热点1-1集合与复数（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_2024年高考数学热点·重点·难点专练（新高考专用）

热点 1-1 集合与复数 集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式及分式不等式的的形式，结合有限集、无 限集考查集合的交集、并集、补集等，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第 1或2题，以简单 题为主，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。 复数是高考数学的必考题，常见考查复数的四则运算、共轭复数、实部、虚部、模等概念，偶尔考查几何 意义-复数与平面内的点对应，基本出现在前2题的位置，难度不大，属于容易题。 【题型1 集合的含义与表示】 满分技巧 与集合元素有关问题的解题策略 1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合； 然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． 2、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互 异性． 【例1】（2023上·山东泰安·高三统考期中）已知集合 ， ，则 中的元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意， ， 当 ， 当 ， 当 ， 当 ， 当 ，当 ， 由集合中元素满足互异性，所以 .故选：B 【变式1-1】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）集合 中的元素个数为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】因为 ，即 ，所以 的可能取值为 ， 分别代入可得 ，所以集合中共有8个元素.故选：D 【变式1-2】（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）（多选）下列关系正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为 是整数，所以 ，故A错误； 因为 为无理数，所以 ，故B正确； 因为 ，所以 ，故C正确； 由于 为正整数集， 为自然数集， 为整数集，所以 ，故D正确.故选：BCD. 【变式1-3】（2023·全国·高三课时练习）集合 中只含有1个元素，则实数a 的取值是 ． 【答案】0或1 【解析】当 时， 满足题意； 当 时，要集合P仅含一个元素， 则 ，解得 ， 故a的值为0，1 【变式1-4】（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）已知集合 ，若 ，则 （ ） A． 或3 B．0 C．3 D． 【答案】C 【解析】 ， ，解得 或 ，当 时， ， 不满足集合中元素的互异性，舍去. 当 时， ， 此时 ，满足题意. 综上， .故选：C. 【题型2 集合与集合间的关系】 满分技巧 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； A B 第二步：看集合中是否含有参数，若 ， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[ 【例2】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知 ，由集合间的关系可知， .故选：A 【变式2-1】（2023上·上海·高三校考期中）设集合 ， ， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 因为 ，则 ，而 为奇数，所以 ，故选：C. 【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则a的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由函数 ，可得函数 为 上的单调递增函数， 当 时， ， 要使得 ，所以 .故选：B. 【变式2-3】（2023上·湖北·高三校联考期中）已知集合 ，且 ，则 （ ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【解析】由题意： ，得： 或 两种情况， 若 ，则 ，此时 ，不满足互异性； 若 ，则解得 或 ，显然， 符合题意， 而当 时， ，不满足互异性. 综上所述： .故选：D. 【变式2-4】（2023上·河南·高三开封高中校联考期中）已知集合 ， ， 若 ，则实数a的值为（ ） A．1 B．0或2 C．1或2 D．2 【答案】C 【解析】由 ，得到 ，即 ， 又 ，故 ，所以 ， 因为 ，且 ，所以 或2，故选：C. 【题型3 有限集合的子集个数问题】 满分技巧 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 【例3】（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）已知集合 ，则 的真子集个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B 【解析】因为 ， ， 所以 ， 的真子集个数为 .故选：B. 【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）设集合 ，则 的真子集的个数是（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由题意知 ， ，故 的真子集的个数为： ，故C项正确.故选：C. 【变式3-2】（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知集合 ， ， ，则 的子集共有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．64个 【答案】D 【解析】因为 ， ，所以 ， 所以 ，则 的子集共有 个，故选：D 【变式3-3】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件 的集合 有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【解析】∵ ， ∴ 或 或 或 ，共4个．故选：C． 【变式3-4】（2023上·安徽·高三校联考期中）若集合 有7个真子集，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合 有7个真子集， 所以集合 中包含3个元素，所以 ，解得 .故选：A【题型4 集合的交并补运算】 满分技巧 集合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况. 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 【例4】（2023·江苏南通·高三如东高级中学校考期中）已知 ， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 ，得 或 ，则 或 ， 又 ，所以 ，故选：B 【变式4-1】（2023·天津河东·高三统考期中）已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ，即 ，解得 或 ， 所以 或 ，则 ， 由 ，则 ，解得 ， 所以 ， 所以 .故选：C 【变式4-2】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解 可得， ，所以， . 当 时， 不满足，或 不满足； 当 时， 满足，或 满足； 当 时， 满足，或 不满足. 所以， ．故选：B. 