2026年江苏省南通市高二数学期末考前模拟试卷答案与解析_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0618数学

2026 年江苏省南通市高二数学期末考前模拟试卷答案与解析
【答案】
1. D 2. D 3. B 4. B 5. C 6. C 7. B
8. D 9. AC 10. ACD 11. ACD
3 2
12.
4
13. 50
14. ( 3,2]
15. (1)连接B E，
1
在�ABE中，AE = AB=1，∠EAB=60°，
2
由余弦定理，得 ，
所以AE2 +BE2 =4= AB2，即AE ⊥ BE ，
由 AE = AD=1，∠DAE =60°，得�ADE是正三角形，
所以 ，
而BD=2，
所以 ，即DE ⊥ BE，
又 AE∩DE = E ，AE，DE ⊂平面ADE，
3
所以BE ⊥平面ADE (2)
2
16. 当a=1时， f(x)在(0,+∞)单调递增 ；当a >1时， f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增，在(1,a)上单调递
减；当0<a<1时，f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减 证明：由(1)知，当a>0且a≠1
时， f(x)有2个极值点x ，x ，且x +x =a+1，x x =a，
1 2 1 2 1 2
则
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学科网（北京）股份有限公司 1 13，
令 ， ，
1
设m(x)=h′(x)(x>0)，则m′(x)=1+ >0，
x
则m(x)在(0,+∞)单调递增，即h′(x)在(0,+∞)单调递增，
又h′(1)=0，
所以当x∈(1,+∞)时，h′(x)>h′(1)=0，则h(x)在(1,+∞)单调递增；当x∈(0,1)时，h′(x)<h′(1)=0，则h(x)
在(0,1)单调递减；所以h(x)h(1)=0，所以当a>0且a≠1时， ，
所以 ，即
17. 5 (2,3)或
18. 解：(1)由题意可知函数 f(x)的定义域为(0,+∞)，
，
当a=2时， ，
令 f′(x)>0，得0< x<1或x>2
由 f′(x)<0得1< x<2时，
则 f(x)的递增区间为(0,1)，(2,+∞)， f(x)的递减区间为(1,2)
(2)f(x)0在[1,+∞)上有解，等价为 f(x) 0，在[1,+∞)上有解，
min
由 ，得
①当a1时，可得x∈[1,+∞)时， f′(x)0，则 f(x)在[1,+∞)上递增，
1
∴f(x) = f(1)=−a− 0，
min 2
1
∴− a1.
2
②当a >1时，可得 f(x)在[1,a]上单调递增，在[a,+∞)上单调递减， ，
令 ，则 ，记为h(a)，
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学科网（北京）股份有限公司 2 13则 ，(a>1)，
∴h(a)在(1,+∞)上单调递减，
∴h(a)<h(1)=−1，即 ，
3
g(a)在(1,+∞)上单调递减，∴g(a)<g(1)=− ，
2
3
∴f(x) <− ，
max 2
3
∴当a >1时， f(x)<− <0，满足题意．
2
1
综合①②知：a − .
2
19. 解：(1)设等比数列{a }的公比为q，
n
可得 ，
故a =1⋅3n−1 =3n−1；
n
(2)因为a =3n−1，所以 ，
n
所以
…+3n−1)+(1+2+3+…+n)
【解析】
1. 解：因为B={x||x−1|>1}={x|x<0或x>2}，
所以 B={x|0x2}，又A={−3,−1,0,1,3}，
U
所以
故选：D.
先解绝对值不等式求出集合B，然后求其补集，再根据交集定义进行计算．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题．
2. 【分析】
本题考查等差数列的通项，是基础题.
利用等差数列的通项求解即可.
【解答】
解： 因为在等差数列{ a }中，a =3， ，
n 1
所以
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学科网（北京）股份有限公司 3 133. 解：设 ，
C C
因为AB⋅AC =0，即AB ⊥ AC，所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
在Rt�ACD中， ，所以 ，
所以
故选：B.
