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2026 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第I卷（选择题）
注意事项：
（1）每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．
（2）本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·如果事件 ， 互斥，那么 ．
·如果事件 ， 相互独立，那么 ．
·棱柱的体积公式 ，其中 表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高．
·圆锥的体积公式 ，其中 表示圆锥的底面积， 表示圆锥的高．
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题可得 ,又因 ，
则 .
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由 ，解得： 或 ，
即 时， 成立，反之不成立，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
3. 调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数 ，
根据最小二乘法算得： ，下列说法正确的是（ ）
A. 与 负相关 B. 当 时， 一定为1359
C. 当 时， 一定小于1359 D. 两变量无线性关系
【答案】A
【解析】
【详解】因为相关系数 ，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，
所以y与x负相关，所以A正确，D错误；
当 时， ，所以 约为 ，
所以B，C错误.
4. 函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【详解】由题意，
由题意及图得，函数 为奇函数，且当 时， ，
对A选项，当 时， ，与图象不符，故A错误；
对B选项，当 时， ，与图象不符，故B错误；
对D选项，当 时， ，与图象不符，故D错误；
对C选项，在 中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C正确.
5. 正方体 中，错误的是（ ）
A. B. 面 C. 面 D. 面
【答案】D
【解析】
【分析】A 项，通过证明四边形 是平行四边形，即可证明结论；B 项，通过 ，
，即可证明 平面 ；C项，通过证明 平面 ， 平面 ，即可证明结论；D项，假设垂直，得出 平面 ，结合几何知识得出矛盾，即可得出结论.
【详解】由题意，
在正方体 中，
A项，
， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，A正确；
B项，
由几何知识得， ， ，
， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，故B正确；
C项，
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，由几何知识得， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ ， ，
∴平面 平面 ，C正确；
D项，
假设平面 平面 ，则交线为 ，
此时有 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，
连接 ， ，由几何知识得， ，则 ，故
在 中，由几何知识得， ，
∴三角形为等边三角形， ，矛盾，
故D错误.
6. 已知函数 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简 ，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小
即可.
【详解】由题意可得 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
又因函数 在 上单调递增，则 ，
所以 ，
因 ，且 在 上单调递增，
所以 ，即 .故 .
7. 的最小值为（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立,
所以 的最小值为9.
8. 已知 ， ，则 （ ）
A. 68 B. 56 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据前n项和的含义，依次令 ，逐步计算即可得到结果.
【详解】由 ，得
，即 ；
，即 ；
因为 ，所以 ；
，即 ，所以 ；
，即 ，所以 .9. 已知双曲线 （ ， ）的左焦点为 ， 是右顶点， 是双曲线上一点，满足
， ，则双曲线离心率为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点 作 垂直 轴，垂足为 ，根据几何关系用 表示出点 坐标，代入双曲线方程构造
齐次式，然后可得离心率.
【详解】如图，过点 作 垂直于 轴，垂足为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
根据双曲线对称性，不妨设点 在第二象限，则 ，
将点 坐标代入双曲线方程得： ，
整理得 ，
将 代入上式，整理得 ，
两边同时除以 ，整理得 ，解得 .第II卷（非选择题）
注意事项：
（1）用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
（2）本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10. 化简 __________．
【答案】
【解析】
【详解】 .
11. 展开式中 的系数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理得到 展开式的通项公式即可求解.
【详解】根据二项式定理， 展开式的通项公式为 ，
当 时， ，因此 的系数为 .
12. 在 中， ， ， ，则 __________．
【答案】 ##【解析】
【详解】在 中， ，所以 ，
由正弦定理可得 .
13. 箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；
在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出
至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论.
【详解】由题意，
第一空：
箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。
设事件 表示没取到黄球，事件 表示三次都没取到黄球，
有放回抽取，每次取到非黄球的概率为 ，
三次都没取到黄球的概率： .
第二空：
设事件 表示至少取到一次红球，事件 表示三次都取到白球，
，
∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率： ，，
∴ ，
∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是 .
