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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——
1.3空间向量及其运算的坐标表示A
未命名
一、单选题
1．已知 ， ， 是空间直角坐标系 中 轴、 轴、 轴正方向上的单位向量，
且 ， ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 是空间向量的一个基底， 是空间向量的另一个基底，若
向量 在基底 下的坐标为 ，则向量 在基底 下的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．0
4．已知 ， ，若 与 共线，则实数 （ ）
A．-2 B． C． D．2
5．已知 ， ，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是
（ ）.
A． B． C． D．
6．在空间直角坐标系中，已知长方体 的顶点 ， ，
， ，则直线 与平面 之间的距离为（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
二、多选题
7．已知空间直角坐标系中，点A的坐标为 ，坐标原点为O，且 与
方向相反，则（ ）
A．x+y+z=0 B．x=3y C．x+z=0 D．4y+z=0
8．已知向量 ，则与 共线的单位向量 （ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．在空间直角坐标系中，点 与点 关于坐标原点对称，则
______．
10．在三棱锥 中，三条侧棱 ， ， 两两垂直， ， ，且
的面积为 ，则 的长为___________.
11．若 ､ ，点C在线段AB上，且 ，则点C的坐标是
___________.
12．如图，在正方体 中， ，点 在线段 上，且
，点 是正方体表面上的一动点，点 是空间两动点，若
试卷第2页，共3页且 ，则 的最小值为 .
四、解答题
13．在空间直角坐标系中，分别求点 关于x轴、 平面、坐标原点对称的
点的坐标．
14．如图，三棱锥 的侧棱长都相等，底面 与侧面 都是以 为斜边
的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？
15．（1）已知 ， ，求 ， ， ；
（2）已知空间内三点 ， ， .求以向量 ， 为一组邻
边的平行四边形的面积 .
16．在 中， ， ， .
（1）求顶点 、 的坐标；
（2）求 ；
试卷第3页，共3页（3）若点 在 上，且 ，求点 的坐标.
试卷第4页，共3页参考答案：
1．D
【分析】由题设易知 ， ，由 ，设 结合空
间向量线性运算的坐标表示求 的坐标.
【详解】由题设知： ， ，
∴ ，若 ，则 ，易得 ，
∴ .
故选：D
2．C
【分析】设出 在基底 下的坐标为 ，利用对照系数，得到方程组，求
出结果.
【详解】∵ 在基底 下的坐标为
∴
设 在基底 下的坐标为
则
对照系数，可得：
解得：
∴ 在基底 下的坐标为
故选：C
3．B
【解析】根据空间向量数量积的坐标表示求解.
答案第1页，共2页【详解】 ， ，
则 .
故选：B
4．B
【分析】由空间向量线性运算的坐标表示可得 、 ，再
由向量共线的性质即可得解.
【详解】∵ ， ，
∴ ， .
∵ 与 共线，
∴ ，即 .
故选：B.
【点睛】本题考查了空间向量线性运算及共线的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基
础题.
5．A
【分析】夹角为钝角，由 求解，但要排除两向量反向的情形．
【详解】∵ ， 的夹角为钝角，∴ ，即 .∴ .
又当 ， 的夹角为 时，存在 ，使 ，∴ ，此方程组无解.综上，
.
故选：A.
【点睛】本题考查用数量积确定向量的夹角，当向量 ， 的夹角为 时， 也成
立，所以求解此类问题时，要注意检验.
6．A
答案第2页，共2页【分析】根据题意可知 ， ， ，直线 与平面 之间的距离
可转化为点 到平面 的距离，结合线面垂直的性质与三角形面积公式，即可求解.
【详解】由 ， ， ， ，得 ， ，
且 .如图所示，连接 ，过点 作 ，垂足 在 上.
由长方体的性质易得 ，又因 且 ，所以 平面 ，
因此直线 与平面 之间的距离为线段 的长.
因 ，所以 ，
因此直线 与平面 之间的距离为 .
故选：A.
7．ABD
【分析】先由向量反向得到 ， ， ，再验证每个选项即可求解.
【详解】由题意，得： ，
答案第3页，共2页且 ，
其中 ，则 ， ， ，
则： ，即选项A正确；
，即选项B正确；
，即选项C错误；
，即选项D正确.
故选：ABD.
8．AC
【分析】根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法， ，即可求出．
【详解】设与 共线的单位向量为 ，所以 ，因而 ，得到 ．
故 ，而 ，所以 或 ．
故选：AC．
【点睛】本题主要考查单位向量的求法以及共线向量定理的应用．
9．
【分析】根据对称得到 ，计算得到答案.
【详解】点 与点 关于坐标原点对称，
则 ，故 .
故答案为： .
10．2
【解析】依题意建立空间直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据
得到方程，计算可得；
答案第4页，共2页【详解】解：依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 ，
，所以 ， ，所以
，即
，所以 ，解得
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量的应用，对于三角形 的面积可以利用向量法
进行转化计算；
11．
【分析】设点 的坐标为 ，由题意可得 ，即可得到方程组，解得即可求
得 的坐标．
【详解】解： 点 ､ ， 为线段 上一点，且 ，
所以 ，
答案第5页，共2页设点 的坐标为 ，则 ，
则 ，即 ，
解得 ，即 ；
故答案为： ．
12．
【分析】先建立空间直角坐标系，得出 的轨迹，再运用向量及几何关系求解
【详解】如图,建立如图所示的空间直角坐标系
则 , ，设
由题设
即
也即
由此可知点 都是在球心为 ,半径为2的球面上
又 ,故点 是球的直径的两个端点
所以 ，
所以
答案第6页，共2页而 在正方体的表面上,故当点 在正方体的顶点 上时,
此时 的值最小为
故答案为 ： .
13．关于x轴对称 ，关于 平面对称 ，关于坐标原点对称
【分析】根据空间直角坐标系中点关于x轴、 平面、坐标原点对称的点的特征即可得
出答案.
【详解】解：点 关于x轴对称的点的坐标为 ，
关于 平面对称的点的坐标为 ，
关于坐标原点对称的点的坐标为 .
14．取 中点 ，以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直
角坐标系.
【分析】由题意可证得 ,又因为底面 与侧面 都是以 为斜边的等腰直角
三角形，所以 ,所以以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标.
【详解】底面 与侧面 都是以 为斜边的等腰直角三角形，
则 ，所以
答案第7页，共2页设 ，
由 为线段 的中点，
则 ，
由 ，
所以 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
15．（1） ， ， （2）
【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与线性运算和数量积运算，求解即可．
（2）由已知求出向量 ， 的坐标，结合夹角，利用三角形面积公式，得到平行四边
形的面积S；
【详解】（1） ，
，
又
∴ .
（2）∵ ， ，∴ ,
答案第8页，共2页又∵ ，∴ ，∴ .
【点睛】本题考查的知识点是空间向量的坐标表示与线性运算，考查了利用坐标求向量的
模及夹角的问题，属于基础题．
16．（1） ， ；（2） ；（3） .
【分析】（1）利用向量的坐标运算可求得点 、 的坐标；
（2）计算出向量 、 的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得 的值；
（3）由 可得 ，可求得向量 的坐标，进而可求得点
的坐标.
【详解】（1）设点 为坐标原点， ，
则 .
，则 ；
（2） ，则 ，
又 ，因此， ；
（3）设点 为坐标原点， ，则 ，
则 ，
所以，点 的坐标为 .
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算
能力，属于中等题.
答案第9页，共2页
