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高中数学选择性必修第一册必备知识手册 2024 一轮复习
【空间向量与立体几何】
1、O是直线 上一点，在直线 上取非零向量 ，则对于直线 上任意一点P，由数乘向量
的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数 ，使得 。
我们把与向量 平行的非零向量称为直线 的方向向量。这样直线 上任意一点都可以
由直线 上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量
确定。
2、如果表示向量 的有向线段 所在的直线OA与直线 平行或重合，那么称向量 平
行于直线 。如果直线OA平行于平面 或在平面 内，那么称向量 平行于平面 。平
行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
3、如果两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对（ ， ）使 。
4、向量 向向量 投影，得到与向量 共线的向量 ，则 ，向量
称为向量 在向量 上的投影向量。
5、三垂线定理 在平面的一条直线，如果与这个平面内的一条斜线在这个平面上的射影
垂直，那么它也与这条斜线垂直。
6、定理 如果三个向量 ， ， 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有
学科网（北京）股份有限公司序实数组（ ， ， ），使得 。
由此可知，如果三个向量 ， ， 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是
。这个集合可看作由向量 ， ， 生成的，我们把{ ，
， }叫做空间的一个基底， ， ， 都叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可
以构成空间的一个基底。
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单
位正交基底，常用{ ， ， }表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，
均可以分解为三个向量 ， ， ，使 。把一个空间向量分解为三个
两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。
7、在空间选定一点O和一个单位正交基底{ ， ， }，以点O为原点，分别为 ， ，
的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫
做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ，O叫做原点， ， ， 都叫做
坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面，
平面，它们把空间分成八个部分。画空间直角坐标系 时，一般使 °（或
45°）， °。在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向
轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
8、在空间直角坐标系 中， ， ， 为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向
学科网（北京）股份有限公司量 ，且点A的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数
组（ ， ， ）使 。在单位正交基底{ ， ， }下与向量 对应的
有序实数组（ ， ， ），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（ ， ，
），其中 叫做A点的横坐标， 叫做A点的纵坐标， 叫做A点的竖坐标。
9、在空间直角坐标系 中，给定向量 ，作 ，由空间向量基本定理，存在唯一
的有序实数组（ ， ， ）使 。有序实数组（ ， ， ）叫做 在空
间直角坐标系 中的坐标，上式可简记作 。这样，在空间直角坐标系中，
空间中的点坐标和向量都可以用三个有序实数表示。符号（ ， ， ）具有双重意义。
10、设 ， ，
， ，
，（ ） 。
当 时， （ ）
； ；
11、空间两点间的距离公式
12、在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表
示。我们把向量 称为点P的位置向量。
学科网（北京）股份有限公司13、给定空间一点A和一条直线 ，则过点A且垂直于直线 的平面是唯一确定的。我们可
以利用点A和直线 的方向向量来确定平面。若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们
称向量 为平面 的法向量。给定一个点A和一个向量 ，那么过点A，且以向量为法向
量的平面完全确定，可以表示为
集合{P| ＝0}。
14、若两条直线平行，则它们的方向向量平行；反之，若两条直线的方向向量平行，则这
两条直线平行。
15、一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线
的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直。
16、求直线 外一点P到直线 的距离
已知直线 的单位方向向量为 ，A是直线 上的定点，P是直线 外一点，
设 ，则向量 在直线 上的投影向量 ，在Rt APQ中，由勾股
△
定理，得 。
17、求平面 外一点P到平面 的距离
已知平面 的法向量为 ，A是平面 内的定点，P是平面 外一点。
过点P作平面 的垂线 ，交平面 于点Q，则 是直线 的方向向量，且点P到平面
的 距 离 就 是 在 直 线 上 的 投 影 向 量 的 长 度 。 因 此
。
18 、 若 异 面 直 线 ， 所 成 的 角 为 ， 其 方 向 向 量 分 别 是 ， ， 则
学科网（北京）股份有限公司。
19、直线AB与平面 相交于点B，设直线AB与平面 所成的角为 ，直线AB的方向向
量为 ，平面 的法向量为 ，则 。
20、平面 与平面 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角
称为平面α与平面β的夹角。若平面 ， 的法向量分别是 和 ，则平面 和平面
的夹角即为向量和的夹角或其补角。设平面 与平面 的夹角为 ，则
。
【直线和圆的方程】
1、当直线 与 轴相交时，我们以 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所称的
角 叫做直线 的倾斜角。当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°。因此，
直线的倾斜角 的取值范围为0°≤ ＜180°。
2、在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾
斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等。
3、直线 的倾斜角 与直线 上的两点P （ ， ），P （ ， ）（ ）的坐标
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有如下关系：
。