C C C
设 ，结合勾股定理与等面积法，可证 ，再由AD= AC +CD，化简运算，
得解．
本题考查平面向量的基本定理，线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
4. 解：由题意，ˉ ˉ ，
样本中心点 (ˉ ˉ 代入 得4.5=0.95×2+a，
解得a=2.6，
当x=4时， ，
根据残差的定义，残差为实际观测值减去预测值，即
故选：B.
先利用线性回归直线过样本中心点求解参数a，再计算x=4时的预测值，结合残差定义即可求解．
本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，属于基础题．
5. 解：因为 为奇函数，所以 ，即 f(−1+x)=−f(−1−x)，
两边同时求导得 f′(−1+x)= f′(−1−x)，即g(−1+x)=g(−1−x)，
所以g(x)的图象关于直线x=−1对称，且g(x)=g(−2−x)①；
又 f(3x+1)为偶函数，所以 f(−3x+1)= f(3x+1)，即 f(−x+1)= f(x+1)，两边求导得
−f′(−x+1)= f′(x+1)，即g(1+x)=−g(1−x)，
所以g(x)的图象关于点(1,0)中心对称，且g(x)=−g(2−x)②；
由①②得g(−2−x)=−g(2−x)，即 ，
所以g(8+x)=g(x)，所以g(x)的一个周期为8，
因为当−1x1时，g(x)=−x+1，
当1< x3时，则 ，所以g(x)=−x+1，
当−3x<−1时，则 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司 4 13作出函数 y = g(x)与 的图象如图所示，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
结合图象可知不等式 的解集为
故选：C.
由 为奇函数可得 f(−1+x)=−f(−1−x)两边求导得到 f′(−1+x)= f′(−1−x)，即
g(−1+x)=g(−1−x)，同理可得g(1+x)=−g(1−x)，即可得到g(x)的对称性与周期，画出 y = g(x)与
的图象，数形结合即可得解．
本题主要考查利用导数的应用，不等式的解法，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
x
6. 解：已知函数 f(x)= ，
x2 +1
当x=0时， f(x)=0，
1
f(x)= 1 1
当x≠0时， 1 ，当x>0，则x+ 2，所以0< f(x) ，
x+ x 2
x
1 1 1
当x<0时，x+ =−[(−x)+ ] −2，所以− f(x)<0，
x −x 2
1 1
综上，− f(x) ，故 f(x)既有最大值又有最小值．
2 2
故选：C.
根据题意可分x=0或x≠0两种情况，利用基本不等式可解．
本题考查函数的最值相关知识，属于中档题．
7. 解：直三棱柱中，侧面与底面垂直，
又AC ⊥BC，易知AC ⊥平面BCC B ，
1 1
∴平面ABC ⊥平面BCC B ，
1 1 1
把�CBC绕BC展开至与平面BCC B 垂直的位置，
1 1 1 1 1
则A，C，C ，B 共面，
1 1
如图，
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学科网（北京）股份有限公司 5 13连接AC ，则AC 的长即为 最短距离，
1 1
在�ACC 中， ，AC =6，CC = 2 ，
1 1
由余弦定理得 ，
故选：B.
首先判定平面ACB 与平面BCC B 垂直，而后把三角形CBC旋转至与平面BCC B 垂直，即与平面ACB
1 1 1 1 1 1 1 1
共面，再根据两点之间线段最短得解．
本题考查了空间图形展开成平面图形求解最值的问题，考查了转化思想，属中档题．
8. 解：因为 f(x)=x2 −4|x|+3，定义域为R，
所以 f(−x)=(−x)2 −4|−x|+3=x2 −4|x|+3= f(x)，
所以函数 f(x)为偶函数，当x0时， f(x)= x2 −4x+3，开口向上，对称轴x=2的抛物线，
所以x∈[0,2)时，函数单调递减，x∈(2,+∞)时，函数单调递增，
由偶函数的对称性，可得函数的单调递增区间为(−2,0)和(2,+∞).
