文档内容
高中数学必修二必备知识手册 2024 一轮复习
【平面向量及其应用】
1、在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量，而把只有大小没有方向的量称为数
量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量。
2、通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说
线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度。
向量可以用有向线段来表示。
3、向量 的大小称为向量 的长度（或称模），记作 。长度为0的向量叫做零向
量，长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
4、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，
因此，平行向量也叫做共线向量。
5、我们规定：对于零向量与任意向量 ，我们规定 。
6、一般地，我们有 ，当且仅当 、 方向相同时等号成立。
7、我们规定，与向量 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量。减去一个向量，
相当于加上这个向量的相反向量，即 。
8、一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作
，它的长度与方向规定如下：
（1） ；
（2）当 ＞0时， 的方向与 的方向相同；当 ＜0时， 的方向与 的方向相反。
9、向量的运算律：
设 ， 为实数，那么
1
学科网（北京）股份有限公司（ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ）
。
对于向量 ， ， ，和实数 ，有
（ 1 ） ； （ 2 ） （ 3 ）
特别地，我们有 ， 。
10、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量。对
于任意向量 ， ，以及任意实数 ， ， ，恒有 。
11、向量 （ ≠0）与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 。根据这个
定理，设非零向量 位于直线 上，那么对于直线 上的任意一个向量 ，都存在唯一的一
个实数 ，使 。也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非
零向量表示。
12、已知两个非零向量 ， ，O是平面上的任意一点，作 ， ，则∠AOB
＝ （0≤ ≤ ）叫做向量 与 的夹角。显然，当 ＝0时， 与 同向；当 ＝ 时，
与 反向。如果 与 的夹角为 ，我们说 与 垂直，记作 ⊥ 。
13、已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量 与
2
学科网（北京）股份有限公司的数量积（或内积），记作 ，即 。
14、设 ， 是两个非零向量， ， ，过 的起点A和终点B，分别作
所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到 ，我们称上述变换为向量 向向量
1 1
投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量。
15、对于任意的 ，向量 在向量 上的投影向量是 。
16、向量数量积有如下重要性质：
设 ， 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则
（1） ；
（2） ；
（3）当 与 同向时， ；当 与 反向时， ；特别地，
或 。
（4） 。
17、平面向量基本定理 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平
面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 。
18、若 ， 不共线，我们把{ ， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
19、两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。
20、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
21、实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
22、向量 ， （ ≠0）共线的充要条件是 。
3
学科网（北京）股份有限公司23、两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。由此可得，
（1）若 ，则 ，或 。
（2）设 ， ，则 。
24、设 ， 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，根据向量数
量积的定义及坐标表示可得 。
25、余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角
的余弦的积的两倍。余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。公式及
推论如下：
26、正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
，其中R指三角形外接圆的半径。
4
学科网（北京）股份有限公司【复数】
1、我们把形如 （ ， ）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所构
成的集合C＝{ | ， }叫做复数集。
2、复数通常用字母 表示，即 （ ， ）。以后不作特殊说明时，复数
都有 ， ，其中的 和 分别叫做复数 的实部与虚部。
3、在复数集C＝{ | ， }中任取两个数 ， （ ， ， ， ），
我们规定：
与 相等当且仅当 且 。
4、对于复数 （ ， ），当且仅当 ＝0时，它是实数；当且仅当 ＝ ＝0时，
它是实数0；当 ≠0时，它叫做虚数；当 ＝0且 ≠0时，它叫做纯虚数。
5、建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
6、复数 的模或绝对值，记作 或 ，即 ，其中 ，
。如果 ＝0，那么 是一个实数 ，它的模就等于 （ 的绝对值）。
7、一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫共轭虚数。复数 的共轭复数 用表示，即如果
，那么 。
7、两个复数相加，类似于两个多项式相加。设 ， （ ， ， ，
5
学科网（北京）股份有限公司）是任意两个复数，那么它们的和 。
8、对于任意 ， ， ，有
，（ ） （ ）。
9、两个复数相减，类似于两个多项式相减。设 ， （ ， ， ，
）是任意两个复数，那么它们的和 。
10、两个复数相乘，类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把 换成 ，并且把实部和
虚部分别合并即可。设 ， （ ， ， ， ）是任意两个复数，
那么它们的积
11、复数的除法法则是： （ ， ， ， 且
）。在进行复数运算时，通常先把 写成 的形式，再把分
子与分母都乘分母的共轭复数 ，化简后就可得到上面的结果。这里分子分母都乘分
母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”。
12、在复数范围内，实系数一元二次方程 （ ）的求根公式为：
（1）当 时， ；
（2）当 时， ；
6
学科网（北京）股份有限公司13、（选学）一般地，任何一个复数 都可以表示成 的形式，简
称三角形式。
【立体几何初步】
1、一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做
多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2、一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，
封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。
3、一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互
相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底
面，它们是全等的多边形；其余的各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面