学科网（北京）股份有限公司4、我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 表示，
即 。倾斜角是 90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率。
5、由于正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同。因此，我们可以用斜率表
示倾斜角不等于90°的直线相对于 轴的倾斜程度，进而表示直线的方向。如果直线经过两
点P（ ， ），P（ ， ）（ ），那么斜率公式： 。
1 2
6、讨论两条存在斜率的直线，若 ，则 。反之，若 ，则 。
7、设两条直线 ， 的斜率分别为 ， ，则直线 ， 的方向向量分别是 ，
，于是 ，即 ，也就是说，
。
8、当直线 或 的倾斜角为90°时，若 ，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然。
9、一般地，我们把方程 称为过点 （ ， ），斜率为 的直线 的
方向，它由直线上一个定点（ ， ）及该直线的斜率 确定，我们把它叫做直线的点斜
式方程，简称点斜式。
10、当直线 的倾斜角为0°时，直线 的方程是 ；当直线 的倾斜角为90°时，直线
的方程是 。
11、我们把方程 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。其中 和 均有明显的
几何意义： 是直线的斜率， 是直线在 轴上的截距。值得强调的是，截距 是直线 与
学科网（北京）股份有限公司轴的交点的纵坐标。
12、当 时，经过两点P （ ， ），P （ ， ）的直线的斜率 。任
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取 P ，P 中的一点，例如，取点 P （ ， ），由直线的点斜式方程，得
1 2 1
，当 时，上式可写成 。这就是经过两点
P （ ， ），P （ ， ）（其中 ， ）的直线的方程，我们把它叫做直
1 2
线的两点式方程，简称两点式。
13、在P（ ， ），P（ ， ）中，如果 或 ，则直线PP 没有两点式方
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程。
14、我们把直线 与 轴的交点（ ，0）的横坐标 叫做直线在 轴上的截距，此时直线
在 轴上的截距是 。方程 由直线 在两条坐标轴上的截距 与 确定，我们把
方程 叫做直线的截距式方程，简称截距式。
15、我们把关于 ， 的二元一次方程 （其中A，B不同时为0）叫做直
线的一般式方程，简称一般式。当B≠0时，它表示过点（0， ），斜率为 的直线；
当B＝0，A≠0，它表示过点（ ，0），且垂直于 轴的直线。
16、平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍。
学科网（北京）股份有限公司17、点P（ ， ）到直线 ： 的距离
。
18、两条平行直线 与 间的距离为
。
19、已知AO是△ABC边BC的中线， 。
20、我们把 称为圆心为A（ ， ），半径为 的圆的标准方程。
21、△ABC的外接圆的圆心是△ABC的外心，即△ABC三边垂直平分线的交点。
22、一般地，圆的标准方程 可以变形为 ，
将变形后的方程左边配方，并把常数项移到右边，得 ，
①当 时，它是以（ ， ）为圆心， 为半径的圆；
②当 时，它表示一个点（ ， ）；
③当 时，它不表示任何图形。
因此，当 时， 表示一个圆，我们把它叫做圆
的一般方程。
23、在平面直角坐标系中，如果点P的坐标（ ， ）满足 ， 其中 为参
数，则点P的轨迹是圆心为（ ， ），半径为 的圆。
学科网（北京）股份有限公司【圆锥曲线的方程】
1、我们把平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数（大于|FF|）的点的轨迹叫做椭
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圆；这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦
距。
2、椭圆的标准方程与性质
3、我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用 表示，即 。 越接近
1，椭圆越扁平；反之， 越接近0，椭圆越接近于圆。
4、若点M（ ， ）与定点F（ ，0）（或F’（ ，0））的距离和它到定直线 ：
学科网（北京）股份有限公司（或 ： ）的距离的比是常数 （0＜ ＜ ），则点M的轨迹是一个椭
圆。定点F（ ，0）是椭圆的一个焦点，直线 ： 称为相应于焦点F的准线；定点
F’（ ，0）是椭圆的另一个焦点，直线 ： 称为相应于焦点F’的准线。
5、一般地，我们把平面内与两个定点F 、F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|
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FF|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲
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线的焦距。
6、一般地，双曲线 （ ＞0， ＞0）的两支向外延伸时，与两条直线
逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。实际上，双曲线与它的渐
近线无限接近，但永远不相交。
7、在双曲线方程 （ ＞0， ＞0）中，如果 ，那么方程变为
，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于 。这时，四条直线 ，
围成正方形，渐近线方程为 ，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚
轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
8、与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率。因为 ＞ ＞0，
所以双曲线的离心率 。
学科网（北京）股份有限公司9、如果动点M到定点F的距离与M到定直线 （不过点F）的距离之比为 ，当0＜ ＜1
时，点M的轨迹为椭圆；当 ＞1时，点M的轨迹为双曲线。当 ＝1时，点M的轨迹为
抛物线。
10、我们把平面内与一个定点F和一条定直线 （ 不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫
做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。
11、抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
12、直线 经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，设A（ ， ），B（
学科网（北京）股份有限公司， ），线段AB的长为 。
13、经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛
物线的准线于点D，则直线DB平行于抛物线的对称轴。
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