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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系B
未命名
一、单选题
1．若平面α，β的法向量分别为 ， ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B．α，β相交但不垂直
C． D． 或α，β重合
2．在三棱柱 中， ， ， ，
则该三棱柱的高为（ ）
A． B． C．2 D．4
3．已知 ， ，则平面ABC的一个单位法向量为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，
， .对于结论：① ；② ；③ 是平面
的法向量；④ .其中正确的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．①②
5．如图，在长方体 中， ， ， ， 分别是
， ， 的中点，记直线 与 所成的角为 ，平面 与平面
试卷第1页，共3页所成二面角为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体 ，则下列叙
述正确的是（ ）
①平面 的法向量与平面 的法向量垂直；
②异面直线 与 所成的角为 ；
③四面体 有外接球；
④直线 与平面 所成的角为 .
A．②④ B．③ C．③④ D．①②③④
二、多选题
7．已知ν为直线l的方向向量， , 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那
么下列选项中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
试卷第2页，共3页8．如图，已知在长方体 中， ， ， ，点 为
上的一个动点，平面 与棱 交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥 的体积为
B．存在唯一的点 ，使截面四边形 的周长取得最小值
C．当点 为 的中点时，在直线 上存在点 ，使得
D．存在唯一一点 ，使得 平面 ，且
三、填空题
9．已知平面 ，写出平面 的一个法向量 ______．
10．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量 ，则直线 与平面
的位置关系是___________________．
11．在正方体 中，点 、 分别在 、 上，且 ，
，则下列结论：① ；② ；③ 平面 ；④
试卷第3页，共3页，其中，正确命题是________.
12．如图，在正方体 中，点 为线段 上的动点， 分别为棱
的中点，若 平面 ，则 _______．
四、解答题
13．如图，已知在正方体ABCD－ABC D 中，M，N，P分别是AD，BD，BC的中
1 1 1 1 1 1
点，利用向量法证明：
（1）MN∥平面CC DD；
1 1
（2）平面MNP∥平面CC DD．
1 1
14．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
用向量方法证明：
试卷第4页，共3页（1）E，F，G，H四点共面;
（2）BD//平面EFGH．
15．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 底面 ，
且 ，若E、F分别为 、 的中点.求证：
（1） 平面 ；
（2） 平面 .（用向量方法证明）
16．已知正方体ABCD－ABC D 中，E为棱CC 上的动点．
1 1 1 1 1
（1）求证：AE⊥BD；
1
（2）若平面ABD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
1
试卷第5页，共3页参考答案：
1．D
【分析】根据题意，结合面面位置关系的向量证明，即可求解.
【详解】根据题意，易知 ，故平面α，β的法向量共线，因此 或α，β重合．
故选：D.
2．B
【分析】设平面 的法向量为 ，根据向量的坐标运算求出 ，利用空间向
量法求出点 到平面 的距离.
【详解】设平面 的法向量为 ，则 所以 ，
令 ，则 ， ，所以以 是平面 的一个法向量．
点 到平面 的距离 ，故该三棱柱的高为 ．
故选：B
3．B
【分析】设平面 的法向量为 ，进而得 ，再根据 为单位向
量即可得答案.
【详解】设平面 的法向量为 ，
则有 取 ，则 .
所以 ．因为 ，
所以平面 的一个单位法向量可以是 .
故选：B
【点睛】本题考查平面的法向量的求法，考查运算求解能力，解题得关键在于掌握单位向
答案第1页，共2页量 的表示形式,是中档题.
4．B
【分析】求出 判断①不正确；根据 判断②正确；由 ，
判断③正确；假设存在 使得 ，由 无解，判断④不正确.
【详解】由 ， ， ， ，2， ， ，2， ，知：
在①中， ，故①不正确；
在②中， ， ， ，故②正确；
在③中， ， ，又因为 ， ，知
是平面 的法向量，故③正确；
在④中， ，3， ，假设存在 使得 ，则 ，无解，故④
不正确；
综上可得：②③正确．
故选：B．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平
面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
5．B
【分析】根据异面直线所成角定义可知 即为 ，由正三角形知 ，可证 ，
分别为平面 和平面 的垂线，视作平面法向量，利用其夹角可得二面角
答案第2页，共2页，即可求解.
【详解】连接 ,如图，
在长方体内知 ,
所以 为异面直线 与 所成的角为 ，
易知 为等边三角形，
所以 ，
因为 平面 , 平面 ，
所以
又 ，
所以 平面 ，
同理可得 平面 ，
则 ， 可分别视为平面 ，平面 的一个法向量，
又因为在长方体内易知 ，而
故 与 的夹角为 ，
答案第3页，共2页所以 或 ，
即 ，
故选：B
【点睛】求解二面角的常见方法有定义法、垂面法、投影面积法、空间向量法等，其中空
间向量法是利用二面角与两平面法向量夹角的关系，通过求向量夹角来达到求二面角的目
的．
6．C
【分析】①由题设四面体相关侧面的关系即可判断正误；②过 、 作 、 的平行线
且交于 ，连接 ，则 就是异面直线 与 的夹角，设 求相关边的长度，
再应用余弦定理求 ；③由四面体的性质即可知正误；④由面面垂直确定 与平
面 所成的角是 ，即知线面角的大小.
【详解】①平面 的法向量与平面 的法向量垂直，而与平面 的法向量不垂直，
故错误；
②过 作 的平行线，过 作 的平行线，两平行线交于点 ，联结 ，则 就
是异面直线 与 的夹角，过 作 ，联结 、 ，
若 ，则 ，
由 ，面 面 ，面 面 ， 面 ，
∴ 面 ， 面 ，则 ，同理可证 ，
∴ ， ，易得 ，故错误；
③由于所有的四面体都有外接球，故正确；
④因为 平面 ，所以 与平面 所成的角是 ，正确.
