第一章空间向量与立体几何--复习小结(解析版)_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_02.同步练习_1.同步练习

第一章 空间向量与立体几何--复习小结 一、选择题 1．（2020·江西省高二期中）在四面体 中，点 在 上，且 ， 为 中点，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在四面体 中，点 在 上，且 ， 为 中点， 所以 ， 即 .故选：B. 2. （2020·南昌市八一中学高二期末（理））设 ，向量 且 ，则 （ ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【解析】 ,, ,故选C. 3．（2020·延安市第一中学高二月考（理））在棱长为2的正方体 中， ， 分别为 棱 、 的中点， 为棱 上的一点，且 ，设点 为 的中点，则点 到平面 的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标系， 1 则M（2，λ，2），D（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1）， 1 ＝（﹣2，0，1）， ＝（0，2，0）， ＝（0，λ，1）， 设平面DEF的法向量 ＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得 ＝（1，0，2）， 1 ∴点M到平面DEF的距离为：d＝ ，N为EM中点，所以N到该面的距离为 ， 1 选D．4．（2020·浙江省杭州第二中学高二）空间线段 ， ，且 ，设 与 所成的角为 ， 与面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为空间线段 ， ，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形， 并以 点为原点构建空间直角坐标系： 因为 ，所以可设 ， ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， 故 与 所成的角 的余弦值 ， 因为根据矩形的性质易知平面 平面 ， 平面 ，所以二面角 的平面角为 ， ， ，所以 即 与面 所成的角 ， 故 ，因为 ，所以 ，故选：A. 5．（多选题）（2019·山东省青岛二中高二期末）在四面体 中，以上说法正确的有（ ）A．若 ，则可知 B．若Q为 的重心，则 C．若 ， ，则 D．若四面体 各棱长都为2，M，N分别为 ， 的中点，则 【答案】ABC 【解析】对于 ， ， ， ， ， 即 ，故 正确；对于 ，若Q为 的重心，则 ， ， 即 ，故 正确；对于 ，若 ， ，则 ， ， ， ， ， 故 正确； 对于 ， ，， ，故 错误.故选： 6.（多选题）（2020·江苏省高二期中）如图，在菱形 中， ， ，将 沿对 角线 翻折到 位置，连结 ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A． 与平面 所成的最大角为 B．存在某个位置，使得 C．当二面角 的大小为 时， D．存在某个位置，使得 到平面 的距离为 【答案】BC 【解析】如图所示： 对A，取BD的中点O，连结OP，OC，则当 时， 与平面 所成的最大角为 ，故 A错误；对B，当 时，取CD的中点N，可得 所以 平面PBN，所以，故B正确；对C，当二面角 的大小为 时，所以 ，所以 ，所以 ，故C正确；对D，因为 ，所以如果 到平面 的距离为 ，则 平面PCD，则 ，所以 ，显然不可能，故D错 误；故选：BC. 二、填空题 7．（2019·浙江省高二月考）在长方体 中， ， ，点 在棱 上 移动，则直线 与 所成角的大小是__________，若 ，则 __________． 【答案】 ； 1 【解析】长方体ABCD﹣A B C D 中以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐 1 1 1 1 1 标系，又 ， ，点 在棱 上移动 则D（0，0，0），D（0，0，1），A（1，0，0），A（1，0，1），C（0，2，0）， 1 1 设E（1，m，0），0≤m≤2，则 =（1，m，﹣1）， =（﹣1，0，﹣1）， ∴ • =﹣1+0+1=0，∴直线DE与AD所成角的大小是90°． 1 1∵ =（1，m，﹣1）， =（﹣1，2﹣m，0），DE⊥EC， 1 ∴ =﹣1+m（2﹣m）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1． 8．（2019·湖北省高二期中（理））已知四棱柱 的底面是边长为2的正方形，侧棱与底 面垂直.若点 到平面 的距离为 ，则直线 与平面 所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】如图，连接 交 于 点，过点 作 于 ，则 平面 ，则 ，设 ，则 ， ，则根据三角形面积得 ，代入解得 . 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ，令 ，得 . ，所以直线 与平面 所成的角的余弦值为 . A B C D 1 1 1 19．（2020·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））在正方体 中，E，F分别为线段 ，AB的中点，O为四棱锥 的外接球的球心，点M，N分别是直线 ，EF上的动点， 记直线OC与MN所成的角为 ，则当 最小时， __________. 【答案】 【解析】如图，设 分别为棱 和 的中点，则四棱锥 的外接球即为三棱柱 的外接球，因为三棱柱 为直三棱柱，所以其外接球球心O为上、下底面三角形 外心 和 连线的中点，由题意， 是平面 内的一条动直线，所以 最小是直线OC与平面 所成角，即问题转化为求直线OC与平面 所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为 ， ， ,因为 为等腰三角形，所以 外接圆的直径为 ,则 ，从而 ， 如图，以 为原点，以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向 建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ，， ，设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则 ，因为 ， 所以 10．（2020·攀枝花市第十五中学校高二期中（理））如图，四棱锥 中， 是矩形， 平面 ， ， ，四棱锥外接球的球心为 ，点 是棱 上的一个动点.给 出如下命题：①直线 与直线 所成的角中最小的角为 ；② 与 一定不垂直；③三棱锥 的体积为定值；④ 的最小值为 .其中正确命题的序号是__________.（将你认为正 确的命题序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】如图所示：以 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，则 ， ，，当 时等号成立， 此时 ，故直线 与直线 所成的角中最小的角为 ，①正确； ，当 时， ，②错误； 将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点， ，③正确； 如图所示：将平面 以 为轴旋转到平面 内形成平面 ， 则 ，当 共线时等号成立，④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题  ABC  11.如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为1的菱形， 4 , OA底面ABCD , OA2 ,M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点，以A为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以 下问题： MN‖平面OCD （1）证明：直线 ； （2）求异面直线AB与MD所成角的大小； （3）求点B到平面OCD的距离.O M A D B N C AP CD x,y,z 【解析】作 于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 轴建立坐标系 2 2 2 2 2 A(0,0,0),B(1,0,0),P(0, ,0),D( , ,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1 , ,0) 2 2 2 4 4 ,  2 2  2  2 2 MN (1 , ,1),OP(0, ,2),OD( , ,2) 4 4 2 2 2 (1) z O M A D x B N C P y      n (x,y,z) n OP0,n OD0 设平面OCD的法向量为 ,则    2  y2z 0  2   2 2  x y2z 0   2 2 z  2 n  (0,4, 2) 即 取 ,解得  2 2 ∵MN n  (1 , ,1) (0,4, 2)0  4 4  MN‖平面OCD   2 2 ∵AB (1,0,0),MD( , ,1) (2)设AB与MD所成的角为  , 2 2   AB MD  1  ∴cos  ,∴    AB  MD 2 3 , AB与MD所成角的大小为 3   d d OB n (0,4, 2) (3)设点B到平面OCD的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值,  OBn 2 2 d     由 OB (1,0,2) , 得 n 3 .所以点B到平面OCD的距离为312.（2020·江苏省高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面 BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 【解析】 （1）连 以 为 轴建立空间直角坐标系，则 从而直线 与 所成角的余弦值为 （2）设平面 一个法向量为令 设平面 一个法向量为 令 ，因此 .