文档内容
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——
2.2.3直线的一般式方程B
未命名
一、单选题
1．下列有关直线 的说法中正确的是（ ）．
A．直线 的斜率为 B．直线 的斜率为
C．直线 过定点 D．直线 过定点
2．已知直线 ： 的横截距与纵截距相等，则 的值为（ ）
A．1 B． C． 或2 D．2
3．如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
4．“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设 ， 为不同的两点，直线 .记 ，
则下列结论中正确的个数是（ ）
①不论 为何值，点 都不在直线 上；
②若 ，则过 的直线与直线 相交；
③若 ，则直线 经过 的中点.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个.
6．已知 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，则关于
和 的交点情况是（ ）
A．无论 ， ， 如何，总有唯一交点 B．存在 ， ， 使之有无穷多个交点
试卷第1页，共3页C．无论 ， ， 如何，总是无交点 D．存在 ， ， 使之无交点
二、多选题
7．如果 ， ，那么直线 经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线 必过定点
B．直线 在 轴上的截距为
C．直线 的倾斜角为60°
D．过点 且垂直于直线 的直线方程为
三、填空题
9．过点 ，且与直线 垂直的直线方程为______.
10．过点 且与直线 垂直的直线方程为______．（用一般式表示）
11．已知圆C： ，点P是圆C上的动点，点 ，当 最大时，
所在直线的方程是______.
12．直线 ,当 变动时,所有直线都通过定点______.
四、解答题
13．已知直线过点 和 两点
（1）求出该直线的直线方程(用点斜式表示)
（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x轴和y轴上
的截距.
14．已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.
试卷第2页，共3页（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线 与圆 交于 两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
15．已知直线l分别交梯形 两底 、 于M、N，若l恰平分梯形的面积，求
证：直线l恒过一定点.
16．求满足下列条件的直线方程：
(1)经过 ，且与直线 平行；
(2)在 轴上的截距与在 轴上的截距之差为3，且垂直于过 与 两点的直
线．
试卷第3页，共3页参考答案：
1．D
【分析】讨论 和 两种情况可得.
【详解】直线 可化为 ．
当 时，直线 的方程可化为 ，其斜率为 ，过定点 ；
当 时，直线 的方程为 ，其斜率不存在，过点( ，
所以A，B，C不正确，D正确．
故选：D.
2．C
【解析】由直线方程，分别令 ， ，然后根据直线横截距与纵截距相等求解.
【详解】由题意得： ，由直线 ： ，
令 ，得
令 ，得
因为直线 ： 的横截距与纵截距相等，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
故选：C
3．C
【分析】根据给定条件，确定直线的斜率和纵截距的取值即可判断作答.
【详解】因AB>0且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0的斜率 ，纵截距
，
所以直线Ax＋By＋C＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.
故选：C
4．A
【分析】直线 与直线 相互垂直得到 ，再利用充分必要条件的
定义判断得解.
答案第1页，共2页【详解】因为直线 与直线 相互垂直，
所以 ，
所以 .
所以 时，直线 与直线 相互垂直，所以“ ”是“直线
与直线 相互垂直”的充分条件；
当直线 与直线 相互垂直时， 不一定成立，所以“ ”是
“直线 与直线 相互垂直”的非必要条件.
所以“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；
（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
5．C
【分析】①通过分母不为0，确定 ，可以判断①的对错；②③通过对条件
整理变形，利用直线的相关性质判断.
【详解】因为 ，分母不为0，所以 ，所以不论 为何值，
点 都不在直线 上，①正确；
当 时，设 ，（ ），则 ， 为直线
上的两个点，显然直线 与直线 平行，故过 的直线与直线 不会
相交，②错误；
当 时，设 ，整理得： ，
答案第2页，共2页因为 ， ，所以 的中点坐标为 ，故若 ，则直线
经过 的中点.③正确；正确的个数为2个
故选：C
6．A
【分析】根据 在直线 可得 ，从而可得 有唯一交点，从
而可得正确的选项.
【详解】因为 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，
所以 即 ，
故 既在直线 上，也在直线 上.
因为 与 是两个不同的点，故 、 不重合，
故无论 ， ， 如何，总有唯一交点 .
故选：A.
7．ABC
【分析】确定直线 在 轴、 轴上截距的正负，数形结合可知直线
所经过的象限.
【详解】直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，
如下图所示：
答案第3页，共2页由图象可知，直线 经过第一、二、三象限.
