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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题B
未命名
一、单选题
1．若平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，直线 与平面 的夹角为 ，则下
列关系式成立的是
A． B． C． D．
2．在棱长为2的正方体 中，点 在棱 上， ，点 是棱
的中点，点 满足 ，则直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在三棱锥 中，已知 ， ，平面
平面 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知正方体 的棱长为4，E为棱 的中点，点P在侧面
上运动，当平面 与平面 ，平面 所成的角相等时， 的最
试卷第1页，共3页小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在 九章算术 中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑
中， 平面BCD， ，且 ，M为AD的中点，则异面直线
BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如图， 和 所在平面垂直，且 ， ，
则（ ）
A．直线AD与直线BC所成角的大小为90°
B．直线AB与直线CD所成角的余弦值为
C．直线AD与平面BCD所成角的大小为45°
D．直线AD与平面BCD所成角的大小为60°
8．如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它
试卷第2页，共3页们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B． 平面
C．向量 与 的夹角是60°
D．直线 与AC所成角的余弦值为
三、填空题
9．已知 和 是异面直线， ， ，则 和 所成角的
大小为______．
10．如图，在棱长为4的正方体 中，M是棱 上的动点，N是棱
的中点.当平面 与底面 所成的锐二面角最小时， ___________.
11．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为 ，则这个三棱锥的侧面和底面所成二
试卷第3页，共3页面角的大小为________．
12．若直线a的方向向量为 ，平面α，β的法向量分别为 ，则下列命题为真命题
的序号是____.
（1）若 ⊥ ，则直线a∥平面α；
（2）若 ∥ ，则直线a⊥平面α；
（3）若 ，则直线a与平面α所成角的大小为 ；
（4）若 ，则平面α，β的夹角为 .
四、解答题
13．如果 分别是平面 的一个法向量，设 与 所成角的大小为 ，写出
与 之间的关系.
14．在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的
中点.
（1）求点 到直线 的距离；
（2）求直线 到平面 的距离.
15．如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ，
分别是 的中点.
试卷第4页，共3页（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
16．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为梯形， ，
，且 ．
（1）若点F为 上一点且 ，证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
试卷第5页，共3页参考答案：
1．D
【分析】根据线面角的正弦值的计算公式，判断出正确选项.
【详解】由于直线 与平面 的夹角为 ，
其中 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法，属于基础题.
2．B
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：如图，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
由题知 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为
故选：B
答案第1页，共2页3．A
【分析】取 的中点为 ，连接 ，证明 平面 ， ，然后建立空间直
角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
取 的中点为 ，连接
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
所以 平面
因为 ，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
答案第2页，共2页所以
所以异面直线 与 所成角的余弦值为
故选：A
4．D
【分析】构造正方体 ，设正方体的棱长为1， ,点 在线段
上移动.当 在 位置时， 最大，利用向量的夹角公式即得解.
【详解】利用作图法，构造正方体 ，设正方体的棱长为1，如图所示.
则 ， ，且点 在线段 上移动.
当 在 位置时， 最小，即 最大，
则 为最大值.
故选：D
答案第3页，共2页5．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系 ，
则 , . 设
则 易知平面 和平面 的一个法向量分别为
.设平面 的法向量为 ，
则 即
取 ，可得
所以 为平面 的一个法向量.
由题意,平面 与平面 ，平面 所成的角相等，
所以 .
或
在平面 上，直线 过点 和 的中点 ，
在平面 上，直线 只过点 ，即点 ，
答案第4页，共2页取 为 的中点,连接 ，则点 在 上运动或点 在点 处，
由等面积法可得 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向
量，利用向量的夹角公式求解.
6．C
【解析】画出四面体 ，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.
【详解】四面体 是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为
因为异面直线夹角的范围为 ，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题.
7．ABC
【分析】建立适当的空间直角坐标系，再求线线角和线面角即可.
答案第5页，共2页【详解】以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ， .
因为 ，所以 ，
即直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A正确..
因为 ，
所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为 ，B正确..
设AD与平面BCD所成的角为 ，因为 是平面BCD的一个法向量，
所以 ，所以 ，
即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C正确，D错.
故选：ABC.
