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高中数学必修一必备知识手册2024一轮复习
【集合与常用逻辑用语】
1、一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
2、只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
3、如果 是集合A的元素，就说 属于集合A，记作 ；如果 不是集合A中的元素，
就说 不属于集合A，记作 。
4、数学中一些常用的数集及其记法
数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记为R。
5、把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举
法。
6、一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征 的元素 所组成的
集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法。
7、一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称
集合A为集合B的子集，记作 （或 ），读作“A包含于B”（或“B包含于
A”）。
8、一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素
都是集合A的元素，那么集合 A与集合B相等，记作 A＝B。也就是说，若 且
学科网（北京）股份有限公司，则A＝B。
9、一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定：空集是任何集合的
子集。
10、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，就称集合A是集合B的真子集，记
作A B（或B A）。
集合子集的个数
⫋ ⫌
若一个集合的元素有 个，①它的子集个数有 个；②它的真子集个数有 个；③它的非空子
集个数有 个；④它的非空真子集有 个。
11、一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，
记作 （读作“A并B”），即
。
12、一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集
记作 （读作“A交B”），即
。
13、一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集
通常记作U。对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合
A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即
∁U
A，即
A＝ 。
U
14、集合之间的基本关系 ∁
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 ；
（2）对于集合A，B，C，如果 ，且 ，那么 。
（3） ； ；
学科网（北京）股份有限公司（4） ； 。
15、一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出 。这时，我们就说，
由 可以推出 ，记作 ，并且说， 是 的充分条件， 是 的必要条件。
16、将命题“若 ，则 ”中的条件 和结论 互换，就得到一个新的命题“若 ，则
”，称这个命题为原命题的逆命题。
17、如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均是真命题，即既有 ，又有
，就记作 ，此时 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是
的充分必要条件，简称为充要条件。显然，如果 是 的充要条件，那么 也是 的充要
条件。
18、短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。含
有全称量词的命题，叫做全称量词命题。通常，将含有变量 的语句 ， ， ，
…表示，变量 的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个 ， 成
立”可用符号简记为 。
19、短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表
示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。存在量词命题“存在M中的元素 ，
成立”可用符号简记为 。
20、一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意
一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可。也就是说，假定
全称量词命题为“ ”，则它的否定为“并非 ”，也就是“
不成立”。通常，用“ ”表示“ 不成立”。
学科网（北京）股份有限公司21、对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题： ，它的否定：
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题。
22、一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需要把“存在一个”
“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可。也
就是说，假定存在量词命题为“ ”，则它的否定为“不存在 ，使
成立”，也就是“ 不成立”。
23、对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：
存在量词命题： ，它的否定：
也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题。
【一元二次函数、方程和不等式】
1、一般地， ，有 ，当且仅当 时，等号成立。
学科网（北京）股份有限公司特别地，如果 ， ，我们用 、 分别代替上式中的 ， ，可得
，
当且仅当 时，等号成立。我们把它称为基本不等式。
其中 叫做正数 ， 的算术平均数， 叫做正数 ， 的几何平均数。
2、基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3、基本不等式的适用要求是公式中的 ， ，而且它们的和或者积为定值，最后
