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第一章 集合与常用逻辑用语章末检测
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．设集合 ，集合 ，则下列关系中正确的是( )
A． B．
C． D．
2．集合 ， ， ，
全集为 ，则图中阴影部分表示的集合是( )
A． B．
C． D．
3．已知集合 ，则满足 的集合 的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．8
4．集合 ， ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知集合 满足 ，那么这样的集合 的个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
6．设 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．若集合 中只有一个元素，则实数 的值为( )
A．1 B．0
C．0或1 D．以上答案都不对第一章 集合与常用逻辑用语
8．命题“ ， ”的否定是( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
9．已知A、B均为集合 的子集，且 ， ，
则 ( )
A． B．
C． D．
10．下列有关命题的说法正确的是( )
A．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条
件；
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆命题为真命题
11．已知命题 ， ，命题 ， 恒成立．若p
或q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
12．设数集 ， ，且M，N都是集合
的子集，如果把 叫做集合 的“长度”，那么集合
的“长度”的最小值是( )
A． B．
C． D．
- 2 -二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝
________．
14．若命题“ ，使得 ”是真命题，则实数 的取值范围是
______．
15．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________．
16．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根（含相等两根）的充
要条件是 ． ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．（本小题10分）已知全集 ， ，
，求 的值．
18．（本小题12分）已知集合 ， ．若
，则由实数 组成的集合 ．第一章 集合与常用逻辑用语
19．（本小题12分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．
(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A．
(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C B，求实数a取值构成的集合．
⊆
20．（本小题12分）求 至少有一个负实根的充要条件．
21．（本小题12分）已知命题p{x|2≤x≤10}，命题q{x|x<a或x>2a＋1}(a>0)，若p是q
成立的充分不必要条件，求a的取值范围．
22．（本小题12分）已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
- 4 -第一章 集合与常用逻辑用语章末检测参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．设集合 ，集合 ，则下列关系中正确的是( )
A． B．
C． D．
【解析】A
∵M＝{x|x<4}，N＝{x|0<x<2}，∴M∪N＝{x|x<4}＝M，故选项A正确；M∪(∁R N)＝
R≠M，故选项B错误；N∪(∁R M)＝{x|0<x<2或x≥4}≠R，故选项C错误；M∩N＝{x|
0<x<2}＝N，故选项D错误．故选A．
2．集合 ， ， ，
全集为 ，则图中阴影部分表示的集合是( )
A． B．
C． D．
【解析】C
∵M＝{1,3}，P＝{－2，－3}，∴M∩N＝{1}，N∩P＝{－2}，
故阴影部分表示的集合为{3，－3}．
3．已知集合 ，则满足 的集合 的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．8
【解析】C
因为由M∪N={-1，0，1}，得到集合M M∪N，且集合N M∪N，又M={0，-1}，所
以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0，⊆1}或{-1，1}或{0，⊆-1，1}，共4个．
4．集合 ， ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件第一章 集合与常用逻辑用语
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】B
A＝{x||x|≤4，x∈R} A＝{x|－4≤x≤4}，所以A B a>4，而a>5 a>4，反之，不成立，
所以“A B”是“a>5”的必要不充分条件．
⇒ ⊆ ⇔ ⇒
5．已知集⊆合 满足 ，那么这样的集合 的个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】C
根据题意，M集合一定含有元素1,2，且为集合{1,2,3,4,5}的真子集，所以集合M的个数
为23－1＝7个,故选C．
6．设 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】C
由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
7．若集合 中只有一个元素，则实数 的值为( )
A．1 B．0
C．0或1 D．以上答案都不对
【解析】C
当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k＝1．故k＝0或k＝1．选C．
8．命题“ ， ”的否定是( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解析】B
∵>0，∴x<0或x>1，∴命题“∀x>0，>0”的否定是 “∃x>0,0≤x≤1”
- 6 -9．已知A、B均为集合 的子集，且 ， ，