故选：ABC.
8．ABD
【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令 ，得出在 轴上的截距，进而判断B；
将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出
斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.
【详解】 可化为 ，则直线 必过定
点 ，故A正确；
令 ，则 ，即直线 在 轴上的截距为 ，故B正确；
可化为 ，则该直线的斜率为 ，即倾斜角为 ，故C错误；
设过点 且垂直于直线 的直线的斜率为
因为直线 的斜率为 ，所以 ，解得
则过点 且垂直于直线 的直线的方程为 ，即 ，故
D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属
于中档题.
9．
【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为所求直线与直线 垂直，
所以所求直线的斜率为 ，
因为所求直线过点 ，
所以所求直线方程为 ，即 ，
故答案为：
【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题
答案第4页，共2页10．
【分析】与直线 垂直的直线方程可设为 ，再将点的坐标代入
运算即可得解.
【详解】解：与直线 垂直的直线方程可设为 ，
又该直线过点 ，则 ，
则 ，
即过点 且与直线 垂直的直线方程为 ，
故答案为： .
11．
【分析】设 ，在 中，由余弦定理，得 ，利用基本不等式
可以找到PM，易得此时 ，可得PM的斜率，从而求得PM的方程.
【详解】设 ，则 ，在 中，由余弦定理，得
，当且仅当 时，等号成立，此时 最大，且 ，
故 ，又 ，所以 ，故 所在直线的方程为
，即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查点斜式求直线的方程，涉及到余弦定理、基本不等式、圆等知识，考查
学生的计算能力以及逻辑推理能力，是一道中档题.
12．(3,1)
答案第5页，共2页【解析】将直线方程变形为 ,得到 ,解出 ,即可得到定点坐标.
【详解】由 ,得 ,
对于任意 ,式子恒成立,则有 ,
解出 ,
故答案为:(3,1).
【点睛】本题考查直线过定点问题,直线 一定过两直线
､ 的交点.
13．（1） ；（2）答案见解析.
【解析】（1）先求斜率，再利用点斜式写出直线方程；
（2）由 ，得 ，可化为 ，从而可得答案
【详解】解；（1）直线AB的斜率为
故直线AB的点斜式方程为： 或 .
（2）由 ，得 ，可化为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以斜截式： ，
一般式： ，
截距式： ，
在x轴上的截距为 ；在y轴上的截距为
答案第6页，共2页14．（1）相交，理由见解析；（2）
【分析】（1）根据直线方程确定直线恒过的定点，结合点与圆的位置关系，即可容易判断
直线与圆的位置关系；
（2）根据 中点在直线 上，结合 ，即可得到点 的轨迹方程，注意讨论斜率
是否存在.
【详解】（1）直线 ： ，也即 ，
故直线恒过定点 ，
又 ，故点 在圆 内，
此时直线 一定与圆 相交.
（2）设点 ，
当直线 斜率存在时， ，
又 ， ，
即 ，
化简可得： ；
当直线 斜率不存在时，显然中点 的坐标为 也满足上述方程.
故 点的轨迹方程为： .
【点睛】本题考查直线恒过定点的求解，点与圆的位置关系以及动点的轨迹方程，属综合
中档题.
15．证明见解析
【分析】建立直角坐标系，设 ， ， ， .设 ， （其
答案第7页，共2页中a、b、c、h为常数， 、 为参变量），根据梯形的面积公式可得
，由恒等式思想可得证.
【详解】证明：建立如图所示的直角坐标系，设 ， ， ，则 .
设 ， （其中a、b、c、h为常数， 、 为参变量），
则梯形 的面积 ，梯形 的面积 .
依题意， ， ，则 .①
又直线l的方程： ， .②
①-②消去 ，得 .
对 的任意实数值，上式恒成立.
（常数）
故直线l恒过定点 .
16．(1)
(2)
答案第8页，共2页【分析】（1）根据题意，设所求直线为 ，进而将A的坐标代入解出b，最后
得到答案；
（2）根据题意先求出直线MN的斜率，进而得到所求直线的斜率，并设为点斜式，然后根
据截距关系求出答案.
（1）
解：设所求直线的方程为 ，将 的坐标代入，得 ，则所求直线的方程为
.
（2）
解：由题意得 ，所求直线的斜率 .
设所求直线的斜截式方程为 .
当 时， ，当 时， ，由 ，得 ，
故所求直线的方程为 .
答案第9页，共2页