是存在使得等号成立的数值，我们把这三个特征简称为“一正二定三相等”。
4、基本不等式的推广
如果 ， ， ， ，当且仅当 时等号成立。
如 果 ， ， ， ， ， 当 且 仅 当
时等号成立。
5、不等式有如下性质：
定理内容
性质1 如果 ，那么 ；如果 ，那么 。即 。
性质2 如果 ， ，那么 。即 ， 。
性质3 如果 ，那么 。
性质4 如果 ， ，那么 ；如果 ， ，那么 。
性质5 如果 ， ，那么 。
性质6 如果 ， ，那么 。
性质7
如果 ，那么 （ ）。
6、一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式，称为一元二
次不等式，一元二次不等式的一般形式是
或 ，
学科网（北京）股份有限公司其中 ， ， 均为常数， 。
7、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
（
）的图像
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
（
没有实数根
）的根 （ ）
（ ）
（
R
）的解集
（
）的解集
8、求解一元二次不等式，通常是先画出 的图像，然后如果是求解 ，
实质上是求解图像在 轴上方部分的横坐标的集合；如果求解 ，实质上是求解图像
在 轴下方部分的横坐标的集合。通常我们可以用口诀来记忆，“大于找上方，小于找下
方”。
学科网（北京）股份有限公司【函数的概念与性质】
1、一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数 ，按照某种确定
的对应关系 ，在集合B中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合
A到集合B的一个函数，记作 。其中， 叫做自变量， 的取值范围A叫
做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函
数的值域。显然，值域是集合B的子集。
2、设 ， 是两个实数，而且 ，我们规定：
（1）满足不等式 的实数 的集合叫做闭区间，表示为[ ， ]；
（2）满足不等式 的实数 的集合叫做开区间，表示为[ ， ]；
（3）满足不等式 或 的实数 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[ ，
]、（ ， ]；
这里的实数与都叫做相应区间的端点。
不等式 数轴表示 集合表示 区间表示
[ ， ]
[ ， ]
[ ， ]
（ ， ]
3、实数集R可以用区间表示为（ ， ），“ ”读作“无穷大”，在它前面加上符
号，
学科网（北京）股份有限公司“ ”读作“负无穷大”，“ ”读作“正无穷大”。
我们可以把满足 的实数 的集合，用区间分别表示为[ ， ）表示，类似地，
， ， 可以分别用（ ， ），（ ， ]，（ ， ）来表示。
4、由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。因为值域是由
定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，
即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。常见的同一函数有：
① 和 ；② 和 。
5、一般地，设函数 的定义域为I，区间D I：
如果 ， ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间D
上单调递增。特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。
如果 ， ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间D
上单调递减。特别地，当函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。
6、一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1） ，都有 ；（2） ，使得 。
那么，我们称M是函数 的最大值。
7、一般地，设函数 的定义域为I，如果 ，都有 ，且 ，
那么函数 就叫做偶函数。
8、一般地，设函数 的定义域为I，如果 ，都有 ，且 ，
那么函数 就叫做奇函数。
学科网（北京）股份有限公司奇函数 偶函数
图像
对称性 关于原点对称 关于 轴对称
若定义域有 0，则 是极大值或极小
若定义域有0，则 ；
性质 值；
如果在（ ，0）单调递增，则在（ ， 在定义域内不可能是单调函数
增减性 ）上递增；同理，在（ ，0）单调递减，则
在（ ， ）上递减。
9、在定义域允许的情况下，
当 ， 都是偶函数，则 是偶函数；
当 ， 都是奇函数，则 是偶函数；
当 是奇函数， 是偶函数，则 是奇函数。
10、一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。对于幂函数，我们只
研究 ＝1，2，3， ， 时的图像与性质。
图像
定义 （ ，0） （0，
R R R [0， ）
域 ）
学科网（北京）股份有限公司（ ，0） （0，
值域 R [0， ） R [0， ）
）
奇偶
奇 偶 奇 非奇非偶 奇
性
（ ，0）减 （ ，0）减
单调
增 增 增
性
（0， ）增 （0， ）减
11、幂函数的相关结论：
（1）函数 ， ， ， 和 的图形都经过点（1，1）；
（2）函数 ， ， 是奇函数，函数 是偶函数；
（3）在区间（0， ）上，函数 ， ， ， 单调递增，函数
单调递减；
（4）在第一象限内，函数 的图像向上与 轴无限接近，向右与 轴无限接近。
【指数函数与对数函数】
1、一般地，如果 ，那么 叫做 的n次方根，其中 ，且 。
2、负数没有偶次方根。0的任何次方根都是0，记作 。
3、式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数，根据 次方根的意义，可得
。
4、当 为奇数时， ；当 为偶数时， 。
学科网（北京）股份有限公司5、我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 （ ， ， ， ）。
正数的负分数指数幂的意义是 （ ， ， ， ）。
6、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
7、对于任意实数 、 ，均有下面的运算性质：
（1） （ ， ， ）
（2） （ ， ， ）
（3） （ ， ， ）