的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
4、一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱
7
学科网（北京）股份有限公司柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体。
5、一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成
的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥
的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
6、棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、
四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体。底面是正多边形，并且顶点与底面中心的
连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。
7、用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台。
在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
8、由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
9、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，
旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转
而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
10、以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的
旋转体叫做圆锥。
11、用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
12、半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋
转体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫
做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
13、斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的 轴和 轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成
对应的 轴和 轴，两轴相交于点 ，且使∠ （或135°），它们确定的平
面表示水平面。
（2）已知图形中平行于 轴和 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴和 轴的线
段。
（3）已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 轴的线段，在
直观图中长度为原来的一半。
8
学科网（北京）股份有限公司14、正四面体的表面积为 （ 为棱长）。
15、一般地，如果棱柱的底面积是S，高是 ，那么这个棱柱的体积 。
16、一般地，如果棱锥的底面积是S，高是 ，那么这个棱柱的体积 。
17、由于棱台是棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
，
其中 、S分别为棱台的上、下底面积， 为棱台的高。棱台的高是指两底面之间的
距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点雨垂足之间的距离。
18、圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它的各个面的面积和。它们的表面积公式：
（ 是底面半径， 是母线长）
（ 是底面半径， 是母线长）
（ ， 是上、下底面半径， 是母线长）
19、圆柱、圆锥、圆台的体积公式
（ 是底面半径， 是高）
（ 是底面半径， 是高）
（ ， 是上、下底面半径， 是母线长）
20、球的表面积与体积
如果球的半径为R，那么
它的表面积是 ；它的体积是 。
21、基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。（或“不共线的三点
9
学科网（北京）股份有限公司确定一个平面”）
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线。
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”可以得到下面三个推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
22、我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。于是，空间两条直线的位置
关系有三种：
23、直线与平面的位置关系有些只有三种：
（1）直线在平面内--有无数个公共点；
（2）直线与平面相交--有且只有一个公共点；
（3）直线与平面平行--没有公共点。
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外。
24、两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行--没有公共点；
（2）两个平面相交--有一条公共直线。
25、基本事实4 平行于同一直线的两条直线平行。
26、定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与
交线平行。
定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。
27、已知两条异面直线 ， ，经过空间任一点O分别作直线 ， ，我们把直线
与 所成的角叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）。如果两条异面直线所成的角是
10
学科网（北京）股份有限公司直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。
28、一般地，如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互
相垂直，记作 。直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面。直线与平面垂
直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
29、过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线，则该
点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的
距离。
30、定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条
直线与另一个平面垂直。
31、一个直线 与平面 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜
面与平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面 引垂线PO，过垂足O
和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影
所成的角，叫做这条直线和平面所成的角。
32、一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线
到这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的
距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。
33、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，
这两个半平面叫做二面角的面。在二面角 的棱 上任取一点O，以点O为垂足，
在半平面 和 内分别作垂直于棱 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫
做二面角的平面角。
11
学科网（北京）股份有限公司【统计】
