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高中数学选择性必修第二册必备知识手册 2024 一轮复习
【数列】
1、一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数
列的项。其中第1项叫做首项。项数有限的的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无
穷数列。
2、数列的一般形式是 ， ，…， ，…，简记为 。由于数列 中的每一项
与它的序号 是一一对应的，所以数列 是从正整数集 N*（或它的有限子集{1，
2，…， }）到实数集R的函数，其自变量是序号 ，对应的函数值是数列的第 项 ，
记为 。也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的
一系列函数值 ， ，…， ，…就是数列 。
3、一般函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数。与函数类似，
我们可以定义数列的单调性。从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。特别地，各项都相等的数列
叫做常数列。
4、如果数列 的第 项 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的通项公式。通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以
写出数列的各项。
5、 或 常常用来表示正负相间的变化规律。
6、如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做
这个数列的递推公式。知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项。
7、我们把数列 从第1项起到第 项止的各项之和，称为数列 的前 项和，记作
学科网（北京）股份有限公司，即
。
显然 ，而 ，于是我们有
8、一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常熟，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。
9、由三个数 ，A， 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时，A叫做 与
的等差中项。根据等差数列的定义可以知道， 。
10、首项为 ，公差为 的等差数列 的通项公式为 。
11、由于 ，所以当 时，等差数列 的第 项
是一次函数 当 时的函数值，即 。与此相通，
任给一次函数 （ ， 为常数），则 ， ，…，
，…构成一个等差数列 ，其首项为 ，公差为 。
12、已知数列 是等差数列， ， ， ， *，且 ，则
。
13、等差数列 的前 项和公式 。把等差数列的通项公式
学科网（北京）股份有限公司代入公式，可得 。
14、等差数列的前 项和公式可以写成 ，所以当 时， 可以
看成二次函数 （ ）当 时的函数值。
当 时， 关于 的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点；
当 时， 关于 的图像是一条开口向上的抛物线上的一些点。
15、已知 是等差数列 的前 项和，则 是等差数列。
16、已知等差数列 的公差为 ，则 ，这个公式可以从直线的斜率这个角
度来理解。
17、一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那
么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示（显然
）。
18、与等差中项类似，如果在 与 中间插入一个数G，使 ，G， 成等比数列，那么G
叫做 与 的等比中项，此时， 。
19、首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为
。
20、类似于等差数列与一次函数的关系，由 可知，当 且 时，等比数
学科网（北京）股份有限公司列 的第 项 是指数函数 （ ）当 时的函数值。与此相通，
任给指数函数 （ ， 为常数， ， ，且 ），则 ，
，…， ，…构成一个等比数列 ，其首项为 ，公比为 。
21、等比数列 的前 项和公式 ，因为 ，所以 还可
以写成
。
22、已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 ， ， 成等
比数列，这个数列的公比为 。
23、已知 ，且 ，对于 *，
。
24、一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当 （ *）时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当 （ *， ）时命题成立”为条件，推出“当
时命题也成立”。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立，这种证明
方法称为数学归纳法。
25、记 是一个关于正整数 的命题。我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
学科网（北京）股份有限公司条件：（1） 为真；（2）若 （ *， ）为真，则 也为
真。
结论： 为真。
26、数学归纳法常见的应用公式：
① ；
② ；
③ 。
27、类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶
关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数
倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立。
