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1.4.1 空间向量应用（一）
【题组一 平面法向量的求解】
1．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1，1，1) B．(1，－1,1)
C. D.
【答案】C
【解析】设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)，
则化简得∴x＝y＝z.故选C.
2．（2018·浙江高三其他）平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，则下列命题正确
的是（ ）
A． 、 平行 B． 、 垂直 C． 、 重合 D． 、 不垂直
【答案】B
【解析】平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
因为 ，所以两个平面垂直．故选： ．
3．（2019·山东历下.济南一中高二期中）在平面ABCD中， ， ， ，若
，且 为平面ABCD的法向量，则 等于（ ）
A．2 B．0 C．1 D．无意义
【答案】C
【解析】由题得， ， ，又 为平面ABCD的法向量，则有 ，即
，则 ，那么 .故选：C
【题组二 空间向量证平行】
1．（2019·安徽埇桥，北大附宿州实验学校高二期末（理））已知平面 的法向量是 ，平面的法向量是 ，若 // ，则 的值是（ ）
A． B．-6 C．6 D．
【答案】C
【解析】因为 // ，故可得法向量 与向量 共线，
故可得 ，解得 .故选：C.
2（2019·乐清市知临中学高二期末）已知平面α的一个法向量是 ， ，则下列向量可作为平
面β的一个法向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】平面α的一个法向量是 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.
3.（2020.广东.华侨中学）如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF
上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为( )
A．(1,1,1) B. C. D.
【答案】 C
【解析】设AC与BD相交于O点，连接OE，
∵AM∥平面BDE，且AM 平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，
又O是正方形ABCD对角线的⊂交点，∴M为线段EF的中点．在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1)．
由中点坐标公式，知点M的坐标为.
4.如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，棱长为a，M，N分别为AB和AC上的点，AM＝AN＝，则
1 1 1 1 1 1
MN与平面BBC C的位置关系是( )
1 1
A．相交 B．平行
C．垂直 D．MN在平面BBC C内
1 1
【答案】 B
【解析】以点C 为坐标原点，分别以C B ，C D ，C C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间
1 1 1 1 1 1
直角坐标系，由于AM＝AN＝，则M，N，MN＝.
1
又C D⊥平面BBC C，所以C1D1＝(0，a，0)为平面BBC C的一个法向量．
1 1 1 1 1 1
因为MN·C1D1＝0，所以MN⊥C1D1，又MN 平面BBC C，所以MN∥平面BBC C.
1 1 1 1
⊄
【题组三 空间向量证明垂直】
1．（2019·湖北孝感.高二期中（理））已知向量 ，平面 的一个法向量 ，若
，则（ ）
A． ， B． ， C． D．
【答案】A【解析】因为 ，所以 ，由 ，得 ， .故选A
2．（2020·宜昌市人文艺术高中（宜昌市第二中学）高二月考）已知直线 的一个方向向量 ，
平面 的一个法向量 ，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】 ， ，且 ， ， ，解得 ， .
因此， .故答案为： .
3．（2020·陕西富平.期末（理））若直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
则直线l与平面 的位置关系是（ ）
A． B． C． D．l与 斜交
【答案】B
【解析】由题得， ，则 ，又 是平面 的法向量， 是直线l的方向向量，可得 .
故选：B
4. 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.
求证：平面BCE⊥平面CDE.
【答案】
【解析】设AD＝DE＝2AB＝2a，
以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的
空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，
E(a，a，2a)．
所以BE＝(a，a，a)，BC＝(2a，0，－a)，CD＝(－a，a，0)，ED＝(0，0，－2a)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，由n·BE＝0，n·BC＝0可得
1 1 1 1 1 1
即令z＝2，可得n＝(1，－，2)．
1 1
设平面CDE的法向量为n＝(x，y，z)，由n·CD＝0，n·ED＝0可得
2 2 2 2 2 2
即
令y＝1，可得n＝(，1，0)．因为n·n＝1×＋1×(－)＋2×0＝0.所以n⊥n，
2 2 1 2 1 2
所以平面BCE⊥平面CDE.
5.如图所示，已知四棱锥 P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝
2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
【答案】见解析
【解析】 (1)取BC的中点O，连接PO，
∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO 平面PBC，
∴PO⊥底面ABCD. ⊂
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝，∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)，
∴BD＝(－2，－1，0)，PA＝(1，－2，－)．
∵BD·PA＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴PA⊥BD，
∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M，连接DM，则M.
∵DM＝，PB＝(1，0，－)，
∴DM·PB＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴DM⊥PB，即DM⊥PB.
∵DM·PA＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
∴DM⊥PA，即DM⊥PA.
又∵PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，
∴DM⊥平面PAB. ⊂
∵DM 平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
6.(201⊂9·林州模拟)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，
F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
【答案】见解析
【解析】(1)证明 如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
标系，
设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.
EF＝，DC＝(0，a，0)．∵EF·DC＝0，∴EF⊥DC，即EF⊥CD.
(2)解 设G(x，0，z)，则FG＝，
若使GF⊥平面PCB，则需FG·CB＝0，且FG·CP＝0，
由FG·CB＝·(a,0,0)
＝a＝0，得x＝；
由FG·CP＝·(0，－a，a)
＝＋a＝0，得z＝0.
∴G点坐标为，即G为AD的中点．
