张家口市 届高三年级第二次模拟考试
2026
数学参考答案
本套试卷紧扣《教育部关于 年普通高校招生工作的通知》改革要求，结合
2026
届高三备考实际精准命制。 试卷坚持依标据本，聚焦主干知识与核心主线，深化基
2026
础性考查，落实“学—教—考”一体化要求，重点考查数学思维过程与品质，引导教学回
归学科本质，兼顾知识夯实与能力培育。
一、落实基础托底考查，筑牢学科知识根基
试卷狠抓基础知识托底考查，让核心基础知识、基本技能与方法落地见效。 针对集
合、复数、统计等基础考点，采用直白简洁的考查形式，数据精简且考查力度到位，杜绝
偏题怪题。 整卷知识结构稳定务实，全面覆盖必备知识，切实检验学生基础掌握的扎实
度，筑牢学科学习根基。
二、聚焦核心概念理解，深挖知识形成过程
试卷聚焦核心概念理解与知识形成过程，破除机械刷题弊端。 第 题考查异名三角
5
函数图象变换，侧重参数影响的本质理解；第 题以分段函数与三角函数为载体，深挖
11
函数图象特征，渗透函数与方程思想；第 题依托教材习题，考查椭圆性质，拒绝二级
16
结论生搬硬套，倒逼学生吃透知识内涵，而非死记硬背、题型复刻。
三、强化知识关联融合，凸显学科综合素养
试卷强化知识关联融合，实现跨模块综合考查，凸显学科系统性。 第 题融合解三
17
角形与平面向量，凸显向量的工具性作用，贴合教材与高考命题脉络；第 题第 问以
18 (2)
空间向量共面定理为核心，考查四点共面问题，跳出向量仅靠坐标运算的固化思维，引
导学生掌握向量双重属性，提升知识迁移与综合解题能力。
四、创新试题布局设计，破除固化教学误区
试卷创新布局设计，打破传统固化结构，规避教学误区，消除学生固定题型畏难弃
题心理，破解片面模块化训练短板。 此举引导教学摒弃猜题押题，聚焦思维培养与素养
提升，回归数学育人核心。
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
C A C D B D B C AC BCD BCD
. 解析:由题可知A B 故选 .
1C , ∪ = -2,-1,0,1,2,3,5 , C
. 解析:因为z π π 1 1 所以 z 则 1+i 故选 .
2A =sin +icos = + i, 2 =1+i, =i=1, A
6 3 2 2 1-i
. 解析:由a a a a 得a 又a a a 所以 a a 故选 .
3C 1+ 2+ 6=33=6, 3=2, 1+ 5=23=4, log a 3 1+ 5 =2, C
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1 8
{#{QQABJYIowgiwgJaACI4LAwHMCUgYsIGiJOgsAUASqA5LSQFABAA=}#}. 解析:易得圆锥的高为 2 2 则圆锥的体积为1 2 3 圆柱的体积为 2
4D 2-1 =3, π×1× 3= π, π×1×2=
3 3
所以圆柱与圆锥的体积之比为2π 故选 .
2π, =23, D
3
π
3
. 解析:由题可知y x π x x π x π
5B =sin2 =cos -2 =cos2 - =cos2 -
2 2 4
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2 8
又y x π
, =cos2 - =
3
x π
cos2 -
6
所以 φ π π π 故选 .
, = - = , B
4 6 12
. 解析:依题意 μ 5+45 所以 P ξ 1 1 9 故选 .
6D ,= =25, 25≤ ≤45 = - = , D
2 2 20 20
y x x p
. 解析:E的渐近线为y x 联立 =± ,可得 =2 , 不妨设A p p B p p 又
7B =± , y2 px y p. 2 ,2 , 2 ,-2 ,
=2 , =±2
y2 x
AOB的面积为 则1 p p 解得p 联立 =4 , 整理得x2 x 解得x
△ 16,
2
×2 ×4 =16, =2, x2
-
y2
=1,
-4 -1=0, =
或x 舍去 所以y2 x x2 所以 OP 2 x2 y2 故
2+5 =2- 5( ), =4 =8+45, =9+45, = + =17+85,
选 .