故选：D.
由函数的解析式可得 f(−x)= f(x)，即函数为偶函数，求出x0时，函数的单调递增区间，再由偶函数的对
称性，可得函数在R上的单调递增区间．
本题考查偶函数的性质及函数的单调递增区间的求法，属于基础题．
9. 解：对于A，因为x，y为正实数，x+ y =2，则 ，
当且仅当x= y=1时取等号，故A正确；
对于B， ，
当且仅当x= y=1时取等号，所以 x + y2，故B错误；
对于C， ，
4 2
当且仅当 ，即x= ,y= 时取等号，故C正确；
3 3
对于D， ，
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学科网（北京）股份有限公司 6 13根据二次函数性质可得， ，
当xy =1时，(x2 +1)(y2 +1)的最小值为4，故D错误．
故选：AC.
利用基本不等式计算可判断AB；利用常数“1”的妙用计算可判断C；利用二次函数求得(x2 +1)(y2 +1)的
范围可判断D.
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
π π π
10. 解：对于A，因为 f(x)=cos(x+ )+cos(x− )+sinx+a= 3 cosx+sinx+a=2sin(x+ )+a，
6 6 3
所以 f(x) =2+a=1，
max
所以a=−1，故A正确；
π 2π 2π
对于B，由A可知 f(x)=2sin(x+ )−1，原命题等价于 f(x)的图象关于直线x= 对称，当x= 时，
3 3 3
π
x+ =π，不符合题意，故B错误；
3
π π 2π 4π π
对于C，当x∈( ,π)时，x+ ∈( , )，结合正弦函数的图象可知 f(x)在区间( ,π)上单调递减，故
3 3 3 3 3
C正确；
π 1 π π 5π π π
对于D，f(x)0等价于sin(x+ ) ，则 +2kπ x+  +2kπ，k∈Z ，解得− +2kπ x +2kπ，
3 2 6 3 6 6 2
k∈Z ，故D正确．
故选：ACD.
π
对于A，化简函数解析式可得 f(x)=2sin(x+ )+a，由题意 f(x) =2+a=1，即可判断；
3 max
2π 2π π
对于B，原命题等价于 f(x)的图象关于直线x= 对称，由于x= 时，可得x+ =π，不符合题意，
3 3 3
即可判断；
对于C，利用正弦函数的单调性即可判断；
π 1
对于D， f(x)0等价于sin(x+ ) ，利用正弦函数的性质即可判断．
3 2
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
11. 解：对于A，因为x>0，y>0，且x+3y =1，
所以 ，
2x 3y
当且仅当 = 取等号，A正确；
y x
对于B，因为 ，
1
由 ，得到 ，当 y =0.3时，x2 + y2取到最小值为 ，错误；
10
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学科网（北京）股份有限公司 7 13对于C，因为x+3y =1，
所以 ，
1
当且仅当 ，即x=3y = 时取等号，C正确；
2
对于D，因为x+3y =1，所以lnx−e−3y <−1，即 ，
即 ，
令 f(x)=lnx+ x， f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以 成立，即 成立，
令 ，所以 在区间(0,1)恒成立，
所以 ，得到 ，D正确．
故选：ACD.
选项A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项B，根据条件得到 ，再利用
二次函数的性质，即可求解；选项C，结合基本不等式即可判断；选项D，根据条件，同构，将问题转化
成 成立，构造函数 f(x)=lnx+ x，从而将问题转化成 成立，再构
造函数 ，即可求解．
本题主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解，不等式大小比较中的应用，属于中档题．
12. 解：由直线x+ y−1=0取一点A，令y=0得到x=1，即A(1,0)，
则两平行直线的距离等于A到直线2x+2y+1=0的距离
3 2
故答案为： .
4
在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离．
此题是一道基础题，要求学生理解两条平行线的距离的定义．会灵活运用点到直线的距离公式化简求值．
13. 解：设生产x台，获得利润 f(x)(万元)，
则 ，
所以当x=50时，获得的利润最大．
故答案为：50.
