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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章——
2.2.2直线的两点式方程B
未命名
一、单选题
1．一束光线从 点处射到y轴上一点 后被y轴反射，则反射光线所在直线
的方程是
A． B．
C． D．
2．下列说法中不正确的是（ ）.
A．点斜式 适用于不垂直于 轴的任何直线.
B．斜截式 适用于不垂直于 轴的任何直线.
C．两点式 适用于不垂直于 轴和 轴的任何直线.
D．截距式 适用于不过原点的任何直线.
3．已知 ，则直线
与坐标轴围成的三角形面积是
A．2 B．4 C． D．2或
4．设 的一个顶点是 ， 的平分线方程分别为 ，则直线
的方程为
A． B． C． D．
5．已知直线 ： 与直线 ： 交于点
， 为坐标原点，则直线 的方程为（ ）
A． B．
试卷第1页，共3页C． D．
6．过点 作直线l与两坐标轴的正半轴相交，所围成的三角形面积为2，则这样
的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．0条
二、多选题
7．已知直线 ： 在 轴和 轴上的截距相等，则 的值可能是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
8．下列说法错误的是（ ）
A．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
B．直线 的倾斜角 的取值范围是
C．过 ， 两点的所在直线的方程为
D．经过点 且在 轴和 轴上截距相等的直线方程为
三、填空题
9．过点 , 的直线方程（一般式）为___________.
10．经过点 ，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为
_________．
11．已知圆 和点 ，则过点 且与圆 相切的直线与两坐标轴围成
的三角形的面积等于________________．
12．坐标平面内过点 ，且在两坐标轴上截距相等的直线 的方程为___________.
试卷第2页，共3页四、解答题
13．已知三角形的三个顶点 .
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线方程.
14．已知直线 平行于直线 ，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，
求直线 的方程.
15．过点 作直线 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
𝑙
(1)当△AOB面积最小时，求直线 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直𝑙线 的方程.
𝑙
16．过点 作直线 分别交 轴、 轴的正半轴于 ， 两点．
(1)当 取最小值时，求出最小值及直线 的截距式方程；
(2)当 取最小值时，求出最小值及直线 的截距式方程．
试卷第3页，共3页参考答案：
1．B
【解析】由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得
直线方程．
【详解】由题得点 关于y轴的对称点 在反射光线所在的直线上，再根据点
也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为 ，
即 ，故选B.
【点睛】本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础
题．
2．D
【分析】由直线方程有意义分析可得各种形式的适用条件，从而得出答案.
【详解】解:点斜式中斜率 必须存在，因此直线不垂直于 轴，A正确；
斜截式中斜率 必须存在，因此直线不垂直于 轴，B正确；
两点式中分母不能为零，即两点的横坐标不能相等，纵坐标也不能相等，即直线不能垂直
于 轴，C正确；
截距式中两截距必须存在且都不为0，因此直线必须不过原点，也不能与坐标轴平行，D
错误．
故选：D．
【点睛】本题考查直线方程的四种形式的适用范围，属于基础题．解题时只要从各方程有
意义即可分析．
3．A
【分析】利用 ，求出m值，
然后求出直线 与坐标轴的交点，即可求解三角形的面积．
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ．
答案第1页，共2页所以直线方程为 它与坐标轴的交点为 与 ．
直线 与坐标轴围成的三角形面积是 ．
故选:A．
【点睛】本题考查直线的平行关系的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力,属于基础
题.
4．B
【分析】分析题意，求出A关于x＝0，y＝x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两
点式方程求解即可．
【详解】∵∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，∴AB与BC对于x＝0对称，AC与BC
对于y＝x对称．A（-3， 1）关于x＝0的对称点A'（3，1）在直线BC上，
A关于y＝x的对称点A''（1，-3）也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y＝
2x-5．
故选B．
【点睛】本题是基础题，考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，考查计算能力，
发现问题解决问题的能力，常考题型．
5．A
【分析】将两直线的一般式中的常数项均变为 ，验证 ， 的坐标是否均满足该直线的
方程即可判断.
【详解】直线 ： ，直线 ： ，
两式相减可得 .
因为点 ， 的坐标都满足该直线的方程，故点 ， 都在该直线上.
所以直线 的方程为 .
故选： .
【点睛】本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了
转化思想和分析问题，解决问题的能力.
答案第2页，共2页6．A
【分析】设直线的截距式方程，根据直线过点 ，可得 ，根据面积公式，得
，联立方程组，求解后即可判断.
【详解】根据题意设方程 ，
已知直线过过点 ，可得 ①，
根据直线与坐标轴围成的三角形面积为2，可知 ②，
联立①②解得 ，即满足条件的直线方程为
故选A.