B
. 解析:如图 连接BC BDBECECD 易得BD 平面ACCA CE 平面ABBA 所以
8C , 1, , ,1 ,1 , ⊥ 1 1,1 ⊥ 1 1,
BD CDCE BE 即 BCD和 BCE均为直角三角形 所以BC 即为球O的直径 其长为 R
⊥ 1 ,1 ⊥ , △ 1 △ 1 , 1 , 2 =
2 2 所以R .过点O作OM BC 于点M 则OM .球O与上底面的交线即为
4+ 23 =27, =7 ⊥ 1 1 , =3
以M为圆心 半径为 2 2 的圆弧 又底面 ABC 的边长为 则交线为以M 为圆心
, 7 - 3 =2 , △ 1 1 1 4, ,
圆心角为π 半径为 的圆弧 长度为π 2π 故选 .
, 2 , ×2= , C
3 3 3
. 解析:因为y x 则A a B b C c D dE e所以 选项正确 选
9AC i =2 i +1, =2 +1, =2 +1,=2+1, =2 , =2, A ,B
项不正确 选项正确 选项不正确 故选
,C ,D . AC.
. 解析:圆C的方程可化为x m -2 2 y m 2 5 m2 m .对于 选项 圆心C的坐标为
10BCD + + + = , ≠0 A ,
2 4
m
2- m 则圆心C的轨迹方程为 x y 除去点 所以 选项不正确 对于 选项
,- , 2 - -2=0( 1,0 ), A ; B ,
2
x y x
圆C的方程可化为x2 y2 x y m x 令 +2 -1=0, 解得 =1,所以圆C
+ + +2 -1 -2 +1=0, x2 y2 x y
+ -2 +1=0, =0,
过定点 所以 选项正确 对于 选项PA→ PC→ PA→ PA→ AC→ PA→ 2 当m 时x2
1,0 , B ; C , · = · + = , =2 , +
y 2 圆心C 半径r 圆心C 到直线 x y 的距离d 10 所
+2 =5, 0,-2 , =5, 0,-2 2 + -8=0 = =25,
5
{#{QQABJYIowgiwgJaACI4LAwHMCUgYsIGiJOgsAUASqA5LSQFABAA=}#}以 PA→ 2
min=
d2
-
r2
=15,
所以
C
选项正确
;
对于
D
选项
,
S四边形PACB
=
PA
·
AC
=5
PA
≥5×
所以 选项正确 故选
15=53, D . BCD.
. 解析:当π x 3π时 π x π fx x x 所以fx
11BCD < ≤ ,- < -π≤ , -π =cos -π =-cos , =
2 2 2 2
x 当3π x 5π时 π x 3πfx x x 所以fx x 则
-3cos ; < ≤ , < -π≤ , -π =-3cos -π =3cos , =9cos ,
2 2 2 2
函数fx 的图象如下
:
对于 选项f 所以 选项不正确 对于 选项 函数fx 的值域为 所以 选项正确
A , π =3, A ; B , 0,9 , B ;
对于 选项 当fx 时 不妨设x x x 则x x x 所以x x x 所以
C , =3 , 1< 2< 3, 1=π,2+ 3=4π, 1+ 2+ 3=5π, C
选项正确 对于 选项 令fx t 则t2 at Δ a2 .当a 时 易知原方程无解
; D , = ∈ 0,9 , - +1=0,= -4 <2 , ;
当a 时 易得t 由图可知原方程有 个不等的根 当 a 82时 方程t2 at 有两个不同
=2 , =1, 5 ; 2< ≤ , - +1=0
9
的正实根tt 且t t 不妨设 t t 由图可知 当 t 时 原方程有 个不等的根
1,2, 1· 2=1, 0< 1<1< 2, , 1< 2<3 , 10 ,
当t 时 原方程有 个不等的根 当 t 时 原方程有 个不等的根 当t 时 原方程有 个
2=3 , 9 , 3< 2<9 , 8 , 2=9 , 7
不等的根 当a 82时 方程t2 at 有且仅有 个正实根 且 t 由图可知 此时原方程有
; > , - +1=0 1 , 0< <1, ,
9
个不等的根 所以 选项正确 故选
6 , D . BCD.