14. 已 知 ， ， 记 ． 当 时 ， __________ ， 当
时， 的取值范围为__________．
.
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】第一空：利用 和 得出 和 的值，即可得出结论；第二空：将
代入 得 ，展开，令 ， ， ，
代入并整理，得出 ，即可求出 的取值范围.
【详解】由题意，
， ， ，
第一空：
当 时， ，
∴ ，
∴ .
第二空：
将 代入 得 ，两边平方，得： ，
展开： ，
代入 ， ，记 ，
，
令 ， ， ，
则原式变为： ，
配方得： ，
由于 ， ，因此 ，
即 ，解得 ，
，
因此， 的取值范围为： .
15. 在平面内， 为坐标原点，抛物线 上有 、 、 、 四个点， 、 、 、 的纵坐标分
别为 、 、 、 ，直线 与直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴
于点 ，以下说法正确的有______．
①若 与抛物线焦点重合，则 ；
② ；
③ ；
④ ；⑤
【答案】②④
【解析】
【分析】首先探求抛物线弦与 轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，
③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得.
【详解】由题意 、 、 、 为抛物线 上四个点可知， 两两不等.
设抛物线 上任意两点 ，其中 .
当 时，直线 的斜率 ，
则直线 方程为 ，
令 ，则直线 与 轴的交点 横坐标
特别地，当 时， ，
此时直线 垂直于 轴， 也成立，
因此，直线 与 轴的交点 横坐标 （ ）.①由题意直线 交 轴于点 ，若 与抛物线焦点重合，则其横坐标为 ，
故由 式可得 ，即 ，故①错误；
②由题意直线 与直线 交 轴于点 ，
则由 式可得点 横坐标 ，
可得 ，故②正确；
③由题意直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，
则由 式可得
，
则 ，
故 ，故③错误；
④由 式可得 ，
当点 或 为原点时，则点 也重合于原点，此时 ；
当点 与 均不为原点时，即 ，且 ，
则结合②结论可知， ，
则有 ，故④正确；
⑤由 ，可知 ，则 ，，
如图，当 时， 不成立，故⑤错误；
故答案为：②④
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 已知 ．
（1）求最小正周期；
（2）若 ，求 的最大值和最小值；
（3）若 ， ，求 ．
【答案】（1）
（2）最大值为 ，最小值为
（3）
【解析】【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；
（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；
（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
若 ，则 ，
由正弦函数性质可知，当 ，即 时，函数 有最小值，即
，
当 ，即 时，函数 有最大值，即 .
所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
【小问3详解】
若 ， ，所以 ，
则 ， ，
则 .
17. 在长方体 中， ， ， ， ， ．（1）求证： 面 ；
（2）求面 与面 的夹角的余弦值；
（3）求三棱锥 的体积．
【答案】（1）方法一：如图，过点 作 // ,交 于点 ，则有 , .
连接 ,则 四点共面,平面 即平面 .
由 ， ，可得 与 相似,
所以 ，则可得 ,所以 .
长方体 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
又 , 平面 ，所以 平面 .
方法二：
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系 .
则 .
所以 .
所以 ，
所以 ，即 .又 , 平面 ，所以 平面 .
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角
的余弦值可得；或由面面角的向量求法可得；
（3）由向量法证明 ，从而求得 的面积，由向量法求得点C到平面 的距离，再根据
棱锥的体积公式求得三棱锥 的体积；或由向量法求得点A到平面 的距离，根据棱锥的体积
公式可得三棱锥 的体积.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
方法一：过点 作 // ,交 于点 ，则有 ， ，
连接 ，则 四点共面，平面 即平面 .
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系 ，则
， ，所以 ，
所以 .
取 的中点P，则 ，所以 ，
，所以 .所以异面直线 与 所成的角等于平面 与平面 的夹角.
又 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系 .
则 .
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可取 .
