2026年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学 第1页/共5页
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2026 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1. 已知集合M = {x | x = 3n−2, n ∈ Z}，N = {−2,−1,0,1,2}，则M ∩N =
A. {−2,1} B.{−1,2} C.{−1,1} D. {−2,0,2}
2. 已知复数z 满足z(1−i) = 2i（其中i 为虚数单位），则z 的值为
A. −1−i B.−1+i C.1−i D. 1+i
3. 若(x+1)5 = a +a (x−1)+a (x−1)2 +···+a (x−1)5，则a =
0 1 2 5 3
A. 40 B.−40 C.−80 D. 80
4. 已知图⃝中的图象是函数y = f(x) 的图象，则图⃝中的图象对应的函数可能是
1 2
y y
O
x x
O
图⃝ 图⃝
1 2
A. y = f(|x|) B.y = |f(x)| C.y = f(−|x|) D. y = −f(−|x|)
5. 抛物线y2 = mx绕其顶点顺时针旋转90◦ 后，得到的图象正好对应抛物线y = 2x2，则
m =
1 1
A. − B. C.2 D. −2
2 2
1 1
6. 若1 < < ，则下列结论不正确的是
a b
A.log b > log a B.|log b+log a| > 2
a b a b
C.(log b)2 < 1 D. |log b|+|log a| > |log b+log a|
a a b a b
7. 已知数列 {a } 的前 n 项和为 S ，则“数列 {a } 是等比数列”为“存在 λ ∈ R，使得
n n n
S = a +λS ”的
n+1 1 n
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 如图，在正方体ABCD−A B C D 中，点P 在线段BD 上（P 与B,D 均不重合）。
1 1 1 1 1 1
记点P 到正方体各顶点距离的不同取值构成的集合为M，M 中元素的个数为m，则
数学试题第1页（共5页）2026年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学 第2页/共5页
D C
1 1
A B
1 1
P
D C
A
B
A. m 的最小值为2，最大值为4 B.m 的最小值为1，最大值为3
C.m 的最小值为1，最大值为4 D. m 的最小值为2，最大值为3
9. 仰望星空，探索宇宙一直是人类的梦想，“神舟十五号”载人飞船于北京时间 11 月 29
日23时08分发射，约10分钟后，“神舟十五号”载人飞船与火箭成功分离。早在1903
年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理
想情况下的最大速度v 满足公式：
m +m
1 2
v = v ln ,
0
m
1
其中m ,m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，v 是发动机的喷气速度。已知某单
1 2 0
级火箭结构质量是推进剂质量的 2 倍，火箭的最大速度为 8km/s，则火箭发动机的喷
气速度为（参考数据：ln2 ≈ 0.7，ln3 ≈ 1.1，ln4 ≈ 1.4）
80
A. 10km/s B.20km/s C. km/s D. 40km/s
3
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)−→ −−→(cid:12)
10. 过点P(4,0)的直线与圆x2+y2 = 4交于不同的两点A,B，设C(1,0)，则(cid:12)CA+CB(cid:12)
的取值范围是
√ √ √ √
A. [2,6] B.[ 3,2 3] C.[2,2 3] D. [ 3,4]
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 若f(x) = 2sin(x+φ)−cosx(φ > 0)为奇函数，则φ的一个值为 ，f(x)
最大值为 。
y2 x2
12. 若双曲线 C : − = 1 (a > 0,b > 0) 的一条渐近线被圆 x2 +y2 −4y +2 = 0 所截
a2 b2
得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为 。
13. 我国南北朝时期的数学典籍《孙子算经》中“物不知数”问题的解法，被西方人称为“中国
剩余定理”。现有如下问题：将被2除余数为1且被3除余数为2的正整数，按从小到大的
顺序排成一列，构成数列{a }，则a = ，a −a = 。
n 1 2026 2024
√ √
14. 如图，筝形ABCD中，AB = AD = 5，BC = DC = 2，BD = 2。将△ABD绕BD
顺时针旋转120◦，得到四面体ABCD，则四面体ABCD的体积为 ，表
面积为 。
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A
D
A
C=⇒D
C
B B
15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并
且有意识地“以概念代替盲算”，以其名字命名的函数狄利克雷函数
(
1, x 是有理数,
D(x) =
0, x 是无理数.
