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1.2 空间向量基本定理-基础练
一、选择题
1.有以下命题： 如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线；
为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，则点 一定共面； 已
知向量 是空间的一个基底，则向量 也是空间的一个基底 其中正确的命题
是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线，不正
确．反例：如果 中有一个向量为零向量， 共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．
，A，B，C为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；
这是正确的． 已知向量 是空间的一个基底，则向量 ，也是空间的一个基底；
因为三个向量非零不共线，正确．故选C．
2.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b} C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b,c}
【答案】C
【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.
3.如图,在平行六面体ABCD-A BC D 中,AC与BD的交点为点M, =a, =b, =c,则下列向量中与
1 1 1 1 ⃗AB ⃗AD ⃗A A
1
相等的向量是( )
⃗C M
11 1 1 1 1 1 1 1
A.- a+ b+c B. a+ b+c C.- a- b-c D.- a- b+c
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】C
1 1 1
【解析】⃗C M=⃗AM-⃗AC = (⃗AB+⃗AD)-(⃗AB+⃗BC+⃗CC )=- a- b-c.
1 1 2 1 2 2
4.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=⃗OA+⃗OB+⃗OC,向量b=⃗OA+⃗OB-⃗OC,则不能与a,b构成空
间的一个基底的是( )
A.⃗OA B.⃗OB C.⃗OC D.⃗OA或⃗OB
【答案】C
1
【解析】∵a=⃗OA+⃗OB+⃗OC,b=⃗OA+⃗OB-⃗OC,∴⃗OC= (a-b),∴⃗OC与向量a,b共面,
2
∴⃗OC,a,b不能构成空间的一个基底.
5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量 ，则 与任何向量都不能构成空间的一个基底
C． 是空间四点，若 不能构成空间的一个基底，那么 共面
D．已知向量 组是空间的一个基底，若 ，则 也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【解析】选项 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以
正确；选项 中，根据空间基底的概念，可得 正确；选项 中，由 不能构成空间的一个基
底，可得 共面，又由 过相同点B，可得 四点共面，所以 正确；选
项 中：由 是空间的一个基底，则基向量 与向量 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以 正确．故选：ABCD.
6．（多选题）设 ， ， 是空间一个基底
A．若 ， ，则
B．则 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面
C．对空间任一向量 ，总存在有序实数组 ， ， ，使
D．则 ， ， 一定能构成空间的一个基底
【分析】利用 ， ， 是空间一个基底的性质直接求解．
【解答】解：由 ， ， 是空间一个基底，知：
在 中，若 ， ，则 与 相交或平行，故 错误；
在 中， ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面，故 正确；
在 中，对空间任一向量 ，总存在有序实数组 ， ， ，使 ，故 正确；
在 中， ， ， 一定能构成空间的一个基底，故 正确．故选： ．
二、填空题
7.在空间四边形OABC中,⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,点M在线段AC上,且AM=2MC,点N是OB的中点,则⃗MN
=______.
1 1 2
【答案】 - a+ b- c
3 2 3
2 2 1
【解析】⃗MA= ⃗CA= (⃗OA-⃗OC),⃗ON= ⃗OB, ⃗MN=⃗MO+⃗ON=⃗MA+⃗AO+⃗ON=
3 3 2
2 1 1 1 2
(a-c)-a+ b=- a+ b- c.
3 2 3 2 3
8．在正方体ABCD-A BC D 中,设 =a, =b, =c,AC 与BD 的交点为E,则 = .
1 1 1 1 ⃗AB ⃗AD ⃗A A 1 1 1 1 ⃗BE
1
1 1
【答案】 - a+ b+c
2 21 1 1 1
【解析】如图,⃗BE=⃗BB +⃗B E=⃗A A + (⃗B C +⃗B A )=⃗A A + (⃗AD-⃗AB)=- a+ b+c.
1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2
9.若a=e+e,b=e +e,c=e +e,d=e +2e+3e,若e,e,e 不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ= .
1 2 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3
【答案】3
{α+γ=1,
【解析】由已知d=(α+γ)e+(α+β)e+(γ+β)e,所以 α+β=2,故有α+β+γ=3.
1 2 3
γ+β=3,
10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体 中， ， 分别为棱 、 的中点，设
， ， ，用 ， ， 表示向量 ______，异面直线 与 所成角的余弦
值为______.
【答案】 . .
【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则
(1) .
(2)由(1) ,又 .
又 .设异面直线 与 所成角为 则.
三、解答题
11.已知{e ,e,e}是空间的一个基底,且 =e+2e-e , =-3e +e+2e, =e+e-e ,试判断{ }能
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量 =2e-e+3e;若不能,请说明理由.
1 2 3
【答案】能， =17 -5 -30 ．
【解析】能作为空间的一组基底．
假设 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使 =x +y 成立
又因为
是空间的一个基底,所以 不共面.
因此 此方程组无解,即不存在实数x,y使 =x +y ,
所以 不共面.故{ }能作为空间的一个基底.
设 =p +q +z ,则有
因为 为空间的一个基底,所以 解得故 =17 -5 -30 .
12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E是上底面A'B'C'D'的中心,取向量 为基底的基向量,在
⃗AB,⃗AD,⃗AA'
下列条件下,分别求x,y,z的值.
(1) =x +y +z ;
⃗BD' ⃗AD ⃗AB ⃗AA'
(2) =x +y +z .
⃗AE ⃗AD ⃗AB ⃗AA'
【答案】见解析
【解析】 (1)因为 =- ,又 =x +y +z ,
⃗BD'=⃗BD+⃗DD'=⃗BA+⃗AD+⃗DD' ⃗AB+⃗AD+⃗AA' ⃗BD' ⃗AD ⃗AB ⃗AA'
所以x=1,y=-1,z=1.
1 1 1 1
(2)因为⃗AE=⃗AA'+⃗A'E=⃗AA'+ ⃗A'C'= ⃗AA'+ ( ⃗A'B'+⃗A'D')= ⃗AD+ ⃗AB+⃗AA',
2 2 2 2
又 =x +y +z ,
⃗AE ⃗AD ⃗AB ⃗AA'
1 1
所以x= ,y= ,z=1.
2 2
