文档内容
#$#%!#$#&学年新乡市高三第二次模拟考试
数学参考答案
#)&* !#)&*"!!)%*" +!$)!$*
!!’!"( ( ( (+!)*#则""(+!+*!
!+%* !!+%*"!!)%*" !$
$#)%#+&# 0)#"+&0 !
#!,!由余弦定理得-./#( ( (+ #$#所以$#’(为钝角三角形!
#$% #1%1" #
&))#*)#($#
%!,!联立% 可得*#)#&*)#&($#则!(&&#+2&($#所以&(##故(的焦点坐
’*#(&)#
!
标为! #$"!
#
&!3!-./%"(-./#"-./"+/*4#"/*4"(!#-./#"+!"-./"+#/*4#"-./"(#-./%"+-./"+#!!+
!!
-./#""-./"(&-./%"+%-./"(+ !
!5
"!6!不同的分法有,#!,#,#),!,%3#"(#!$种!
5 & # & % #
+#)! !
5!,! (+) (##当且仅当+(!时#等号成立#所以$)%#)$)%)##则$)%#)$)%+#)
+ +
$#解得+#)$)%)!#所以+#))##!
7!’!令)(*(+!#可得,!+!"($!令*(+#+)#则,!+!"(,!)"),!+#+)"($#故
,!)"的图象关于点!+!#$"对称#即,!)+!"是奇函数!
++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++*
2!3!-#&-’(!.#+.-"&!.’+.-"(.#&.’+!.#).’"&.-).-#(.-#+槡%1
++* 槡% ++* ++* % 0
槡%(.-#+%#由,.-,( #得-#&-’的最小值为 +%(+ !
# & &
#!
0!’,!由题可知小球运动的周期/(#/#所以 (##解得#(!!当0($/时##/*4$(#!
#
! !
又 $-!$#!%#所以 $( #则1(#/*4!!0) "(#-./!0#所以0(%!7"/与0(!$/时的相对
# #
#-./!!1%!7"" 槡#
于平衡位置的高度之比为 ( !故选’,!
#-./!!1!$" #
0
!$!3’!直线+))*+!($恒过点!$#!"#斜率为++#直线#+))#*+0($恒过点!$# "#斜
#
率为++#)#)*#)#)+&*)!($可化为!))!"#)!*+#"#(&#)#)*#+#)($可化为!)
+!"#)*#(!!因为直线+))*+!($与直线#+))#*+0($平行#所以#.’(/#故3
0
正确’因为点!$#!"在)#)*#)#)+&*)!($的内部#所以#.(0/#故’正确’点!$# "
#
在)#)*#)#)+&*)!($的外部#则’.(的元素个数可能为$#!###故,错误’圆!))!"#
)!*+#"#(&与圆!)+!"#)*#(!相交#所以(.20/#故6错误!
!
!!!3’6!依题意#$’33 为等边三角形#故,’3,(,’3,(,33,(5#1’33( !
! # ! # ! # # ! %
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
{#{QQABIY6EgggoAIJAAAhCEQFiCAAQkBGCAAoOQBAAIAAACRFABAA=}#}
书书书"槡% "槡% !!
在$#33 中#894133#( #/*4133#( #-./133#( #所以/*4#(
! # # ! !! # ! !& # ! !&
#! %槡% ,33, ,#3, ,#3,
/*4! )133#"( !根据正弦定理可得 ! # ( ! ( # #解得
% # ! !& /*4# /*4133# /*4133#
! # # !
,#3,(!&#,#3,(!$#所以#&(&#即&(##$(槡%#+&#(槡"#所以(的渐近线方程为*
! #
槡" ! ! !
(: )#,#’,(!5#$#’3 的面积为 151!51/*4 (#&槡%!由$#33 的面积为
# ! # % ! # #
"槡% !"槡%
151!&1 (!"槡%#可得$#33 内接圆的半径为 (槡%!故选3’6!
!& ! # !
!5)!$)!&"
#
#$槡"! &!
!#! !由球的截面圆性质可知球的半径4(槡!#)##(槡"#则该球的体积为 1!槡""%(
% %
#$槡"!
!
%
"1%)0 !&+%"#)!&+%"#)()!&+%"#
!%!&’2!这5个数的平均数为 (&#由题可知 ! # " (
5 "
!2
#解 得 &# ) &# ) ( ) &# ( 5%# 所 以 这 5 个 数 的 方 差 为
" ! # "
!&+&"#)!&+&"#)()!&+&"#)!0+&"# &#)&#)()&#)0#
! # " ( ! # " +&#(2!
5 5
! #
!&!! # "!令5!)"(0#则方程,!0"(%的解有%个!,!0"在!+<#$%上单调递增#当02$
& ;
#!!+=40"
时#,6!0"( #则,!0"在!$#;"上单调递增#在!;#)<"上单调递减#故结合*(,!0"
0#
#
的图象!图略"#可得$#%# #且方程,!0"(%的三个解中最小的解为0(=.>%!