. 1 解析:f 1 1 1 1f 1 f 1 1.
12- - =- ×1+ +1= , =- - =-
4 2 2 2 4 2 2 4
. 解析:易知曲线y x 在点 1 处的切线为y x .设直线y x 与曲线y x -1
131 =ln(2 ) ,0 =2 -1 =2 -1 =e +
2
x a相切的切点为x y y' x -1 则有 x 0-1 解得x y 于是y x 0-1 x
- 0,0 , =e +1, e +1=2, 0=1,0=1, 0=e + 0-
a a 解得a .
=1+1- =1, =1
.3 解析:记事件M 任取一件电池检测不达标 A 电池是从甲厂取出的 B 电池是从乙厂取
14 =“ ”, =“ ”, =“
7
出的 .依题意可知 PA PB 1 PMA 2 PM B 3 由全概率公式 得PM
” , = = , = , = , , =
2 100 200
PBM
PAP M A P B P M B 1 2 1 3 7 则 P BM
+ = × + × = , = PM =
2 100 2 200 400
3 1
PMB PB ×
· 200 2 3.
PM = =
7 7
400
.解:()依题意可知,a b 1a 1a 1 ,解得a b ,……………………………… 分
15 1 1= 5= 3= 1+2× 1= 5=1 3
2 2 2
n
所以a 1n 1n ,b b 1 -5 1 . ………………………………………… 分
n =1+ -1 = +1 n = 5 = n -5 5
2 2 2 2
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3 8
{#{QQABJYIowgiwgJaACI4LAwHMCUgYsIGiJOgsAUASqA5LSQFABAA=}#}()由()可知,a·b n · 1 ,则
2 1 2 n n = +1 n -5
2
S … n 1 n 1 n 1 ,………………………… 分
n =2×16+3×8+4×4+ + -1 × n -7+ × n -6+ +1 × n -5 7
2 2 2
1S … n 1 n 1 n 1 ,………………………… 分
n =2×8+3×4+4×2+ + -1 × n -6+ × n -5+ +1 × n -4 9
2 2 2 2
两式作差得1S … 1 1 n 1
n =32+8+4+2+ + n -6+ n -5 - +1 × n -4
2 2 2 2
1
81- n -1
2 n 1
=32+ - +1 × n -4
1 2
1-
2
n
2+ +1
=48- n -4
2
n
+3,………………………………………………………………………… 分
=48- n -4 12
2
n
所以S +3.…………………………………………………………………………………… 分
n =96- n -5 13
2
.解:()由题易知a ,…………………………………………………………………………………… 分
16 1 =2 1
x2 y2
,
+b2=1
联立 4
y 1x ,
= +2
2
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4 8
得b2 x2 x b2 , ……………………………………………… 分
+1 +42 +8-4 =0 3
令Δ ,得b ,………………………………………………………………………………………… 分
=0 =1 4
所以C的方程为
x2
y2 . …………………………………………………………………………… 分
+ =1 5
4
()证明:当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为 y kx t,Ax,y ,Bx,y ,…… 分
2 = + 1 1 2 2 6
y kx t,
联立 = + 得 k2 x2 ktx t2 ,Δ ,
x2 y2 , 4 +1 +8 +4 -4=0 >0
+4 =4
kt
x x 8 ,
1+ 2=-k2
则 4 +1
xx 4
t2
-4,
1 2=k2
4 +1
…………………………………………………………………………………… 分
8
yy kx t kx t k2xx ktx x t2 -4
k2
+
t2
. ……………………………… 分
1 2= 1+ 2+ = 1 2+ 1+ 2 + = k2 9
4 +1
因为以AB为直径的圆经过点 , ,则x x yy ,
20 1-2 2-2 + 1 2=0
即xx x x yy 12
k2
+16
kt
+5
t2
,…………………………………………… 分
1 2-2 1+ 2 +4+ 1 2= k2 =0 10
4 +1
则 k2 kt t2 k t k t ,即 k t 或 k t . ………………………… 分
12 +16 +5 = 2 + 6 +5 =0 2 + =0 6 +5=0 11
当t k时,直线AB的方程为 y kx k kx ,此时直线AB过定点 , ,舍去;
=-2 = -2 = -2 20
当t 6k时,直线AB的方程为 y kx 6k kx 6 ,此时直线AB过定点 6, .…… 分
