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第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
基础过关练
题组一 空间向量的基本概念
1.下列关于空间向量的命题中,正确命题的个数是( )
①任一向量与它的相反向量都不相等;
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;
③平行且模相等的两个向量是相等向量;
④若a≠b,则|a|≠|b|;
⑤两个向量相等,则它们的起点与终点相同.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列说法正确的是( )
深度解析
A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
B.若a、b为相反向量,则a+b=0
C.零向量是没有方向的向量
D.若a、b是两个单位向量,则a=b
3.(2020山东烟台高二上期中)下列命题是真命题的是( )A.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共
面向量
B.⃗AB=⃗CD的充要条件是A与C重合,B与D重合
C.若向量⃗AB,⃗CD满足|⃗AB|>|⃗CD|,且⃗AB与⃗CD同向,则⃗AB>⃗CD
D.若两个非零向量⃗AB与⃗CD满足⃗AB+⃗CD=0,则⃗AB∥⃗CD
4.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,⃗AB=⃗DC,则下列向量相等的是( )
A.⃗AD与⃗CB B.⃗OA与⃗OC
C.⃗AC与⃗DB D.⃗DO与⃗OB
题组二 空间向量的加法与减法
5.(2020北京第八中学高二上期中)在正方体ABCD-A B C D 中,下列各式的运算结
1 1 1 1
果为向量 的是( )
⃗B D
1 1
① - - ;② + - ;
⃗A D ⃗A A ⃗AB ⃗BC ⃗BB ⃗D C
1 1 1 1 1 1
③ - + ;④ - + .
⃗AD ⃗AB ⃗DD ⃗B D ⃗A A ⃗DD
1 1 1 1 1 1
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
6.已知A,B,C,D为空间中任意四个点,则⃗DA+⃗CD-⃗CB等于( )
A.⃗DB B.⃗AC C.⃗AB D.⃗BA7.已知四边形ABCD,O为空间任意一点,且⃗AO+⃗OB=⃗DO+⃗OC,则四边形ABCD是(
)
A.空间四边形 B.平行四边形
C.等腰梯形 D.矩形
8.在直三棱柱ABC-A B C 中,若 =a, =b, =c,则 = .(用a,b,c表示)
1 1 1 ⃗CA ⃗CB ⃗CC ⃗A B
1 1
题组三 空间向量的数乘运算
9.如图所示,在平行六面体ABCD-A B C D 中,设 =a, =b, =c,N是BC的中点,
1 1 1 1 ⃗A A ⃗AB ⃗AD
1
用a,b,c表示 为( )
⃗A N
1
1
A.-a+b+ c B.-a+b+c
2
1 1
C.-a-b+ c D.a-b+ c
2 2
10.(2020广东深圳实验学校高二上期中)如图所示,在平行六面体ABCD-A B C D
1 1 1 1
中,AC与BD的交点为M.设 =a, =b, =c,则下列向量中与2 相等的向
⃗A B ⃗A D ⃗A A ⃗B M
1 1 1 1 1 1
量是( )A.-a+b+2c B.a+b+2c
C.a-b+2c D.-a-b+2c
11.(2020山西忻州一中高二上期中)在空间四边形ABCD中,若△BCD是正三角形,
1 3
且E为其中心,连接DE,则⃗AB+ ⃗BC- ⃗DE-⃗AD 的化简结果为 .
2 2
1
12.(2020浙江宁波高二上期中)已知正方体ABCD-A B C D 中,⃗A E= ⃗A C ,若⃗AE=x
1 1 1 1 1 4 1 1
+y( + ),则x= ,y= .
⃗A A ⃗AB ⃗AD
1
题组四 空间向量共线、共面问题
13.设a,b是不共线的两个向量,且λa+μb=0,λ,μ∈R,则( )
A.λ=μ=0 B.a=b=0
C.λ=0,b=0 D.μ=0,a=0
14.已知向量a,b,且⃗AB=a+2b,⃗BC=-5a+6b,⃗CD=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D15.(2020广东广州二中高二月考)已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,下列能
得到P,A,B,C四点共面的是( )
A.⃗OP=⃗OA+⃗OB+⃗OC
1 1 1
B.⃗OP= ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC
3 3 3
1 1
C.⃗OP=-⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC
2 2
D.以上都不对
16.有下列说法:
①若p=xa+yb,则p与a,b共面;
②若p与a,b共面,则p=xa+yb;
③若⃗MP=x⃗MA+y⃗MB,则P,M,A,B共面;
④若P,M,A,B共面,则⃗MP=x⃗MA+y⃗MB.
其中正确的是( )
A.①②③④
B.①③④
C.①③
D.②④
17.已知点P和不共线的三点A,B,C四点共面且对于空间任意一点O,都有⃗OP=2⃗OA+
+λ ,则λ= .
⃗OB ⃗OC18.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,
则实数λ等于 .
1 1
19.如图,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM= BD,AN= AE.求证:向量⃗MN,⃗CD,
3 3
共面.
⃗DE
20.如图所示,在正方体A B C D -ABCD中,E,F分别是B C ,C D 的中点,求
1 1 1 1 1 1 1 1
证:E,F,B,D四点共面.答案全解全析
基础过关练
1.B 零向量与它的相反向量相等,①错;由相等向量的定义知,②正确;两个向量平
行且模相等,方向不一定相同,故不一定是相等向量,③错;a≠b,可能两个向量模相等
而方向不同,④错;两个向量相等,是指它们方向相同,大小相等,向量可以在空间自由
移动,故起点和终点不一定相同,⑤错.故选B.