8、一般地，函数 （ ，且 ）叫做指数函数，其中指数 是自变量，定义
域是R。
9、指数函数的图象和性质
图像
定义域 R
值域 （0， ）
（1）过定点（0，1），即 时
性质
（2）减函数 （2）增函数
10、一般地，如果 （ ，且 ），那么数 叫做以 为底N的对数，记作
，其中 叫做对数的底数，N叫做真数。
11、通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把 记为 。以无理数e＝
学科网（北京）股份有限公司2.71828…为底的对数称为自然对数，并把 记为 。
12、根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：
当 ，且 时， 。
13、负数和0没有对数； ， 。
14、对数运算性质：如果 ，且 ，M＞0，N＞0，那么
（1） ；
（2）
（3） （ ）
15、对数换底公式： （ ，且 ； ； ，且 ）
16、一般地，函数 （ ，且 ）叫做对数函数，其中指数 是自变量，
定义域是（0， ）。
17、对数函数的图象和性质
图像
定义
（0， ）
域
值域 R
（1）过定点（1，0），即 时
性质
（2）减函数 （2）增函数
18、一般地，指数函数 （ ，且 ）与对数函数 （ ，且
学科网（北京）股份有限公司）互为反函数，它们的定义域和值域互换。
19、对于一般函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点。这
样，函数 的零点就是方程 的实数解，也就是函数 的图象与
轴的公共点的横坐标。所以，
方程f ( x )＝0有实数解
⇔ 函数y＝f ( x )有零点
⇔ 函数y＝f ( x )的图像与x轴有公共点
20、函数零点存在定理 一般地，如果函数 在区间[ ， ]上的图象是一条连续
不断的曲线，且有 ，那么，函数 在区间（ ， ）内至少有一个
零点，即存在 （ ， ），使得 ，这个 也就是方程 的解。
21、对于在区间[ ， ]上图象连续不断且 的函数 ，通过不断地把
它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
的方法叫做二分法。
学科网（北京）股份有限公司【三角函数】
1、我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转
形成的角叫做负角，如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。这样我们就
把角的概念推广到了任意角。
2、一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
3、我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，弧度单位用符号rad
表示，读作弧度。根据这个规定，在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角为
rad，那么 。
4、一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
5、扇形的公式：
（1） ；（2） ；（3） 。
其中R是圆的半径， （ ）为圆心角， 是扇形的弧长，S是扇形的面积。
6、一般地，任意给定一个角 ，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标
还是纵坐标 ，都是唯一确定的。所以，点P的横坐标 、纵坐标 都是角 的函数。
7、设 是一个任意角， ，它的终边OP与单位圆相交于点P（ ， ），
我们把点P的纵坐标 叫做 的正弦函数，记作 ，即 ；
学科网（北京）股份有限公司把点P的横坐标 叫做 的余弦函数，记作 ，即 ；
把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做 的正切，记作 ，即 ；
可以看出，当 时， 的终边在 轴上，这时点P的横坐标 等于0，
所以 无意义。除此之外，对于确定的角 ， 的值也是唯一确定的。所以
也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的
函数，称为正切函数。
8、由三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数的值相等。
9、同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。
即 ，
。
10、诱导公式一~六
公式一 公式二 公式三
公式五 公式六
公式四
11、三角函数的图象与性质
函数
学科网（北京）股份有限公司图象
定义域 R R
值域 R
增区间
单
调
性
减区间 无
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称轴 无
对
称
性 对称中
心
最小正周期
12、和（差）角公式
13、倍角公式
14、简单的三角恒等变换
用cosα表示半角公式
学科网（北京）股份有限公司积化和差
和差化积
15、辅助角公式
，其中 ， 。
16、一般地，把正弦曲线 上的所有点向左（当 ＞0时）或向右（当 ＜0时）
平移 个单位长度，就得到函数 的图象。
17、一般地，函数 的周期是 ，把 图象上所有点的横坐
标缩短（当 ＞1时）或伸长（当0＜ ＜1时）到原来的 倍（纵坐标不变），就得到
的图象。
18、一般地，函数 的图象，可以看作是把 图象上所
有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）
学科网（北京）股份有限公司而得到。从而，函数 的值域是[－A ，A]，最大值是A，最小值是－A。
19、在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的
运动称为“简谐运动”。在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 ，
表示，其中A＞0， ＞0。A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物
理离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝ ，它是做简谐运动的物体往
复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式 给出，它是做简谐运
动的物体在单位时间内往复运动的次数； 称为相位； ＝0时的相位 称为初相。
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