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1.1 空间向量及其运算--提高练
一、选择题
1．（2020·辽宁葫芦岛市高二期末）在下列结论中：
①若向量 共线，则向量 所在的直线平行；
②若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；
③若三个向量 两两共面，则向量 共面；
④已知空间的三个向量 ，则对于空间的任意一个向量 总存在实数x，y，z使得 .
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥 中， 两两共面，但它们不是共
面向量，故③错．根据空间向量基本定理， 需不共面，故④错．综上，选A．
2．（2020广东湛江市高二期末）如图，在平行六面体 中， 与 的交点为 ，点
在 上，且 ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，在平行六面体 中，
，故选：C
3．（2020江西宜春市高二期中）在四面体 中，点 在 上，且 ， 为 中点，
则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在四面体 中，点 在 上，且 ， 为 中点，
所以 ，
即 .故选：B.
4．己知 ， ， 是空向单位向量，且满足 ，若向量 ， .则在 方向上的投影的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易得 是空间中两两夹角为60°的单位向量.如下图，
构造棱长为1的正四面体 ，使得 ，
在射线 上取点 ，使得
设 ，则 ，由三点共线知 在直线 上.
由定义知 在 方向上的投影 =
作点 在平面 上的射影 .由最小角定理，当且仅当向量 与向量 同向时， 最小，
最大.即 .故选：D.
5．（多选题）下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 的长度相等而方向相同或相反
B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C．若两个非零向量 与 满足 ，则D．若空间向量 ， 满足 ，且 与 同向，则
【答案】BC
【解析】A. 若 ，则 的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；
B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以该选
项正确；C. 若两个非零向量 与 满足 ，则 ，所以 ，所以该选
项正确；D. 若空间向量 ， 满足 ，且 与 同向， 与 也不能比较大小，
所以该选项错误.故选：BC
6．（多选题）（2020福建莆田一中高二期末）如图所示，棱长为1的正方体 中，P为
线段 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．平面 平面 B． 不是定值
C．三棱锥 的体积为定值 D．
【答案】ACD
【解析】A.因为是正方体，所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
所以A正确；B.
，故 ，故B不正确；
C. ， 的面积是定值， 平面 ，点 在线段 上的动点，所以点到平面 的距离是定值，所以 是定值，故C正确；
D. ， ， ，所以 平面 ， 平面 ，所以
，故D正确.故选：ACD
二、填空题
7．如图在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，若记 ， ， ，则
______.
【答案】
【解析】在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，
则
.
8．在正四面体 中， ， 分别为棱 、 的中点，设 ， ， ，则异
面直线 与 所成角的余弦值为______.
【答案】 .
【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则.,又 .
又 .设异面直线 与 所成角为 则
.
9．已知空间向量 ， ， 的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为 .点 为 的重心，
若 ， ， ， ，则 __________； __________.
【答案】1; .
【解析】取 的中点 ，
，又 ，空间向量 ， ， 的模长分别为1，2，
3，且两两夹角均为
，
10．（2020上海复旦附中高二期中）已知正三棱锥 的侧棱长为2020，过其底面中心 作动平面
交线段 于点 ，交 的延长线于 两点，则 的取值范围为__________
【答案】【解析】设 .则 , , .
由 为底面 中心,
又因为 四点共面,所以 且 .
所以 ，即
即 .
三、解答题
11．试证：若坐标平面内的三点 ， ， 共线， 为坐标原点，则存在三个均不为零的实数 ， ， ，
使得 ，且 ，反之也成立.
【答案】见解析
【解析】证明：①若 ，则 ，∴ .又 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ， ， 三点共线.
②若 ， ， 三点共线，则存在常数 ，使 ，
∴ ，∴ ，
令 ， ， ，则由 且 ，知 ， ， ，不为零，
∴ ，且 .
12.（2020山东泰安实验中学高二月考）如图，四棱锥 的底面是矩形， ，
且 底面 .
（1）求向量 在向量 上的投影；
（2）若线段 上存在异于 的一点 ，使得 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2）1.
【解析】（1）连接 平面 平面ABCD
故向量 在向量 上的投影为：
（２）连接 平面 平面ABCD
，又
平面SAP，又 平面ADP
设
，
当 时， 的最大值为１．
