45◦， E
1 1 1
C
求直线DE 到平面BCC B 的距离。
1 1
A D B
16.（15分）
√
√
3
已知在△ABC 中，AB = 3,BC = 2 3,cosB = 。
3
（1）求cosA；
√
（2）设D,E 两点满足：D在BA的延长线上，DE ∥ BC, AE ⊥ AC．若DE = 6，求CE．
数学试题第3页（共4页）17.（15分）
设整数N ≥ 2．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N 次，当且仅当被中1次时或N
次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为p(0 < p < 1)，各次投中与否相互独
立．记X 为停止练习时该同学的投篮次数。
1
（1）当N = 4,p = 时，求X 的分布列；
3
（2）设k,m均为自然数．
（i）当k ≤ N −1时，求P(X > k)；
（ii）当k+m ≤ N −1时，证明：P(X > k+m | X > k) = P(X > m)．
18.（17分）
x2 y2 1
已知椭圆C : + = 1(a > b > 0)的左焦点为F(−1,0)，离心率为 。
a2 b2 2
（1）求C 的方程；
（2）设O 为坐标原点，过F 且斜率大于0的动直线l与C 交于P,Q两点，其中Q在第三象
限，直线PQ与C 的另一个交点为R。
（i）若△PQR的面积是△PFO 的面积的3倍，求l 的方程；
（ii）求tan∠PQR的最小值。
19.（17分）
已知函数f(x)的定义域为R，且当x < 0时，f(x) = 2x．对任意x ∈ R，定义集合
0
D(x ) = {d ∈ R | f(x +d) > f(x )}.
0 0 0
（1）若当x ≥ 0时，f(x) = 1−x，求D(−1)；
（2）若f(x)是奇函数，f(x ) ≤ f(x )，且x x ̸= 0，证明：D(x ) ⊆ D(x )；
1 2 1 2 2 1
（3）设f(x)满足：（1）若f(x ) ≤ f(x )，则D(x ) ⊆ D(x )；（2）当0 < x < 1时，f(x) < f(0)。
1 2 2 1
（i）证明：f(0) ≥ 1；
（ii）证明：f(x)在区间(0,+∞)单调递增。
数学试题第4页（共4页）