2.B 若|a|=|b|,则它们的方向相同时是相等向量,方向相反时是相反向量,还有可能
方向既不相同,也不相反,A错;若a、b为相反向量,则它们的和为零向量,B对;零向
量的方向是任意的,C错;两个单位向量只是模都为1,方向不一定相同,D错.故选B.
方法归纳 ①在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概
念和平面向量中对应的概念完全相同;
②由于向量是由其大小和方向两方面确定的,因此解答空间向量有关概念问题时,
要抓住这两点;
③零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任意向量都共线,这一点说明共线
向量不具备传递性.
3.D 因为空间中任意两向量平移之后都可以共面,所以空间中任意两向量均共面,
选项A是假命题;
由⃗AB=⃗CD知,|⃗AB|=|⃗CD|,且⃗AB与⃗CD同向,但A与C,B与D不一定重合,选项B是假命
题;
因为空间向量不能比较大小,只能对向量的长度进行比较,因此也就没有⃗AB>⃗CD这
种写法,选项C是假命题;
因为⃗AB+⃗CD=0,所以⃗AB=-⃗CD,即⃗AB与⃗CD共线,故⃗AB∥⃗CD,选项D是真命题.
故选D.
4.D 因为⃗AB=⃗DC,所以四边形ABCD是平行四边形,结合平行四边形的性质及相等
向量的定义知,⃗DO=⃗OB,⃗AD=⃗BC,⃗OA=⃗CO,故选D.
5.C - - = - = ,①错;
⃗A D ⃗A A ⃗AB ⃗AD ⃗AB ⃗BD
1 1 1 1 1
+ - = + - = + = ,②错;
⃗BC ⃗BB ⃗D C ⃗BC ⃗CC ⃗D C ⃗BC ⃗C D ⃗BD
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + = + = ,③对;
⃗AD ⃗AB ⃗DD ⃗B D ⃗DD ⃗B D
1 1 1 1 1 1- + = - + = ,④对.故选C.
⃗B D ⃗A A ⃗DD ⃗B D ⃗DD ⃗DD ⃗B D
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6.D ⃗DA+⃗CD-⃗CB=⃗DA+⃗BD=⃗DA-⃗DB=⃗BA.
7.B 由已知可得⃗AB=⃗DC,由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且
相等,所以四边形ABCD是平行四边形,故选B.
8.答案 b-a-c
解析 如图,⃗A B=⃗CB-⃗C A =⃗CB-⃗CA-⃗CC =b-a-c.
1 1 1
9.A ∵N是BC的中点,
1 1 1
∴⃗A N=⃗A A+⃗AB+⃗BN=-a+b+ ⃗BC=-a+b+ ⃗AD=-a+b+ c.故选A.
1 1 2 2 2
1 1
10.A ⃗B M=⃗B B+⃗BM=⃗B B+ (⃗BA+⃗BC)=c+ (-a+b),所以2⃗B M=2c-a+b,故选A.
1 1 1 2 2 1
11.答案 0
1 3
解析 延长DE,交BC于点F,则F为BC的中点,∴ ⃗BC=⃗BF, ⃗DE=⃗DF,
2 2
1 3
∴⃗AB+ ⃗BC- ⃗DE-⃗AD=⃗AB+⃗BF+⃗FD+⃗DA=0.
2 2
1
12.答案 1;
4
1 1 1
解析 ⃗AE=⃗A A +⃗A E=⃗A A + ⃗A C =⃗A A + (⃗AB+⃗AD),∴x=1,y= .
1 1 1 4 1 1 1 4 4
μ
13.A 若λ≠0,则a=- b,与已知a,b不共线矛盾,故λ=0,同理μ=0,故选A.
λ
14.A 因为⃗BC+⃗CD=⃗BD=2a+4b=2(a+2b)=2⃗AB,所以A,B,D三点共线.
15.B 若点P,A,B,C共面,设⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC,则x+y+z=1,满足条件的只有B,故
选B.
16.C 若a,b共线,由p=xa+yb知p一定与a,b共面,若a,b不共线,则满足共面定理,p
与a,b共面,①对;同理③对;若p与a,b共面,且a,b共线,则不一定有p=xa+yb,故②不
对;同理④不对,故选C.
17.答案 -2解析 对于空间不共线的三点A,B,C和点P,若四点共面,则对空间任意一点O,都有
=x +y +z ,其中x+y+z=1,所以λ=-2.
⃗OP ⃗OA ⃗OB ⃗OC
65
18.答案
7
解析 若向量a,b,c共面,则存在x,y∈R,使得a=xb+yc,
∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk),
{
2=-x+7 y,
∴ -1=4x+5 y,
3=-2x+λy,
65
解得λ= .
7
19.证明 由题图知,
⃗MN
=
⃗DN
-
⃗DM
=(2
⃗DA+
1
⃗DE
)-2
⃗DB
=2
⃗DA
+1
⃗DE
-2(
⃗DA
+
⃗DC
)=1
⃗DE
-
3 3 3 3 3 3 3
2
⃗DC,
3
所以向量⃗MN,⃗CD,⃗DE共面.
20.证明 设⃗DA=a,⃗DC=b.
则⃗DB=⃗DC+⃗CB=b+a,
1 1 1
⃗FE=⃗FC +⃗C E= b+ a= ⃗DB,
1 1 2 2 2
所以⃗DB∥⃗FE,
而E,F,B,D四点不共线,
因此DB∥FE,故E,F,B,D四点共面.