名称
等差数列 等比数列
定义
通项
公式
常用
若 （ ， ， ， *），则 若 （ ， ， ， *），
性质
则
学科网（北京）股份有限公司【一元函数的导数及其应用】
1、对于函数 ，设自变量 从 变化到 ，相应地，函数值 就从 变
化到 。这时， 的变化量为 ， 的变化量为 。我
们把比值 ，即
叫做函数 从 到 的平均变化率。
2、如果当 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称
在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数（也称为
瞬时变化率），记作 或 ，即 。
3、 可以是正值，也可以是负值，但不为0。
4、在曲线 上任取一点P（ ， ）沿着曲线 无限趋近于点 （ ，
学科网（北京）股份有限公司）时，割线 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 称为曲线
在点 处的切线。容易发现，割线 的斜率可以用平均变化率来表示，当
无限趋近，则它的斜率可以用瞬时变化率来表示。
5、导数的几何意义：在曲线 上任取一点P（ ， ），在它附近取一点 （
， ），记 ，当点P沿着曲线 无限趋近于点 时，当
时， 无限趋近于函数 在处的导数。因此，函数 在 处的
导数。因此，函数 在 处的导数 就是切线 的斜率 ，即
，这就是导数的几何意义。
6、从求函数 在 处导数的过程可以看到，当 时， 是一个唯一
确定的数。这样，当 变化时， 就是 的函数，我们称它为 的导函数
（简称导数）。 的导函数有时也记作 ，即
。
7、基本初等函数的导数公式表
基本初等函数的导数公式
1、若 （ 为常数），则 ；
2、若 （ 且 ），则 ；
3、若 ，则 ；
学科网（北京）股份有限公司4、若 ，则 ；
5、若 （ 且 ），则 ；
特别地，若 ，则 ；
6、若 （ 且 ），则 ；
特别地，若 ，则 。
8、一般地，对于两个函数 和 的和（或差）的导数，我们有如下法则：
对于两个函数 和 的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：
由函数的乘积的导数法则可以得出， ，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数和函数的导数的积，即 。
9、一般地，对于两个函数 和 ，如果通过中间变量 ， 可以表示成
的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 。
10、一般地，对于由函数 和 复合而成的函数 ，它的导数与
函数 ， 的导数间的关系为 ，即 对 的导数等于 对 的
导数与 对 的导数的乘积。
11、一般地，函数 的单调性与导函数 的正负之间具有如下的关系：
在某个区间（ ， ）上，如果 ＞0，那么函数在 在区间（ ， ）上单
学科网（北京）股份有限公司调递增；
在某个区间（ ， ）上，如果 ＜0，那么函数在 在区间（ ， ）上单
调递减。
12、一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数 的零点；
第3步，用 的零点将 的定义域划分为若干个区间，列表给出 在各区
间上的正负，由此得出函数 在定义域内的单调性。
13、一般地，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值
都小， ＝0；而且在点 附近的左侧 ＜0，右侧 ＞0。
我们把 叫做函数 的极小值点， 叫做函数 的极小值。
14、一般地，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值
都大， ＝0；而且在点 附近的左侧 ＞0，右侧 ＜0。
我们把 叫做函数 的极大值点， 叫做函数 的极大值。
15、极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。极值反映了函数在
某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质。
16、导数值为0的点不一定是函数的极值点。
例如，对于函数 ，我们有 。虽然 ，但由于无论 ＞
0，还是 ＜0，恒有 ＞0，即函数 是增函数，所以0不是函数 的
极值点。
学科网（北京）股份有限公司一般地，函数 在一点的导数值为0是函数 在这点取极值的必要条件，
非充分条件。
17、一般地，可按如下方法求函数 的极值：解方程 ＝0，当 ＝0时，
（1）如果在 附近的左侧 ＞0，右侧 ＜0，那么 是极大值；
（2）如果在 附近的左侧 ＜0，右侧 ＞0，那么 是极小值。
18、一般地，如果在区间[ ， ]上函数 的图像是一条连续不断的曲线，那么它
必有最大值和最小值。求函数 在区间[ ， ]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数 在区间（ ， ）上的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一
个是最大值，最小的一个是最小值。
19、常见不等式的证明：
（1）当 ＞0时， ； （2）当 ＞0时， ；
（3）当 时， ； （4）当 ＞0时， 。
20、函数 的图像可以直观地反映函数 的性质。通常可以按如下步骤画出
的大致图像：
（1）求出函数 的定义域；
（2）求导数 及函数 的零点；
（3）用 的零点将 的定义域划分为若干个区间，列表给出 在各区间
上的正负，并得出 的单调性与极值；
学科网（北京）股份有限公司（4）确定 的图像所经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势；
（5）画出 的大致图像。
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