故选：C
7．AB
答案第4页，共2页【解析】法向量垂直于平面，根据两法向量的位置关系分别进行判断即可.
【详解】A选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等价于平面α，β平行，
正确；
B选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等价于平面α，β垂直，正确；
C选项，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，错误；
D选项，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，错
误.
故选：AB
【点睛】此题考查空间向量在立体几何中的应用，注意线属于面的特殊情况，属于较易题
目.
8．ABC
【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；将长方体的侧面 和 沿
棱 展开到同一平面，可判断B选项的正误；利用勾股定理求出 的长，可判断C选
项的正误；利用空间向量法可判断D选项的正误.
【详解】长方体 中， ， ， ，
对于A， ，
， 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，设点 到平面 的距离为 ，
过点 在平面 内作 ，如图1所示，
平面 ， 平面 ，则 ，
， 平面 ，且 ，
故 ，同理可得 ，
答案第5页，共2页所以 ，A对；
对于B选项，因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以， ，同理可得 ，
故四边形 为平行四边形，则四边形 的周长为 ，
将长方体的侧面 和 沿棱 展开到同一平面内，如图2所示，
则 的最小值为展开面中 的长度，此时 点为 与 的交点，
，
所以四边形 的周长的最小值为 ，B对；
对于 ， ，即 ，所以， ，
解得 ，C对；
对于D选项，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如图
1所示的空间直角坐标系 ，
答案第6页，共2页则 、 、 、 ，
设 ，则 ， ， ，
因为 平面 ，则 ，解得 ，即 ，D错.
故选：ABC.
9． （答案不唯一）
【分析】设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.
【详解】设法向量为 ，
则有 ，
令 得： ，所以
故答案为：
10． 或
【分析】由空间向量数量积的坐标表示可得 ，再由线面位置关系即可求解.
【详解】因为直线 的方向向量为 ，平面 的法向量 ，
答案第7页，共2页所以 ，所以 ，
所以 或 ，
故答案为： 或 .
11．①③
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角
坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所
示的空间直角坐标系，设正方体 的棱长为 ，
则 、 、 、 、 、 、 .
对于①， ， ，所以， ，
，①正确；
对于②， ，所以， 与 不共线，②错误；
对于③，平面 的一个法向量为 ，且 ，
平面 ，所以， 平面 ，③正确；
答案第8页，共2页对于④， ， ，
所以， 与 不垂直，④错误.
故答案为：①③.
【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：
（1）通过面面平行得到线面平行；
（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形
的性质；
（3）空间向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，然后说明直线不在平面内.
12．
【分析】以D为原点， 分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方
体 边长为2,用向量法求解.
【详解】如图所示,以D为原点， 分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
设正方体 边长为2,可得
答案第9页，共2页设 ，可得 可得 ,可得
.
设平面 的一个法向量 ，则有 ，即
不妨令x=-2，则 .
因为 平面 ，所以 ，
解得： ，即 .
故答案为： .
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法
向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有
相同的一个法向量即可..
【详解】（1）证明：以D为坐标原点， ， ， 的方向
分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，
D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).
由正方体的性质，知AD⊥平面CC DD，
1 1
答案第10页，共2页所以 ＝(2，0，0)为平面CC DD的一个法向量.
1 1
由于 ＝(0，1，－1)，
则 ＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，
所以 ⊥ .
又MN 平面CC DD，
1 1
所以M⊄N∥平面CC
1
D
1
D.
（2）证明：因为 ＝(2，0，0)为平面CC DD的一个法向量，
1 1
由于 ＝(0，2，0)， ＝(0，1，－1)，
则 ，
即 ＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，
所以平面MNP∥平面CC DD.
1 1
14．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由共面向量定理得证.
（2）用线面平行的判定定理证明.
【详解】证明：（1）如图所示，连接BG，
则 = + = + ( + )= + + = + ，
由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
（2）因为 = - = - = ( - )= ，
且E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD．
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD∥平面EFGH．
⊂ ⊄
答案第11页，共2页15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）通过计算得到 ，由此证得向量 共面，从而证
得 平面 .
（2）通过计算得到 ，由此证得 ，从而证得
平面 .
【详解】（1）依题意E、F分别为 、 的中点，所以
，
所以向量 共面，
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为侧面 底面 ，侧面 底面 ，底面 是正方形，
所以 平面 .
设 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，由 平面 ，可得 平面 .
【点睛】用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的
判定定理.
16．（1）证明见解析；（2）E为CC 的中点.
1
【分析】以D为原点，DA、DC、DD 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
1
（1）计算 即可证明；
（2）求出面ABD与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可．
1
【详解】以D为坐标原点，以DA，DC，DD 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间
1
答案第12页，共2页直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A(a，0，a)，C (0，a，
1 1
a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
（1） ＝(－a，a，e－a)， ＝(－a，－a，0)，
＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴ ，即AE⊥BD；
1
（2）设平面ABD，平面EBD的法向量分别为 ＝(x，y，z)， ＝(x，y，z)．
1 1 1 1 2 2 2
∵ ＝(a，a，0)， ＝(a，0，a)， ＝(0，a，e)
∴ ， ， ， .
∴ ,
取x＝x＝1，得 ＝(1，－1，－1)， ＝(1，－1， )．
1 2
由平面ABD⊥平面EBD得 ⊥ .
1
∴2－ ＝0，即e＝ .
∴当E为CC 的中点时，平面ABD⊥平面EBD.
1 1
答案第13页，共2页