根据题意，利润为销售额减去成本，建立关系式，代入求最大值即可．
本题考查二次函数相关应用，属于基础题．
14. 【分析】
本题考查余弦定理、正弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．
1
由题意及余弦定理、正弦定理可得cosA=− ，再由A∈(0,π)，可得角A的大小，由余弦定理及基本不等
2
式可得b+c的最大值，再由三角形中，任意两边之和大于第三边可得b+c>a，可得b+c的范围．
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学科网（北京）股份有限公司 8 13【解答】
2cbcosAsinC c2
解：由余弦定理可得 + =0，
2bsinAcosC 2b+c
cosAsinC c
可得 + =0，
sinAcosC 2b+c
cosAsinC sinC
由正弦定理可得： + =0，
sinAcosC 2sinB+sinC
因为sinC >0，
所以2sinBcosA+cosAsinC+sinAcosC =0，
即2sinBcosA+sin(A+C)=0，即2sinBcosA+sinB=0，
1
又因为sinB>0，所以cosA=− ，
2
2π
因为A∈(0,π)，所以A= ；
3
1
由余弦定理可得a2 =b2 +c2 −2bccosA=(b+c)2 −2bc−2bc⋅(− )=(b+c)2 −bc，
2
因为a= 3，
b+c
所以(b+c)2 =a2 +bc3+( )2，
2
解得b+c2，
由三角形中，任意两边之和大于第三边可得b+c>a= 3，
所以b+c的范围为( 3,2].
故答案为：( 3,2].
15. (1)证明：连接BE，
1
在�ABE中，AE = AB=1，∠EAB=60°，
2
由余弦定理，得 ，
所以AE2 +BE2 =4= AB2，即AE ⊥ BE ，
由 AE = AD=1，∠DAE =60°，得�ADE是正三角形，
所以 ，
而BD=2，
所以 ，即DE ⊥ BE，
又 AE∩DE = E ，AE，DE ⊂平面ADE，
所以BE ⊥平面ADE.
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学科网（北京）股份有限公司 9 13(2)解：由(1)得BE ⊥平面ADE，
因为BE ⊂平面ABCE，所以平面 ADE ⊥平面ABCE，
以点E为原点，EA，EB所在直线分别为x，y轴，过点E作Ez ⊥平面ABCE，建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 ，
所以 ， ，
C
设平面BED的法向量n =(a,b,c)，则 ，
C
令c=1，得n =(− 3,0,1)，
由 ，得 ，
所以 ，
所以直线AF与平面BED所成角的正弦值为
(3)解：由(1)知，AB是Rt�ABE 的斜边，
设点O 是Rt�ABE 外接圆圆心，则O 是AB的中点，且OO ⊥平面ABE，
1 1 1
设 ，
由OE =OD，得 ，解得 ，
所以点 ，
令 ，
所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司 10 131
当且仅当λ= 时取等号，
2
3
所以|OF|的最小值为 .