【点睛】本题考查了求直线的截距式方程，考查了直线方程形式的灵活应用，当题目中涉
及直线与坐标轴的两个截距，求直线时，可选用截距式进行求解.
7．AD
【分析】当 时不符合题意，再讨论直线过原点时求出 的值，当直线不过原点时，求
出横截距和纵截距列方程即可求解.
【详解】当 时，直线为 不符合题意，所以 ，
若直线过原点，则 ，解得 ；
若直线不过原点，令 可得 ；令 可得 ；
所以在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，
所以 ，可得 ，
综上所述： 的值可能是1或 .
故选：AD.
8．ACD
【分析】根据直线垂直的充要条件判断A，由直线方程得出斜率再求倾斜角判断B，根据
两点式直线方程可判断C，由满足条件的直线 知D正误.
【详解】当 时，两直线方程分别为 和 ，此时也满足直线相互垂直，故 说
法错误；
答案第3页，共2页直线的斜率 ，则 ，即 ， ，故 说法
正确；
当 或 时，直线方程为 或 ，此时直线方程 不成立，故
C说法错误；
若直线过原点，则直线方程为 ，此时也满足条件，故D说法错误.
故选：ACD
9．
【分析】利用两点式方程可求直线方程.
【详解】∵直线过点 , ，∴ ，∴ ，
化简得 .
故答案为： .
10． 或
【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.
【详解】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为 ．
当 时，直线l过点 ，
又直线l过点 ，故直线l的斜率 ，
故直线l的方程为 ，即 ；
当 时，直线l的方程为 ，即 ，
∴直线l过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线l的方程为 ．
答案第4页，共2页综上可知，直线l的方程为 或 ．
故答案为： 或 .
11．
【分析】易知点 在圆 上，圆心 与 的连线的斜率的负倒数为
所求直线的斜率，写出直线方程，求截距后计算三角形面积.
【详解】易知点 在圆 上，圆心 与 的连线的斜率为
．
设切线斜率为 ，则 ．
所以过点A且与圆O相切的切线方程为 ，即 ．易知切线
在两坐标轴上的截距分别为5， ，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
．
【点睛】本题主要考查了直线和圆相切的位置关系，直线方程的求法，属于中档题.
12． 或 .
【解析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果.
【详解】当直线 在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线 的方程为 ；
当直线 在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线 的方程为 ，
又直线 过点 ，则 ，解得 ，所以直线 的方程为 ；
所以直线l的方程为 或 .
故答案为： 或 .
答案第5页，共2页【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式 ，只适用
于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截
距为b的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.
13．（1） （2）
【分析】（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；
（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜
式方程的求法求解即可.
【详解】解：（1） ， ， 直线BC的方程为 ，即
.
（2） ，
直线BC边上的高所在的直线的斜率为 ，
又 ，
直线BC边上的高的方程为: ，
即BC边上的高所在直线方程为 .
【点睛】本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜
式方程的求法，属基础题.
14． 或
【解析】设 ，求出直线在两坐标轴上的截距，利用面积公式可解得结果.
【详解】设 ，
当 时， ；
当 时， .
∵直线 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，
答案第6页，共2页∴ .
∴ .
∴直线 的方程为 或 .
【点睛】本题考查了两条直线平行，考查了截距的概念，考查了三角形的面积公式，属于
基础题.
15．（1） ；（2）
【分析】由题意设 ， ，其中 ， 为正数，可设直线的截距式为 ，代
点可得 ，
（1）由基本不等式可得 ，由等号成立的条件可得 和 的值，由此得到直线方程，
（2） ，由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
【详解】由题意设 ， ，其中 ， 为正数，可设直线的截距式为 ，
直线过点 ， ，
（1）由基本不等式可得 ，解得： ，当且仅当 ，即 且
时，上式取等号，
面积 ，则当 ， 时， 面积最小，此时直线 的方程为
，即 ，
（2）由于 ，当且仅当 ，
即 且 时取等号，
所以当 ， 时， 的值最小，此时直线 的方程为 ，即 ．
答案第7页，共2页【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．
16．(1) .
(2) .
【分析】（1）设 ,直线方程为 ,可推出 ,则 ,结
合基本不等式即可得出结论;
（2）由(1)可得 ,则可推出 ,结合基本不等式即可
求解.
(1)
解：根据题意可设直线l的方程为 ,则 ,
直线l过点 , ,
又 (当且仅当 ,即 时取等号),
,即 ,
的最小值为8,此时直线l的截距式方程为 .
(2)
解：由（1）可知 , ,则 ,
答案第8页，共2页(当且仅当 ,即 时取等号).
的最小值为4,此时直线l的截距式方程为 .
答案第9页，共2页