=- = - = - 0 13
5 5 5 5
当直线AB的斜率不存在时,直线方程为x 6,此时A,B两点为 6,4 ,6, 4 ,以AB为直径
= -
5 5 5 5 5
{#{QQABJYIowgiwgJaACI4LAwHMCUgYsIGiJOgsAUASqA5LSQFABAA=}#}的圆的方程为x 6 2 y2 16,点 , 在该圆上. ……………………………………………… 分
- + = 20 14
5 25
综上所述,直线AB过定点 6, .…………………………………………………………………… 分
0 15
5
.证明:()方法一:由余弦定理得a2 b2 c2 bc A,b2 a2 c2 ac B, ………………… 分
17 1 = + -2 cos = + -2 cos 1
所以a2 b2 b2 a2 bc A ac B,
- = - -2 cos +2 cos
即a2 b2 ca B b A . ……………………………………………………………………… 分
- = cos - cos 3
两边同乘c,得(a2 b2 )c c2 (a B b A),
- = cos - cos
由正弦定理可得(a2 b2 ) C c2 ( A B B A), …………………………………… 分
- sin = sin cos -sin cos 5
所以a2 b2 A B c2 A B .……………………………………………………………… 分
- sin + = sin - 7
方法二:由正弦定理可知,要证a2 b2 A B c2 A B ,
- sin + = sin -
只需证 2A 2B A B 2C A B ,……………………………………………… 分
sin -sin sin + =sin sin - 2
又因为 2A 2B A B A B
sin -sin = sin +sin sin -sin =
A B A B A B A B
+ - · + - A B A B ,……………………………… 分
2sin cos 2cos sin =sin + sin - 5
2 2 2 2
所以 2A 2B A B 2A B A B 2C A B ,得证. …………… 分
sin -sin sin + =sin + sin - =sin sin - 7
()方法一:当点D,E都位于点A时,θ ,等式显然成立. ………………………………………… 分
2 =0 9
当点D,E不同时位于点A时,
DE→·BA→ DE→·BC→ CA→ DE→·BC→ DE→·CA→,……………………………………………… 分
= + = + 10
DE→·BC→ DE→ BC→ B θ aDE→ B θ ,…………………………………………… 分
= cos - = cos - 11
DE→·CA→ DE→ CA→ A θ bDE→ A θ ,…………………………………………… 分
= cos + = cos + 12
DE→·BA→ DE→ BA→ θ cDE→ θ ,………………………………………………………… 分
= cos = cos 13
所以cDE→ θ aDE→ B θ bDE→ A θ ,又 DE→ ,……………………… 分
cos = cos - + cos + ≠0 14
即c θ a B θ b A θ .……………………………………………………………… 分
cos = cos - + cos + 15
方法二:展开等式右边,
a B θ b A θ a B θ B θ b A θ A θ
cos - + cos + = cos cos +sin sin + cos cos -sin sin =
θ a B b A θ a B b A , ………………………………………………… 分
cos cos + cos +sin sin - sin 10
易知a B b A c,又由正弦定理可知,a B b A ,………………………………… 分
cos + cos = sin - sin =0 12
所以 θ a B b A θ a B b A c θ , ………………………………… 分
cos cos + cos +sin sin - sin =cos 14
即c θ a B θ b A θ .……………………………………………………………… 分
cos = cos - + cos + 15
.解:()证明:设AC BD O,则在正四棱锥P ABCD中,PO 平面ABCD.…………………… 分
18 1 ∩ = ⊥ 1
因为M,N分别为棱PA,PC的中点,则MN AC,
∥
AC BD,AC PO,BD PO O,
⊥ ⊥ ∩ =
所以AC 平面PBD,MN 平面PBD,……………………………………………………………… 分
⊥ ⊥ 3
又DQ 平面PBD,所以MN DQ.…………………………………………………………………… 分
⊂ ⊥ 4
()()由题可知,DQ→ λDB→ λDP→,λ , .………………………………………………… 分
2 i = + 1- ∈ 01 5
因为M,N分别为棱PA,PC的中点,所以DM→ 1DA→ DP→ ,DN→ 1DC→ DP→ ,
= + = +
2 2
DQ→ λDA→ DC→ λDP→. ……………………………………………………………………… 分