6
(1)连接BE，结合余弦定理与勾股定理的逆定理可证AE ⊥ BE ，DE ⊥ BE，再由线面垂直的判定定理即
可得证；
(2)以点E为原点建系，利用向量法求线面角即可；
(3)设点O 是Rt�ABE 外接圆圆心，结合OE =OD，利用空间两点间距离公式求出点O的坐标，再设
1
C C
BF
=λBD，λ∈(0,1)，用含λ的式子表示出|OF|，并利用配方法求其最小值即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理，利用向量法求线面角，以及外接球球心与
半径的求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
x2
16. 解：(1)由 f(x)=alnx+ −(a+1)x，x>0，
2
得 ，
令 ，x>0，
①当a=1时，∆=0，则g(x)0， f′(x)0，所以 f(x)在(0,+∞)单调递增；
②当a≠1时，∆>0，令g(x)=0，则(x−a)(x−1)=0，解得x=a或x=1，
i)当a >1时，当x∈(1,a)时， f′(x)<0，当x∈(0,1)∪(a,+∞)时， f′(x)>0，
所以 f(x)在(1,a)上单调递减，在(0,1)和(a,+∞)上单调递增，
ii)当0<a<1时，当x∈(a,1)时， f′(x)<0，当x∈(0,a)∪(1,+∞)时， f′(x)>0，
所以 f(x)在(a,1)上单调递减，在(0,a)和(1,+∞)上单调递增，
综上，当a=1时， f(x)在(0,+∞)单调递增；
当a >1时， f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增，在(1,a)上单调递减；
当0<a<1时， f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减；
(2)证明：由(1)知，当a>0且a≠1时， f(x)有2个极值点x ，x ，且x +x =a+1，x x =a，
1 2 1 2 1 2
则
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学科网（北京）股份有限公司 11 13，
令 ， ，
1
设m(x)=h′(x)(x>0)，则m′(x)=1+ >0，
x
则m(x)在(0,+∞)单调递增，即h′(x)在(0,+∞)单调递增，
又h′(1)=0，
所以当x∈(1,+∞)时，h′(x)>h′(1)=0，则h(x)在(1,+∞)单调递增；
当x∈(0,1)时，h′(x)<h′(1)=0，则h(x)在(0,1)单调递减；
所以h(x)h(1)=0，所以当a>0且a≠1时， ，
所以 ，即
(1)先求得 f′(x)，令 ，分类讨论a的值即可求解；
(2)由(1)知，当a>0且a≠1时， f(x)有2个极值点x ，x ，且x +x =a+1，x x =a，由根与系数的
1 2 1 2 1 2
关系得 ，令 ，根据导数得
出h(x)h(1)=0即可证明．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，是中档题．
17. 解：(1)由题a=1，2c=2 5 ，得c= 5 ，
c
故e= = 5；
a
(2)因为点M在第一象限，故∠MAD不可能为直角；
y2
若 ，将x=2代入曲线C：x2 − =1，可得 y =3，则M(2,3)；
3
若 ，设点M(x ,y )，则 ，
0 0
y2
又为点M满足x2 − 0 =1，可得
0 3
综上，点M的坐标(2,3)或 ；
(3)由题可得，双曲线C：x2 −2y2 =1，
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学科网（北京）股份有限公司 12 13显然，直线l的斜率一定存在，且不为0.
设直线l的方程为x=my+2，M(x ,y )、N(x ,y )，且 y >0， y <0，
1 1 2 2 1 2
联立方程 ，可得 ，
显然m2 −2≠0， ，
， ，故0<m< 2 ，
4
由 ，可得 ，且0<λ< ，
3
故 ，
因此 ，
又 ，
故 ，可得 ，
所以直线l斜率的取值范围为 ，
直线l倾斜角的取值范围为
(1)由焦距可得c的值，进而可得离心率e；
(2)若 ，将x=2代入曲线方程可得M坐标；若 ，由 ，可得M的坐
标；
(3)由题意可得双曲线C的方程，设直线l的方程为x=my+2，与双曲线C的方程联立，由判别式大于0
及根与系数的关系可得m的取值范围，再由存在实数 ，使得 成立，进一步求解m的
范围，从而可得斜率的范围，进而可得倾斜角的取值范围．
本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
18. 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用函数单调性，最值和导数之间的关系是解决本题的
关键，属于中档题．
(1)求出函数的导数，结合函数单调性进行求解即可．
(2)若 f(x)0在[1,+∞)上有解，等价为 f(x) 0，在[1,+∞)上有解，求函数的导数，研究函数的单调
min
性和最值求出函数的最值即可．
19. (1)应用等比数列基本量运算计算求解通项公式；
(2)应用分组求和结合等差数列求和公式及等比数列求和公式计算求解．
本题主要考查等比数列的性质和求和公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
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