; #
又5!)"()#)#)+&%(!))!"#+&%+!在!+<#+!"上单调递减#在!+!#)<"上单调
递增#所以=.>%2+&%+!#即&%)=.>%)!2$!令1!%"(&%)=.>%)!#易知1!%"在!$#
# # #
! !
)<"上单调递增#又1! "($#所以&%)=.>%)!2$的解集为! #)<"!
& # &
! #
综上#%的取值范围为! # "!
& ;
!"!!!"证明)如图#取.为#(的中点#连接.-!因为-#(-(#所以
-.3#(!………………………………………………………!分
因为平面-#(3平面#’(#且两平面相交于#(#所以-.3平
面#’(!………………………………………………………#分
因为#’4平面#’(#所以-.3#’!………………………%分
又-#3#’#且-#.-.(-#所以#’3平面-#(! ……"分
!#"解)过点#作-.的平行线#7!以#为坐标原点##’##(##7所在直线分别为)#*#"
轴#建立如图所示的空间直角坐标系#
!高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$%
{#{QQABIY6EgggoAIJAAAhCEQFiCAAQkBGCAAoOQBAAIAAACRFABAA=}#}++* ++* ++*
则#!$#$#$"#’!##$#$"#(!$###$"#-!$#!#槡%"#所以#((!$###$"##-(!$#!#槡%"#-’(
++* !++* # ! 槡% ++* ++* ++* # # #槡%
!##+!#+槡%"#-8( -’(! #+ #+ "##8(#-)-8(! # # "!……5分
% % % % % % %
设平面#(8的法向量为!(!)#*#""#
&!&#
++*
(($#
&#*($#
则% 即% 令"(+!#得!(!槡%#$#+!"!……………2分
++* # # #槡%
’!($# )) *) "($#
’% % %
易知平面-#(的一个法向量为"(!!#$#$"# …………………………………………!$分
!&" 槡%
所以-./*!#"+( ( !
,!,,", #
!
因为二面角-9#(98为锐角#所以二面角-9#(98的大小为 ! ……………………!%分
5
$ & %& )% %!#& +!")%
!5!证明)!!"由题可知 :)!( #:)!( #: ( #:+! (5#………………………%分
$ & & &
: #:+! #:+! #:+!
所以数列,$-是以!为首项#5为公比的等比数列#………………………………………&分
:
所以$(5:+!!………………………………………………………………………………5分
:
!#"由题可知& (#& +!#
#: #:+!
所以; (&)&)&)()& (%!$)$)()$"+: ………………………………0分
#: ! # % #: ! # :
!+5: % %
(%1 +:( 15:+:+ ! ………………………………………………………!#分
!+5 " "
5 5 ! &
令%(#; +& )#( 15:+#:+ +5:)#( 15:+#:) #
: #: #:)! " " " "
! & ! &
则% +%($ 15:)!+#!:)!") %+! 15:+#:) "(5:+#2$#
:)! : " " " "
所以数列,%-单调递增#故%(%($#即#; (& +#!………………………………!"分
: : ! #: #:)!
!7!解)!!"由图可知#满意度评分不低于5$分的频率为!+!$!$!$)$!$#$"1!$($!7# ……
………………………………………………………………………………………………#分
所以这!$$名观影者满意度评分不低于5$分的人数为$!71!$$(7$!………………%分
!#"因为!$!$!$)$!$#$"1!$($!%#$!&#!$!$!$)$!$#$)$!$%$"1!$($!52$!&#……
……………………………………………………………………………………………"分
所以这!$$名观影者满意度评分的第&$百分位数位于第三组#且这!$$名观影者满意度评
$!&+$!%
分的第&$百分位数的估计值为5$) 1!$55%!%! …………………………7分
$!$%$1!$
!%"由图可知#<($!5#<($!2! …………………………………………………………0分
! #
=的可能取值为$#!###……………………………………………………………………!$分
-!=($"(!!+<"!!+<"($!$2# ……………………………………………………!!分
# !
-!=(!"(>( $ & $ ( $ #……#分
$ $ ! # ))& )+& )#+&#
$ $ $
)# *# $#!&#+)#" $# ! $# !
又 $) $(!#即*#( $ #所以>>(+ (+ #即 ( "!………………&分
&# $# $ &# ! # &# & &# &
由,#(,(槡"#得&#)$#("#!联立"##解得&(##$(!#………………………………5分
)#
所以椭圆8的方程为 )*#(!!…………………………………………………………7分
&
!#"由!!"得’!##$"#设直线’-的方程为*(>!)+#"#
!