则 ( )
A． B．
C． D．
【解析】D
由题意知，A中有3和9，若A中有7或5，则
∁U
B中无7和5，即B中有7或5，则与
A∩B＝{3}矛盾，故选D．
10．下列有关命题的说法正确的是( )
A．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条
件；
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆命题为真命题
【解析】D
11．已知命题 ， ，命题 ， 恒成立．若p
或q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
【解析】A
由p或q为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>－1；再由q：
∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立为假命题知m≥2或m≤－2，∴m≥2
12．设数集 ， ，且M，N都是集合
的子集，如果把 叫做集合 的“长度”，那么集合
的“长度”的最小值是( )
A． B．
C． D．第一章 集合与常用逻辑用语
【解析】A
此题虽新定义了“长度”概念，但题意不难理解，只要求出M∩N，然后再求一个式子
的最小值即可；如何求M∩N呢？若真这样理解的话，就走弯路了．
其实，根本用不着求M∩N；集合M的“长度”是，由于m是一个变量，因此，这个长
度为的区间可以在区间[0,1]上随意移动；同理，集合N的长度为且也可以在区间[0,1]上
随意移动；两区间的移动又互不影响，因此M∩N的“长度”的最小值即为－＝
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B
＝________．
【解析】{(0,1)，(－1,2)}
A、B都表示点集，A∩B即是由集合A中落在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，
将A中点的坐标代入直线方程检验知，A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．
14．若命题“ ，使得 ”是真命题，则实数 的取值范围是
______．
【解析】由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得 或 .
15．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________．
【解析】1
∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1．
16．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根（含相等两根）的充
要条件是 ． ．
【解析】 令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数
根
k＜－2．
因此k＜－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．
⇔⇔
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
- 8 -17．（本小题10分）已知全集 ， ，
，求 的值．
【解析】2
由补集概念及集合中元素互异性知 应满足
分两种情况进行讨论：
在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去。
在B中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍
去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意。
18．（本小题12分）已知集合 ， ．若
，则由实数 组成的集合 ．
【解析】
当 时，集合 为空集，符合 ．
当 时，A＝ ， ，由 ，得 或 ，
即 或 ；第一章 集合与常用逻辑用语
所以 ．
19．（本小题12分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．
(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A．
(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C B，求实数a取值构成的集合．
解析：(1)A∩B＝{x|3≤x<6}．
⊆
因为
∁R
B＝{x|x≤2或x≥9}，
所以(∁R B)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．
(2)因为C B，如图所示：
⊆
所以解得2≤a≤8，
所以所求集合为{a|2≤a≤8}．
20．（本小题12分）求 至少有一个负实根的充要条件．
【解析】
（1） 时为一元一次方程，其根为 ，符合题目要求
（2）当 时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判断式 ，即
，从而 ……
①又设方程 的两根为 ，则由韦达定理得
因而方程 有一个负实根的充要条件是 ，得 …．
- 10 -①②方程 有两个负根的充要条件是 ，即
综上， 至少有一个负实根的充要条件是： ………．．
21．（本小题12分）已知命题p{x|2≤x≤10}，命题q{x|x<a或x>2a＋1}(a>0)，若p是q
成立的充分不必要条件，求a的取值范围．
解析：p是q的充分不必要条件，
∴p q，q不能推出p，
∴{x
⇒
|2≤x≤10}{x|x＜a或x＞2a＋1}(a＞0)
画出数轴：
结合数轴得
a>10或2a＋1<2，
故a的取值范围为a>10或0<a<．
22．（本小题12分）已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解析：集合A是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．
(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，得 ∴a>，
即实数a的取值范围是(，＋∞)．
(2)当a＝0时，方程只有一解，此时A中只有一个元素；
当a≠0时，应有Δ＝0，第一章 集合与常用逻辑用语
∴a＝，此时方程有两个相等的实数根，A中只有一个元素，
∴当a＝0或a＝时，A中只有一个元素，分别是和．
(3)A中至多有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)
的结果，得a＝0或a≥，即a的取值范围是{a|a＝0或a≥}．
- 12 -