= + + 1- 6
又因为D,M,Q,N四点共面,则有DQ→ mDM→ nDN→,
= +
m n m n
于是可得λDA→ DC→ λDP→ DA→ DC→ + DP→,
+ + 1- = + +
2 2 2
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5 8
{#{QQABJYIowgiwgJaACI4LAwHMCUgYsIGiJOgsAUASqA5LSQFABAA=}#}m
λ ,
=
2
n
可得λ ,
=
2
m n
λ + ,
1- =
2
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6 8
……………………………………………………………………………………… 分
9
解得λ 1.……………………………………………………………………………………………… 分
= 10
3
()因为AB ,PA与底面所成角的正切值为 ,
ii =2 2
PO PO PO
所以 PAO ,所以PO .…………………………………………… 分
tan∠ =AO= = =2 =2 11
1AC 1
×2
2 2
如图,以O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B ,, ,
010
P ,, ,M 1,, ,N 1,, ,
002 01 - 01
2 2
BM→ 1, , ,MN→ ,, ,PM→ 1,, ,PB→ ,, ,MQ→ PQ→ PM→
= -11 = -100 = 0-1 = 01-2 = - =
2 2
λ ,, 1,, 1,λ, λ 1,1,1 . …………………………………… 分
01-2 - 0-1 = - 1-2 = - 13
2 2 2 3 3
设平面BMN的法向量为u x,y,z ,
=
BM→·u 1x y z ,
则 = - + =0
2
MN→·u x ,
=- =0
x ,不妨令 y ,则z ,
=0 =1 =1
所以平面BMN的一个法向量为u ,, . ……………………………………………………… 分
= 011 14
设平面QMN的法向量为v m,n,t ,
=
MQ→·v 1m 1n 1t ,
则 =- + + =0
2 3 3
MN→·v m ,
=- =0
m ,不妨令t ,则n ,
=0 =1 =-1
所以平面QMN的一个法向量为v , , . …………………………………………………… 分
= 0-11 15
u·v
设平面BMN与平面QMN的夹角为θ,则 θ | | ,
cos =u ·v =0
|| ||
所以平面BMN与平面QMN夹角的余弦值为 .…………………………………………………… 分
0 17
.解:()函数 fx 的定义域为 , ,
19 1 0+∞
不等式 fx ,即x x x a.…………………………………………………………… 分
≥0 + -2 ln ≥- 1
令 gx x x x,x , ,
= + -2 ln ∈ 0+∞
{#{QQABJYIowgiwgJaACI4LAwHMCUgYsIGiJOgsAUASqA5LSQFABAA=}#}则 g'x x 2,x , ,…………………………………………………………… 分
=1+ln +1-x ∈ 0+∞ 2
又 g″x 1 2 在区间 , 上恒成立,所以函数 g'x 在区间 , 上单调递增,
=x+x2>0 0+∞ 0+∞
又 g' ,所以当x , 时,g'x ,函数 gx 在区间 , 上单调递减;当x , 时,
1 =0 ∈ 01 <0 01 ∈ 1+∞
g'x ,函数 gx 在区间 , 上单调递增,…………………………………………………… 分
>0 1+∞ 4
所以函数 gx 在x 处取得最小值 g ,所以 a ,解得a .………………………… 分
=1 1 =1 - ≤1 ≥-1 5
()证明:()当a 时,fx x x x,由()可知,x x x 在区间
2 i =-1 = -1+ -2 ln 1 -1+ -2 ln ≥0
x
, 上恒成立,当x , 时,不等式x x x 可化为 x -1,当且仅当x
0+∞ ∈ 02 -1+ -2 ln ≥0 ln ≤ x =
2-
时等号成立. …………………………………………………………………………………………… 分
1 7
n
n n n -1
令x ,则有 +1 1 , ……………………………………………………… 分
=n lnn < n =-n 9
+1 +1 +2
2-n
+1
n n
可得 1 ,即 1 +1, …………………………………………………………… 分
-lnn >n n <ln n 10
+1 +2 +2
n n
所以1 1 … 1 2 3 … +1 n ,
+ + +n <ln +ln + +lnn +ln n =ln +1
3 4 +2 1 2 -1
即S n . ……………………………………………………………………………………… 分
n
<ln +1 11
()不妨令x x,由()可知,函数 fx 在区间 , 上单调递减,在区间 , 上单调递增,则有
ii 1< 2 1 01 1+∞
x x.