1、对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查。
2、在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体。
3、根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估
计和推断的调查方法，称为抽样调查。我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本
中包含的个体数称为样本量。调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据。
4、一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取 （1≤ ≤N）个个体
作为样本，
如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这
样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；
如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相
等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称简单随机抽样。
5、一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y，Y，…，Y ，则称
1 2 N
为总体均值，又称总体平均数。
如果总体的N个变量值中，不同的值共有 （ ）个，不妨记为Y ，Y ，…，
1 2
12
学科网（北京）股份有限公司Y，其中 出现的频数 （ ），则总体均值还可以写成加权平均数的形式
k
。
6、如果从总体中抽取一个容量为 的样本，它们的变量值分别为 ， ，…， ，则称
为样本均值，又称样本平均数。
7、一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子
总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起
作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层。在分层随机抽样
中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配。
8、一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据
小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值。可以通过下面的步
骤计算一组 个数据的第p百分位数：
第1步：按从小到大排列原始数据；
第2步：计算 ；
第3步：若 不是整数，而大于 的比邻整数为 ，则第p百分位数为第 项数据；若
是整数，则第p百分位数为第 项和第（ ＋1）项数据的平均数。
9、我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数。除了中位数外，常用的百分位数
还有第25百分位数，第75百分位数。这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四
等份，因此称为四分位数。
10、假设一组数据是 ， ，…， ，用 表示这组数据的平均数，我们称
为这组数据的方差，有时为了计算方差的方便，还可以写成 。
由于方差的单位是原始数据的单位的平方，为了使二者单位已知，我们对方差开平方，取
13
学科网（北京）股份有限公司它的算术平方根，即 ，我们称为这组数据的标准差。
11、如果总体中所有个体的变量值分别为 Y ，Y ，…，Y ，总体平均数为 ，则称
1 2 N
为总体方差， 为总体标准差。与总体均值类似，总体方差也
可以写成加权的形式。如果总体的N个变量值中，不同的值共有 （ ）个，不妨记
为Y，Y，…，Y，其中 出现的频数 （ ），则总体方差为
1 2 k
，
如果一个样本中个体的变量值分别为 ， ，…， ，样本平均数为 ，则称
为样本方差， 为样本标准差。
【概率】
1、我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E表示。
2、我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的
样本空间。一般地，我们用 表示样本空间，用 表示样本点。
3、一般地，随机试验中的每个随机时间都可以用这个试验的样本空间的子集来表示。我们
将样本空间 的子集称为随机事件，并把只包含了一个样本点的事件称为基本事件。
4、随机时间一般用大写字母A，B，C，…表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本
点出现时，称为事件A发生。
5、 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以
14
学科网（北京）股份有限公司总会发生，我们称 为必然事件。而空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会
发生，我们称 为不可能事件。
6、一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A
包含于事件B），记作 （或 ）。特别地，如果事件B包含事件A，事件A也
包含事件B，即 且 ，则称事件A与事件B相等，记作 。
7、一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A
中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作
（或 ）。
8、一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在
事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作
（或 ）。
9、一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说 是一个不可能事件，即
，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）。
10、一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即 ，
且 ，那么称事件A与事件B互为对立。事件A的对立事件记为 。
11、事件的关系或运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生
并事件（和事件） A与B至少一个发生 或
交事件（积事件） A与B同时发生 或
互斥（互不相容） A与B不能同时发生
15
学科网（北京）股份有限公司互为对立 A与B有且仅有一个发生 且
12、对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P
（A）表示。
13、我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，
简称古典概型。
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
14、一般地，设试验E是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件A包含其中的 个
样本点，则定义事件A的概率
，
其中 和 分别表示事件A和样本空间 包含的样本点个数。
15、概率的基本性质
性质1 对于任意的事件A，都有P（A）≥0。
性质2 必然事件的概率为1，不可能的事件概率为0。
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）。
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1➖P（A），P（A）＝1➖P
（B）。
性质5 如果A B，那么P（A）≤P（B）。
性质6 设A，B⊆是一个随机试验中的两个事件，我们有 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
➖P（A∩B）。
16、对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B
相互独立。
17、一般地，随着试验次数 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A发生的频率
会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A），我们称频率的这个性质为频率的稳定性。
16
学科网（北京）股份有限公司
