文档内容
1.2 空间向量基本定理
题型一：空间向量基底概念与判断
1．下列能使向量 ， ， 成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
2．空间四个点O，A，B，C， 为空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面
3．若 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：空间向量基本定理的应用
4．空间四边形 中， .点 在 上，且 ， 为 的中点，则 等于
（ ）
A． - B．- C． - D． -
5．设 是正三棱锥， 是 的重心， 是 上的一点，且 ，若 ，
则 （ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在四面体 中，点 是棱 上的点，且 ，点 是棱 的中点.若
，其中 为实数，则 的值是（ ）A． B． C． D．
【双基达标】
一、单选题
7．已知 是空间的一个基底，若 ，则（ ）
A． 是空间的一组基底
B． 是空间的一组基底
C． 是空间的一组基底
D． 与 中的任何一个都不能构成空间的一组基底
8．点 是矩形 所在平面外一点，且 平面 ， ， 分别是 ， 上的点，且 ，
则满足 的实数 的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
9．在下列两个命题中，真命题是（ ）
①若三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面；
②若 ， 是两个不共线向量，而 ＝λ ＋μ (λ，μ 且λμ≠0)，则{ ， ， }构成空间的一个基底．
A．仅① B．仅② C．①② D．都不是
10．如图，在长方体 中，P是线段 上一点，且 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．111．如图，在三棱锥 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 为线段 上一点，且 ，若记
， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
12．下列结论错误的是（ ）.
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若 ､ 是两个不共线的向量，且 ( 且 )，则 构成空间的一个基底
D．若 ､ ､ 不能构成空间的一个基底，则 ､ ､ ､ 四点共面
13．如图，已知空间四边形 ，其对角线为 分别是 的中点，点 在线段 上，且使
，用向量 表示向量 为（ ）
A．B．
C．
D．
14．设 ： ， ， 是三个非零向量； ： 为空间的一个基底，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
15．已知空间向量 ， 满足| |=| |=1，且 ， 的夹角为 ，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足 =2
+ ， =3 - ，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．已知在四棱柱 中，四边形 为平行四边形，若 ，则 （
）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
17．在空间四边形 中， ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
18．在三棱锥 中， ，N为 中点，则 （ ）
A． B． C． D．19．在平行六面体 中， 与 的交点为 ，设 ， ， ，则下列向量中与
相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在四面体 中， ， 分别在棱 ， 上且满足 ， ，点 是线段 的
中点，用向量 ， ， 作为空间的一组基底表示向量 应为（ ）
A． B．
C． D．
21．已知 ， ， ， ，则向量 与 之间的夹角 为（ ）.
A． B． C． D．以上都不对
22．给出下列命题：
①已知 ，则 ；
② 、 、 、 为空间四点，若 、 、 不构成空间的一个基底，那么 、 、 、 共面；
③已知 ，则 、 与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若 、 共线，则 、 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量 = ，向量 ，则不能与 构
成空间的一个基底的是（ ）
A． B． C． D． 或
24．在棱长为1的正方体 中， ， ， 分别在棱 ， ， 上，且满足 ，
， ， 是平面 ，平面 与平面 的一个公共点，设 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
25．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A． 是 、 共线的充要条件
B．若 ，则存在唯一的实数 ，使
C．对空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ，若 ，则 、 、 、 四点共面
D．若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底
26．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点 ，有 ，则 ， ， ， 四点共面
C．已知向量 组是空间的一个基底，若 ，则 也是空间的一个基底
D．若 ，则 是钝角27．已知空间四边形 ，其对角线为 、 ， 、 分别是对边 、 的中点，点 在线段 上，
且 ，现用基组 表示向量 ，有 ，则（ ）
A． B． C． D．
28．如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都是 ，且它们彼此的夹角都是 ，
为 与 的交点.若 ， ， .则下列正确的是（ ）
A． B．
C． 的长为 D．
29．下列命题中，正确的命题有（ ）
A． 是 共线的充要条件
B．若 则存在唯一的实数 ，使得
C．对空间中任意一点 和不共线的三点 若 ，则 四点共面
D．若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底
30．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一组基底B．已知向量 ，则 、 与任何向量都不能构成空间的一组基底
C． ， ， ， 是空间四点，若 ， ， 不能构成空间的一组基底，则 ， ， ， 共面
D．已知 是空间向量的一组基底，若 ，则 也是空间一组基底
三、填空题
31．已知在正方体ABCD一 中，点E为底面 的中心， ， ， ，
，则 =______， =_______， =_______．
32．设 且 是空间的一组基底，给出下列向量组：
① ；② ③ ④
其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．
33．如图，已知空间四边形 ，其对角线为 、 ， 是边 的中点， 是 的重心，则用基向量
， ， 表示向量 的表达式为___________.