8．AC
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断
正误即可．
【详解】解：对于 ，
答案第6页，共2页，
所以 ，选项 错误；
对于
，所以 ，即 ，
，所以 ，即 ，因
为 ， 平面 ，所以 平面 ，选项 正确；
对于 ：向量 与 的夹角是 ，所以向量 与 的夹角也是 ，
选项 错误；
对于 ，
所以 ，
，
同理，可得
，
所以 ，所以选项 正确．
故选：AC．
9．60°##
【分析】根据向量数量积求出 与 夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围即可
求出角．
答案第7页，共2页【详解】 ，
∵异面直线夹角范围是 ，
∴AB和CD所成角的大小为60°．
故答案为：60°．
10．
【分析】建立空间直角坐标系，分别得到平面 、平面 的法向量，然后按照公
式计算进行判断即可.
【详解】如图
设 ，
设平面 的一个法向量为
令 ， ，则
平面 的法向量的一个法向量为
答案第8页，共2页设平面 与底面 所成的锐二面角为
所以
当 时， 有最大，则 有最小，所以
故答案为：
11．
【分析】由题意作出正三棱锥 ，设 为底面 的中心，过 作 交
于点 ,连接 ，可得 为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件 ，得出
，从而得出答案.
【详解】如图在正三棱锥 中，设 为底面 的中心，连接 ,则 平面
.
过 作 交 于点 ,连接
则 ,又 ，且 ,所以 平面
则 ,所以 为侧面和底面所成二面角的平面角.
在正三角形 中， 为中心，
由条件有 ，可得
在直角三角形 中，
所以
故答案为：
答案第9页，共2页【点睛】本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，
属于中档题.
12．(2)(3)(4)
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，逐一判断线面，面面的关系即
可得出结论.
【详解】若 ⊥ ，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以(1)是假命题；
若 ∥ ，则 也是平面α的法向量，所以直线a⊥平面α，所以(2)是真命题；
直线与平面所成角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值，
所以(3)是真命题；
两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以(4)是真命题.
故答案为：(2)(3)(4).
13． 或 或
【分析】分析两个平面所成角为钝二面角、锐二面角、直二面角三种情况.
【详解】当两个平面 所成角为钝二面角，此时 ，当两个平面
所成角为锐二面角，此时 ，当二面角的平面角为直角时，
14．（1） ；（2） .
答案第10页，共2页【分析】（1）以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空
间直角坐标系，取 ， ，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点 到直
线 的距离；
（2）易证 平面 ，则点 到平面 的距离为直线 到平面 的距离，求
出平面 的一个法向量，再求出 ，根据点到面的距离公式，可得直线
到平面 的距离．
【详解】以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ， ， ，
.
（1）取 ， ，则 .
所以，点 到直线 的距离为 .
答案第11页，共2页（2）因为 ，所以 ，所以 平面 .
所以点 到平面 的距离为直线 到平面 的距离.
设平面 的法向量为 ，则
所以
所以
取 ，则 .所以， 是平面 的一个法向量.
又因为 ，所以点 到平面 的距离为 .
即直线 到平面 的距离为 .
15．（1）证明见解析；（2） .
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正
弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结 ，
答案第12页，共2页等边 中， ，则 ，
平面ABC⊥平面 ，且平面ABC∩平面 ，
由面面垂直的性质定理可得： 平面 ，故 ，
由三棱柱的性质可知 ，而 ，故 ，且 ，
由线面垂直的判定定理可得： 平面 ，
结合 平面 ，故 .
⊆
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC, 方向分别为x,y,z轴正方向建
立空间直角坐标系 .
设 ，则 ， , ，
答案第13页，共2页据此可得： ，
由 可得点 的坐标为 ，
利用中点坐标公式可得： ，由于 ，
故直线EF的方向向量为：
设平面 的法向量为 ，则：
，
据此可得平面 的一个法向量为 ，
此时 ，
设直线EF与平面 所成角为 ，则 .
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的
空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面
与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利
用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
16．（1）证明见解析（2）
【分析】（1）作 ，根据比例关系可知 ，从而可证得四边形 为平行
四边形，进而得到 ，由线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据垂直关系可以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得
结果.
【详解】（1）作 交 于 ，连接
答案第14页，共2页又 且 且
四边形 为平行四边形
平面 ， 平面 平面
（2） 平面 ， 平面
又 ，
则可以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
则 ， ， ，
， ，
设平面 的法向量
则 ，令 ，则 ，
答案第15页，共2页设直线 与平面 所成角为
【点睛】关键点点睛：线面平行的判定，关键要利用三角形中位线，平行四边形寻求直线
与直线的平行关系，利用线面平行的判定定理求解，属于中档题.
答案第16页，共2页