由（1）知平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
【小问3详解】
方法一：由 ， ，得 ，
所以 .
所以 的面积为 .
由（2）知，平面 的一个法向量为 ，点C到平面 的距离为 .
所以三棱锥 的体积 ，
所以三棱锥 的体积为 .
方法二：点A到平面 的距离为 .
因为 // ，所以 到 的距离相等，
所以 的面积等于 的面积，即 .
所以三棱锥 的体积为 .
18. 已知椭圆 （ ）的离心率为 ，椭圆被直线 截得的线段长为 ．
（1）求 的标准方程；
（2）斜率为 的直线与圆 相切，且该直线交椭圆于 ， （ ），
是椭圆的上顶点．记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 ．【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率可知 ， ，然后将 代入椭圆方程即可求解；
（2）根据直线与圆相切即可求出 ，分类讨论即可.
【小问1详解】
由于椭圆的离心率为 ，所以 ，即 ，
由于 ，所以 ，
将 代入椭圆方程，得 ，即 ，解得 ，即 ，
由题意，所截得的线段长为 ，所以 ，解得 ，从而 ，
所以椭圆的方程为 .
【小问2详解】
由（1）可知， ，所以圆的方程为 ，
设直线 的方程为 ，因为直线 与圆相切，如图所示，则圆心到直线 的距离 ，解得 ，
椭圆上顶点 ，分两种情况讨论：
①当 时，直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，
化简得 ，解得 或 ，
则当 时， ，当 时， ，由于 ，所以 ，
则 ， ，此时 ；
②当 时，直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，
化简得 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，由于 ，所以 ，
则 ， ，此时 .
综上所述， 的值为 .
19. 已知等差数列 与等比数列 满足： ， ， ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；（2）记 ， ， 或 ，记 为 中的元素个数．
（i）求 ；
（ii）求 ．
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii） .
【解析】
【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式；
（2）（i）分析 和 项的特征，结合集合 的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法
求和即可.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 或 （公比不能为0，舍去），
所以
【小问2详解】
（i）由（1）知 为偶数， 为奇数，所以数列 和 没有相同项，
根据题意，集合 中的元素由数列 和 中小于等于 项组成，
小于 的正偶数有 个，由 得 ， ，
所以数列 中小于等于 的项有 个， 中小于等于 的项有 个，所以 .
（ii）当 时， 中小于等于 的项有 个，
又 为偶数时， 中小于等于 的项有 个， 为奇数时， 中小于等于 的项有 个，
所以 ，
所以 ，
从 到 共有 项，
又 为奇数时，
所以
，
所以令 ①，
则 ②，
①-②得
，
所以 ，
所以
20. 已知 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，证明 ；
（3）求实数 的最大可能值，使得 对任意的 都成立．
【答案】（1）
（2）令 ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立；
当 时，令 ，
所以 ，因为 和 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，由于 ，
所以 ，
则 在 上单调递增，
则 ，即 在 恒成立，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 在 成立，
故 在 成立，
综上， 在 上恒成立，（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可；
（2）令 ，利用导数研究 在 上的单调性以及最值即可证明结论；
（3）利用导数证明 ，分 和 两种情况讨论不等式是否成
立.
【小问1详解】
由于 ，
所以 ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为： ，
即 ；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
①当 时，设
构造函数 ，
则 ，令 ，
所以 ，
由于 在 上单调递增，
所以 ，则 在 上单调递减，
故 ，则 在 上单调递减，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立；
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，则 ，当且仅当 时取等，
即 在 上恒成立.
故 ，
令 ，则 ，
对于 ，令 ，则 ，
变形得 ，
裂项求和得，对题设不等式左边取对数放缩：
，
对题设不等式右边取对数放缩：：
当 时， ，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以 不满足条件；
②当 时，若 , 恒成立，
此时原不等式右侧 ，只需证明： ，
由（2）问结论 可得：
对于 二项式展开 ，
两边取对数， ，
又
因此，
所以原不等式成立，则 的最大值为