34．如图，点M为OA的中点， 为空间的一个基底， ，则有序实数组（x，
y，z）=________.35．已知 为不共面的三个向量， ， ，若
，则α，β，λ的值分别为________．
36．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．
①若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
②若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
③若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 ， ， ， 四点共面；
④若向量 ， ， ，是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底．
四、解答题
37．在平行六面体ABCD－ABC D 中，设 ， ， ，E，F分别是AD，BD的中点．
1 1 1 1 1
（1）用向量 表示 ， ；
（2）若 ，求实数 的值．
38．如图所示，在平行六面体ABCD－ABC D 中，E，F分别在BB和DD上，且BE＝ BB，DF＝ DD .求证：
1 1 1 1 1 1 1 1
A，E，C ，F四点共面.
139．如图，在平行六面体ABCD-ABC D 中， ，E为AD 的中点，F为BC 与BC的交点.
1 1 1 1 1 1 1 1
（1）用基底 表示向量
（2）化简 ，并在图中标出化简结果.
40．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心， i， j， k，试用
基底{i，j，k}表示向量 ， .【答案详解】
1．C
【详解】
对于A：由 ，可得M，A，B，C四点共面，即 共面，
所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；
对于B：因为 ，由平面向量基本定理，可得 共面，无法构成基底，故B错误；
同理选项D中， 共面，故D错误.
故选：C
2．D
【详解】
由空间基底的定义， 三个向量不共面，
但选项A，B，C三种情形都有可能使 共面，
只有D才能使这三个向量不共面.
故选：D.
【点睛】
本题考查基底的概念，属于基础题.
3．C
【详解】
A：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
B：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
C：因为 为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.
若 不构成一组基底，则有 ，所以向量 是共面向量，
这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此 能构成一组基底，D：因为 ，所以向量 是共面向量，因此
不能构成一组基底.
故选：C
4．B
【详解】
解：因为 ，所以 ,
为 的中点，则 ，
.
故选：B.
5．C
【详解】
如下图所示，连接 并延长交 于点 ，则点 为 的中点，
为 的重心，可得 ，
而 ，
，所以， ，
所以， ，因此， .
故选：C.
6．C
【详解】
因为 ，所以
，故 .
故选：C.
7．C
假设 ，即 ，得 ，
这与 是空间的一个基底矛盾，故 是空间的一组基底，
故选：C.
8．D
取 的中点 ，连接 ，
则，
又因为 ，
由空间向量基本定理可得：
故选：D.
9．A
【详解】
解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面正确，故①为
真命题；
根据平面向量基本定理，若 ， 是两个不共线向量，且 ＝λ ＋μ (λ，μ 且λμ≠0)，则 与 、 所确定的平
面共面，即 ， ， 共面，所以{ ， ， }不能构成空间的一个基底，故②为假命题.
故选：A.
10．B
【详解】
长方体 中，依题意， ，
，
而 ，又 不共面，于是得 ， ， ，
所以 .
故选：B
11．A【详解】
解:
,
故选:A
12．C
【详解】
A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；
B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能
构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；
C选项，∵ 满足 ，∴ ， ， 共面，不能构成基底，故C错误，
D选项，因为 ､ ､ 共起点，若 ， ， ， 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，
故选C.
13．A
【详解】
.
因为 分别为 的中点，
所以
所以 .
故选：A.
14．B当非零向量 ， ， 共面时， 不能是空间的一个基底，
由 得不出 ，
若 为空间的一个基底，则 ， ， 一定不共面，
所以 ， ， 一定是非零向量，
所以由 可以得出 ，
因此 是 的必要不充分条件，
故选：B.
15．B
【详解】
| |= = = ，
| | = ，
则cos∠AOB= = = ，
从而有sin∠AOB = ，
∴△OAB的面积S = × × × = ，
故选：B．
16．C
【详解】
据题意，得 ， ，
所以 ，
即 .
又因为 为空间不共面的三个向量，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
17．D
故选：D
18．B
【详解】
连接 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B.19．D
【详解】
故选：D
20．B
【详解】
连接 ，如图，
则由向量加法的平行四边形法则可得
.
故选：B.