现定义一个与狄利克雷函数类似的函数“L 函数”
(
x, x 是有理数,
L(x) =
0, x 是无理数.
给出下列四个结论：
⃝ D(1) = L(1)；
1
⃝ 函数L(x) 是偶函数；
2
⃝ L 函数图像上存在四个点A,B,C,D，使得四边形ABCD 为平行四边形；
3
⃝ L 函数图像上存在三个点A,B,C，使得△ABC 为等边三角形。
4
其中正确结论的序号是 。
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）如图，在平面内，四边形ABCD 满足B,D 点在AC 的两侧，AB = 1，
BC = 2，△ACD 为正三角形，设∠ABC = α。
D
A
α
B
C
（I） 当∠ACB = 30◦ 时，求α 的大小；
（II） 当α 变化时，求四边形ABCD 面积的最大值。
17.（本小题13分）流感病毒属于RNA病毒，主要分为甲型、乙型、丙型。其中，甲型流
感病毒传染性和致死率最高，危害极大。某药品科技研发团队针对甲流病毒特性，成
功研制出预防药品 M 与治疗药品 N。通过对前期动物试验的相关有效数据进行统计，
随机选取100 个样本，得到如下数据：
预防药品M 甲流病毒–感染 甲流病毒–未感染 合计
未使用 16 20 36
使用 24 40 64
合计 40 60 100
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（I） 从这100个样本中随机抽取一个，已知该样本使用了预防药品M，记其未感染甲
流的概率为P ，求P 的值；
1 1
（II） 以频率估计概率，从已感染甲流的动物中抽取 3 个样本，记使用了预防药品 M
的动物数为X，未使用预防药品M 的动物数为Y，求X < Y 的概率；
（III） 以频率估计概率，从已感染甲流的动物中随机抽取一只，使用治疗药品 N 进行
治疗。已知未使用预防药品 M 的动物治愈率为 0.5，使用过预防药品 M 的动物
治愈率为 0.75，设治疗药品 N 对甲流的治愈率为 P ，判断 P 与 P 的大小（结
2 1 2
论不要求证明）。
18.（本小题 14 分）如图，三棱锥 P −ABC 中，AB ⊥ AC，AB ⊥ BP，AB = BP = 2，
AC = 4。M 为AP 的中点，N 为BC 的中点。
P
M
C
A
N
B
（I） 求证：AB ⊥ MN；
（II） 再从条件⃝、条件⃝这两个条件中选择一个作为已知，求直线MN 与平面PAC
1 2
所成角的正弦值。
√ √
条件⃝：MN = 5； 条件⃝：PC = 2 6。
1 2
注：如果选择条件⃝和条件⃝分别解答，按第一个解答给分。
1 2
√
x2 y2
19.（本小题15分）已知椭圆W : + = 1(a > b > 0) 的短轴长为2，焦距为2 3。
a2 b2
（I） 求椭圆W 的方程；
（II） 椭圆W 的左右顶点分别为A,B，点M 为W 上一点，直线AM 交x = a于点C，
BM 交 x = −a 于点 D，BC,AD 的中点分别为 P,Q。判断 PQ 与 W 的位置关
系。
1+ax
20.（本小题15分）已知函数f(x) = ln (a ̸= 0)。
1−ax
（I） 判断函数f(x) 的奇偶性；
f(x)
（II） 若曲线y = f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程为y = kx+b，求证： > 1；
kx+b
（III） 求函数F(x) = (1+ax)ln(1+ax)+(1−ax)ln(1−ax) 的最值。
21.（本小题15分）对于有穷正整数列M : a ,a ,··· ,a (n ≥ 2)，记S = a +a +···+a ，
1 2 n 1 2 n
若数列M 满足：
∀t ∈ {1,2,3,··· ,S −1,S}, ∃i ,i ,··· ,i ∈ {−1,0,1},
1 2 n
使得i a +i a +···+i a = t，则称M 为平滑数列。
1 1 2 2 n n
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（I） 已知数列M : 1,3；N : 2,3,5，判断M,N 是否为平滑数列，并说明理由；
（II） 若平滑数列M : a ,a ,··· ,a (n ≥ 3) 是公差为d 的等差数列，求d 的最大值；
1 2 n
（III） 若平滑数列M 的项数为5，求S 的最大值。
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