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1.2 空间向量基本定理-提高练
一、选择题
1.给出下列命题：
①已知 ，则 ；
② 为空间四点，若 不构成空间的一个基底，那么 共面；
③已知 ，则 与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若 共线，则 所在直线或者平行或者重合．
正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①，若 ，则 ，故
，故①正确；对于②，若 不构成空间的一个基底， 这3个向量
共线面，故 共面，故②正确；对于③，当 时，若 与 不共面，则 可构成空间
的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确.
2.若 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基
底；B：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C：因为 为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.
若 不构成一组基底，则有 ，所以向量
是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此 能构成一组基底，
D：因为 ，所以向量 是共面向量，因此
不能构成一组基底.故选：C
3.已知空间四边形 ，其对角线为 ， ， ， 分别是边 ， 的中点，点 在线段
上，且使 ，用向量 ， ， 表示向量 是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
,,故选：C．
4.在四面体 O-ABC 中,G 是△ABC的重心,G是OG 上的一点,且OG=3GG ,若⃗OG=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC,则
1 1 1
(x,y,z)为( )
(1 1 1) (3 3 3) (1 1 1) (2 2 2)
A. , , B. , , C. , , D. , ,
4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3
【答案】A
1 1
【解析】如图所示,连接 AG 交 BC 于点 E,则 E 为 BC 中点,⃗AE= (⃗AB+⃗AC)= (⃗OB-2⃗OA+⃗OC),
1
2 2
2 1 3
⃗AG
1
=
3
⃗AE=
3
(⃗OB-2⃗OA+⃗OC).因为⃗OG=3⃗GG
1
=3(⃗OG
1
-⃗OG),所以OG=
4
OG
1
.
3 3 3 1 2 1 1 1 1
则⃗OG= ⃗OG = (⃗OA+⃗AG )= ( ⃗OA+ ⃗OB- ⃗OA+ ⃗OC )= ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC.
4 1 4 1 4 3 3 3 4 4 4
5.下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A.若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
B.若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
C.若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 ， ， ， 四点共面；
D.若向量 ， ， ，是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底.
【答案】ACD
【解析】对于A：若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即 ，故
A正确；对于B：若非零向量 ， ， 满足 ， ，则 与 不一定共线，故B错误；对于C：若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则
，即 ，可得到 ， ， ， 四点共面，
故C正确；对于D：若向量 ， ， ，是空间一组基底，则空间任意一个向量 ，存在唯一
实数组 ，使 ，则 ， ，
也是空间的一组基底，故D正确.
6．（多选题）若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是( )
A.{a,2b,3c} B.{a+b,b+c,c+a}
C.{a+2b,2b+3c,3a-9c} D.{a+b+c,b,c}
【答案】ABD
【解析】由于a,b,c不共面,易判断A,B,D中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有3(2b+3c)
+(3a-9c)=3(a+2b),故这三个向量是共面的,不能构成基底.
二、填空题
7．（2020山东泰安实验中学高二月考）在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，若记
， ， ，则 ______.
【答案】
【解析】在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，
则.
8.（2020上海复旦附中青浦分校高二月考）在斜三棱柱 中， 的中点为M， ，
， ，则 可用 、 、 表示为______.
【答案】
【解析】在 中， ,又 的中点为 ,
是斜三棱柱， ，
, 在 中
9.已知直三棱柱ABC-ABC 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC =1,则异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为
1 1 1 1 1 1
.
√10
【答案】
5
【解析】如图所示.设 =a, =b, =c,则=120°,c⊥a,c⊥b,
⃗BA ⃗BC ⃗BB
1
因为 =-a+c, =b+c,
⃗AB =⃗AB+⃗BB ⃗BC =⃗BC+⃗CC
1 1 1 1
cos< ⃗AB ,⃗BC >= ⃗AB 1 ·⃗BC 1 =(-a+c)·(b+c) = -a·b-a·c+b·c+c2 =
1 1 |⃗AB |·|⃗BC | √5×√2 √10
1 1
-2×1×cos120°+1 2 √10
= = .
√10 √10 5
10. （2020 山东省高二期末）如图所示的平行六面体 中，已知
，N为 上一点，且 .若 ，则 的值为
________；若M为棱 的中点， 平面 ，则 的值为________.
【答案】
【解析】 (1)取空间中一组基底： ，因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ；
(2)在 上取一点 使得 ，连接 ，
因为 且 ，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，且 ，
所以平面 平面 ，所以 平面 ，
又因为平面 平面 ，且 平面 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
三、解答题
1 1
11.如图所示,在平行六面体 ABCD-A BC D 中,⃗MA=- ⃗AC,⃗ND= ⃗A D,设⃗AB=a,⃗AD=b,⃗A A =c,试用
1 1 1 1 3 3 1 1
a,b,c表示⃗MN.
【答案】见解析
【解析】连接AN,则⃗MN=⃗MA+⃗AN.
由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得⃗AC=⃗AB+⃗AD=a+b,
1 1
⃗MA=- ⃗AC=- (a+b),又⃗A D=⃗AD-⃗A A =b-c,
3 3 1 11 1
故⃗AN=⃗AD+⃗DN=⃗AD-⃗ND=⃗AD- ⃗A D=b- (b-c),
3 1 3
1 1 1
所以⃗MN=⃗MA+⃗AN=- (a+b)+b- (b-c)= (-a+b+c).
3 3 3
12.在正方体ABCD-A BC D 中,已知E,F,G,H分别是CC ,BC,CD和AC 的中点.
1 1 1 1 1 1 1
证明:(1)AB∥GE,AB⊥EH;
1 1
(2)AG⊥平面EFD.
1
【答案】见解析
【解析】 (1)设正方体棱长为1, =i, =j, =k,
⃗AB ⃗AD ⃗A A
1
则{i,j,k}构成空间的一个单位正交基底.
=i+k,
⃗AB =⃗AB+⃗BB
1 1
1 1 1
⃗GE=⃗GC+⃗CE= i+ k= ⃗AB ,∴AB∥GE.
2 2 2 1 1
⃗EH=⃗EC +⃗C H= 1 k+ ( - 1) (i+j)=- 1 i- 1 j+ 1 k,
1 1 2 2 2 2 2
( 1 1 1 ) 1 1
∵⃗AB ·⃗EH=(i+k)· - i- j+ k =- |i|2+ |k|2=0,∴AB⊥EH.
1 2 2 2 2 2 1
1
(2)⃗A G=⃗A A+⃗AD+⃗DG=-k+j+ i,
1 1 2
1 1
⃗DF=⃗DC+⃗CF=i- j,⃗DE=⃗DC+⃗CE=i+ k.
2 2
∴⃗A G·⃗DF= ( -k+ j+ 1 i ) · ( i- 1 j )
1 2 2
1 1
=- |j|2+ |i|2=0,∴AG⊥DF.
1
2 2
⃗A G·⃗DE= ( -k+ j+ 1 i ) · ( i+ 1 k ) =- 1 |k|2+ 1 |i|2=0,
1 2 2 2 2
∴AG⊥DE.
1又DE∩DF=O,∴AG⊥平面EFD.
1
