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1.4.1 空间向量应用（一）
思维导图常见考法
考法一 平面的法向量
【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC
＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．1.利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC
(3)列方程组：由列出方程组
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)
(6)得结论：得到平面的一个法向量
2.求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0
【一隅三反】
1．（2020年广东惠州）正方体ABCDABC D 中，E、F分别为棱AD 、AB 的中点，在如图所示的空间
1 1 1 1 1 1 1 1
直角坐标系中，求：
(1)平面BDD B 的一个法向量；
1 1
(2)平面BDEF的一个法向量．2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥 中， 底面 ， 为正方形
的对角线，给出下列命题：
① 为平面PAD的法向量；
② 为平面PAC的法向量；
③ 为直线AB的方向向量；
④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．
其中正确命题的序号是______________
考点二 空间向量证明平行
【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直
角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．
（1）求证：PB∥平面EFG.
（2）证明平面EFG∥平面PBC线线平行 证明两直线的方向向量共线
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
线面平行
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题
【一隅三反】
1.在正方体ABCDABC D 中，M，N分别是CC ，BC 的中点．求证：MN∥平面ABD．
1 1 1 1 1 1 1 1
2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面 的一个法向量为 ，则直线
与平面 的位置关系为_______.
3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线 平面 ，且 的一个方向向量为 ，平面
的一个法向量为 ，则 ______.
考法三 空间向量证垂直
【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—ABC 的所有
1 1 1
棱长都为2，D为CC 的中点．求证：AB⊥平面ABD.
1 1 1（1）利用空间向量证明线线垂直时，确定两条直线的方向向量，由向量数量积为0即可得证
（2）利用空间向量法证明线面垂直的方法有两种：
①利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量
垂直；
②求出平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行
（3）利用空间向量法证明面面垂直有两种方法：
①证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；②证明两平面的法向量垂直
【一隅三反】
1．（2018·浙江高三其他）已知平面 的法向量为 ， ，则直线 与平面
的位置关系为（ ）
A． B． C． 与 相交但不垂直 D．
2．（2020·安徽池州。高二期末（理））已知平面 的法向量为 ，若直线 平面 ，则直线l
的方向向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）四棱锥 中，底面 是平行四边形，
， ， ，则直线 与底面 的关系是( )
A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角4．（2020·江苏省邗江中学高一期中）如图，在正方体 中， 分别是 的中
点，试用空间向量知识解决下列问题
（1）求证： （2）求证 平面 ．5．（2019·九台市第四中学高二期末（理））如图， 平面 ，四边形 是矩形，
，点 是 的中点，点 在边 上移动.
（1）当点 为 的中点时，试判断 与平面 的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有 .