因为点-位于第一象限#所以>#+ ! …………………………………………………2分
#
&*(>!)+#"#
联立%)# 整理得!&>#)!")#+!5>#))!5>#+&($#
)*#(!#
’&
!5># 2>#+# &>
则))#( #所以)( #则*(>!)+#"(+ #
- &>#)! - &>#)! - - &>#)!
2>#+# &>
所以-! #+ "!………………………………………………………………!$分
&>#)! &>#)!
!
又直线#(的方程为*( ))!#
#
所以联立%
& *( !
#
))!#
解得2! &>)# # &> "! ………………………………………!#分
#>+!#>+!
’*(>!)+#"#
,-7, ,-2, ,-7, ,-2, * *+* *+* !5># 2
故 & ( & ( - & 2 -( 2 -( ( !……!"分
,-’, ,-(, ,-(, ,-’, !+* * !+* 2>#+# !
- - - &+
>#
! ! ! ,-7, ,-2,
因为>#+ #所以>#2 #$# #&#所以 & -!##)<"!………………!7分
# & ># ,-’, ,-(,
! !
!0!!!"解),!)"()%) #所以,6!)"(%)#+ #其定义域为!+<#$"6!$#)<"# ……!分
) )#
!
令,6!)"(%)#+ (##解得)(:!!……………………………………………………#分
)#
不妨设切点-!+!#+#"#?!!##"#
则在点-处的切线方程为*)#(#!))!"#即*(#)# …………………………………%分
在点?处的切线方程为*+#(#!)+!"#即*(#)!
!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$%
{#{QQABIY6EgggoAIJAAAhCEQFiCAAQkBGCAAoOQBAAIAAACRFABAA=}#}!
故直线*(#)为曲线,!)"()%) 的.双重切线/!……………………………………&分
)
&;)+
#
#))$# &
;)#))$#
!
!#"解)5!)"(% ; 所以56!)"(%! 易知*(;)在!+<#$%上与*( 在
#)2$# )
’=4)#)2$# ’)
!$#)<"上均为单调函数!设切点-!)#*"#?!)#*"#且))$#)#,6!)"(,6!)"#
! ! # # ! # ! #
#
则在点-处的切线方程为*+!;)!+
;
"(;)! !)+)
!
"#…………………………………"分
!
在点?处的切线方程为*+=4)( !)+)"#…………………………………………5分
# ) #
#
& ;)!( ! #
) # #
所以%
#
消去)
#
可得;)!+)
!
;)!))
!
+
;
)!($!……………2分
’
;)!+)
!
;)!+
;
(=4)
#
+!#
#
令>!)"(;)+);)))+ )!#))$#则>6!)"(;)+!!))";))!(+);))!2$#即>!)"在
;
!+<#$%上单调递增#又>!+!"($#所以)(+!#)(;#所以曲线*(5!)"的.双重切线/
! #
)
的方程为*( !……………………………………………………………………………!$分
;
!%"证明)设> 对应的切点为!)#/*4)"#!)6#/*4)6"#)#)6#
! ! ! ! ! ! !
> 对应的切点为!)#/*4)"#!)6#/*4)6"#)#)6!
# # # # # # #
因为!/*4)6"(-./)#所以>(-./)(-./)6#>(-./)(-./)6#
! ! ! # # #
!
所以只需考虑)))6(#!#)))6(&!#其中+ #)#)#$的情况#……………!#分
! ! # # # # !
/*4)6+/*4) /*4!#!+)"+/*4) #/*4)
则>( ! !( ! !(+ !#
! )6+) !#!+)"+) #!+#)
! ! ! ! !
/*4)6+/*4) /*4!&!+)"+/*4) #/*4) !
>( # #( # #(+ ##其中+ #)#)#$# …!%分
# )6+) !&!+)"+) &!+#) # # !
# # # # #
> /*4) &!+#) /*4) #!+)
所以 !( !& #( !& #! …………………………………………!&分
> /*4) #!+#) /*4) !+)
# # ! # !
#/*4) #/*4)
又+ !(-./)#+ #(-./)#
#!+#) ! &!+#) #
! !
所以/*4)(!)+!"-./)#/*4)(!)+#!"-./)!…………………………………!"分
! ! ! # # #
! ! /*4#)
令3!)"(894)+))!#+ #)#$#则36!)"( +!( (894#)2$#
# -./#) -./#)
! ! ! !
所以3!)"在!+ #$"上单调递增#又3!+ "2$#所以+ #)#)#+ !
# % # # ! %
/*4)
又/*4)#/*4)#$#所以$# !#!#
# ! /*4)
#
!
#!)
> /*4) #!+) #!+) # !"
所以 !( !& ## ## ( ! ……………………………………!7分
> /*4) !+) !+) ! 2
# # ! ! !)
%
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
{#{QQABIY6EgggoAIJAAAhCEQFiCAAQkBGCAAoOQBAAIAAACRFABAA=}#}