0< 1<1< 2
当x 时,则x x 恒成立;
2≥2 1+ 2>2
当 x 时, x ,
1< 2<2 0<2- 2<1
由 fx f x fx f x
1 - 2- 2 = 2 - 2- 2
x x x x x x
= 2-1+ 2-2 ln 2- 2- 2-1 + 2- 2-2 ln 2- 2
x x x x x .…………………………………………………………… 分
=2 2-2+ 2-2 ln 2+ 2ln 2- 2 13
令hx x x x x x , x ,
=2 -2+ -2 ln + ln 2- 1≤ <2
x x x x
h'x x -2 x x x2 2- .
=2+ln + x +ln 2- +x =2+ln 2 - - x + x
-2 2-
x x x x
因为 x ,所以2- 2- · ,当且仅当x 时,等号成立.
1≤ <2 x + x≥2 x x=2 =1
2- 2-
又 x x2 x 2 ,所以 x x2 , ,所以 x x2 ,
2 - =- -1 +1 2 - ∈ 01 ln 2 - ≤0
所以h'x 在区间 , 上恒成立,即函数hx 在区间 , 上单调递减.…………………… 分
≤0 12 12 15
又h ,所以hx h ,即 fx f x fx f x ,
1 =0 ≤ 1 =0 1 - 2- 2 = 2 - 2- 2 <0
fx f x ,又函数 fx 在区间 , 上单调递减,
1 < 2- 2 01
则有x x,即x x .
1>2- 2 1+ 2>2
综上所述,x x .…………………………………………………………………………………… 分
1+ 2>2 17
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7 8
{#{QQABJYIowgiwgJaACI4LAwHMCUgYsIGiJOgsAUASqA5LSQFABAA=}#}编写细目表
.能力要求
1 :
. 抽象概括能力 . 推理论证能力 . 运算求解能力
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
. 空间想象能力 . 数据处理能力 . 应用意识和创新意识
Ⅳ Ⅴ Ⅵ
.核心素养
2 :
数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
能力要求 核心素养
题号 题型 分值 知识点 难度
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
选择题 分 集合的基本运算 易
1 5 √ √
选择题 分 复数的基本运算 易
2 5 √ √
选择题 分 等差数列基本运算 性质 易
3 5 、 √ √
选择题 分 圆柱 圆锥的体积 易
4 5 、 √ √ √ √
选择题 分 三角恒等变换 函数图象平移 中
5 5 、 √ √ √ √
选择题 分 正态分布 中
6 5 √ √ √ √
选择题 分 双曲线与抛物线的综合 中
7 5 √ √ √ √
选择题 分 棱柱与球的综合 难
8 5 √ √ √ √ √ √
选择题 分 样本数字特征 易
9 6 √ √ √ √
选择题 分 直线与圆的位置关系 中
10 6 √ √ √ √ √ √
选择题 分 三角函数 分段函数 难
11 6 、 √ √ √ √
填空题 分 函数的奇偶性应用 易
12 5 √ √
填空题 分 导数的几何意义 易
13 5 √ √
填空题 分 全概率公式与贝叶斯公式 中
14 5 √ √ √ √ √ √ √ √
解答题 分 等差数列 等比数列 数列的求和 易
15 13 、 、 √ √ √ √
解答题 分 直线与椭圆的位置关系 中
16 15 √ √ √ √
解答题 分 解三角形 三角恒等变换 中
17 15 、 √ √ √ √
解答题 分 空间向量应用 中
18 17 √ √ √ √ √ √
解答题 分 导数应用 函数不等式恒成立 难
19 17 、 √ √ √ √ √ √ √ √
高三数学答案 第 页(共 页)
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