21．C
因为 ，所以 ，
两边平方得： ，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
故选：C
22．C
对于①，若 ，则 ，故 ，故①正确；
对于②，若 、 、 不构成空间的一个基底，则 、 、 这 个向量在同一平面内，故 、 、 、
共面，故②正确；
对于③，当 时，若 与 、 不共面，则 、 、 可构成空间的一个基底，故③不正确；
对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确，
故选：C.
23．C
【详解】
因为 = ， = ，
故 ( )，所以 与向量 共面，
故 ， ， 不能构成空间的一个基底.
故选： .
24．C
【详解】如图， 为 与 交点， 为 中点， 为 与 的交点.过 作 平行 交 于 .
如图,则 为 中点，所以 .
所以 ，
因此 ，
因为 ，所以 , .
故选：C
25．ABC
【详解】
对于A选项，充分性：若 ，则 、 方向相反，且 ，充分性成立；
必要性：若 、 共线且方向相同，则 ，即必要性不成立，
所以， 是 、 共线的充分不必要条件，A选项错误；
对于B选项，若 ， ，则 ，但不存在实数 ，使得 ，B选项错误；对于C选项，对空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ，
若 、 、 、 四点共面，可设 ，其中 、 ，
则 ，可得 ，
由于 ， ，此时， 、 、 、 四点不共面，C选项错误；
对于D选项，假设 、 、 共面，
可设 ，
由于 为空间的一个基底，可得 ，该方程组无解，
假设不成立，所以， 构成空间的另一个基底，D选项正确.
故选：ABC.
26．ABC
【详解】
对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，
则这三个向量一定共面，所以是正确的;
对于B中，若对空间中任意一点 ，有 ，因为 ，
根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C四点一定共面，所以是正确的;
对于C中，由 是空间中的一组基底，则向量 不共面，
可得向量 不共面，所以 也是空间的一组基底，所以是正确的;
对于D中，若 ，又由 ，所以 ，所以不正确.
故选：ABC
27．ABC
【详解】
如下图所示，为 的中点，则 ，
为 的中点，则 ， ，
，则 ，
，
， ，则 .
故选：ABC.
28．BD
【详解】
由空间向量的加法法则得 ，B正确，
，A错误；
由已知 ，
，C错；
，D正确．
故选：BD．29．CD
【详解】
对于 当 时， 共线成立，但当 同向共线时
所以 是 共线的充分不必要条件，故 不正确
对于B，当 时， ，不存在唯一的实数 使得 ，故 不正确
对于C，由于 ，而 ，根据共面向量定理知 四点共面，故 正确
对于D，若 为空间的一个基底，则 不共面，
由基底的定义可知， 不共面，
则 构成空间的另一个基底，故 正确.
故选：CD
30．BCD
【详解】
选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A不正确；
选项B中，根据空间基底的概念，可得B正确；
选项C中，由 不能构成空间的一个基底，可得 共面，又由 过相同点B，可得
四点共面，所以C正确；
选项D中：由 是空间的一个基底，则基向量 与向量 一定不共面，所以可以构成空间另一个基
底，所以D正确．
故选：BCD.
31．2 1如图所示，
所以 ，
故答案为：①2，②1，③
32．②③④
【详解】
如图，平行六面体 中，设 ，
则 ， ，因 四点共面，则向量 共面，
而 四点不共面，则向量 不共面，又 四点不共面，则 不共面，
四点不共面，则 也不共面，
所以可以作为空间的基底的向量组是②③④.
故答案为：②③④33．
如图所示，连AG延长交BC于 ，
故答案为： .
34．
所以有序实数组 ，
故答案为： .
35．∵
且 不共面
∴ ，∴
故答案为：
36．①③④
【详解】
对于①：若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即 ，故①正确；
对于②：若非零向量 ， ， 满足 ， ，则 与 不一定共线，故②错误；
对于③：若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，
则 ，即 ，
可得到 ， 四点共面，故③正确；
对于④：若向量 ， ， ，是空间一组基底，则空间任意一个向量 ，
存在唯一实数组 ，使得 ，
由 的唯一性，则 ， ， 也是唯一的
则 ， ， 也是空间的一组基底，故④正确．
故答案为：①③④
37．（1） ， ；（2）
（1）如图，连接AC，EF，DF，BD，
1 1（2）
38．
证明:因为
＝
＝ ＋
＝ ，
所以 ， ， 共面，
所以A，E，C ，F四点共面.
1
39．
（1） ，
，
；
（2）
如图，连接DA，则 即为所求.
140． i j k； i j k.
【详解】
延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，因为G为△PDC的重心，所以
i j k.
i＋ j＋ k.