【变式4-3】（2023·江苏无锡·天一中学校考模拟预测）已知集合 ， ， 且 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合 ， ， 可得 ， 因为 ，所以 ，解得 ， 即实数 的取值范围是 .故选：C. 【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）设全集 ，集合 ， ． （1）若 ，求 的取值范围； （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）不等式 ，可化为 ， 所以不等式 的解集为 ，故 ． 由 ，得 ． 当 时， ；当 时， ． 由 ，得 ，则 ，且 ， 所以 的取值范围是 ． （2）由于 ，因此 ，于是 ．当 时， 显然成立； 当 时， ，得到 ，因此 ． 综上所述， 的取值范围是 ． 【题型5 韦恩图在集合中的应用】 满分技巧 1、对于离散型数集或抽象几何的运算，常借助Venn图求解，数形结合思想的应用； 2、解决集合交、并、补运算的技巧：如果所给集合是有限集，则先把集合中的运算意义列举出来，然后 结合交集、并集、补集的定义求解。在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比 较直观、形象切解答时不易出错。 【例5】（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知 是全集 的非空子集，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为M，N是全集U的非空子集，且 ， 所以韦恩图为： 由韦恩图可知，A不正确；B不正确；C不正确；D正确.故选：D 【变式5-1】（2023·广东佛山·统考一模）若全集 ，集合 ， ，则图 中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知， ， ，则阴影部分表示 ， 而 ，则 .故选：D【变式5-2】（2023·重庆渝中·高三统考期中）设 均为非空集合，且满足   ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合 的韦恩图，如图所示， 因为 ，所以 ，所以 .故选：C. 【变式5-3】（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知全集为U，集合M，N满足 ，则下列运算结果一定为U的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 得当  时，  ，故选项A不正确； ，当 时， ，故选项B不正确； 当 时， ，故选项C不正确； 因为 ，所以 ，故选项D正确.故选：D. 【变式5-4】（2023·北京·高三北京八中校考阶段练习）如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴 影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】题图中的阴影部分是 的子集，不属于集合S， 故属于集合S的补集，即是 的子集， 则阴影部分所表示的集合是 故选：C 【题型6 集合的新定义问题】 满分技巧正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、 新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突 破口. 【例6】（2023·湖南·校联考模拟预测）定义集合 ．已知集合 ， ，则 的元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为 ， ， 所以 ，故 的元素的个数为4．故选： 【变式6-1】（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）已知集合 ，定义 叫做集合 的长度，若集合 的长度为4，则 的长度为（ ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】D 【解析】方程 的两根为 ， 的两根为 ， 当 时， ， 当 时， ， ，则 ， 当 时， ， ，则 ， 因为 的长度为4，所以 或 ，得 或 ， 当 时， ， ，则 ， 当 时， ， ，则 所以 的长度为10，故选：D 【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）若 且 ， ，则称a为集合A的孤立元素． 若集合 ，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合 的三元子集有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，共20个． 满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为 ， ， ， ，一共4种． 由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率 ．故选：C． 【变式6-3】（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集 ， ，定义 ， ， ，若集合 ，则集合 中所有元素之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据新定义，数集 ， ，定义 ， ， ， 集合 ， ， ， 则可知所有元素的和为 ，故选：D. 【变式6-4】（2023·安徽合肥·高三校考阶段练习）已知全集 且集合 、 是非空集合，定义 且 ，已知 ， ，则 . 【答案】 【解析】 ， 或 ， 因为 且 ， 所以 . 【题型7 复数的基本运算】 【例7】（2023·全国·模拟预测）已知 为虚数单位，且 ，则 （ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【解析】由题意得： ，则 ， .故选：C. 【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知复数z满足 ，则 （ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， 由 ，所以 ， 即 ，则 .故选：D. 【变式7-2】（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）已知复数z满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ，得 ， 所以 ，故选：A. 【变式7-3】（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）已知复数 满足 ，则 （ ） A．3 B．25 C．9 D．5 【答案】D 【解析】设 ， 则 ， 则 ，即 因为复数 满足 所以 ，即 所以 ，即 .故选：D 【变式7-4】（2023·天津·高三咸水沽第一中学校考期中）已知 为实数，若复数 为纯虚数，则 的值为 . 【答案】 【解析】因为复数 为纯虚数，可得 ， 所以 . 【题型8 与复数有关的最值问题】 【例8】（2023·全国·模拟预测）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】设 ，在复平面内对应的点 的坐标为 ， 由 ，得 ，即 ， 因此点 在圆 上运动，圆心 的坐标为 ，半径 ， 又 ， 于是 可以看成是点 到点 的距离，显然此点在圆 外， 所以 .故选：D 【变式8-1】（2023·河南郑州·高一校联考期中）已知复数z满足 ，则 的最小值为（ ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】设复数 在复平面内对应的点为 ， 因为复数 满足 ， 所以由复数的几何意义可知，点 到点 和 的距离相等， 所以在复平面内点 的轨迹为 ， 又 表示点 到点 的距离， 所以问题转化为 上的动点 到定点 距离的最小值， 当 为 时，到定点 的距离最小，最小值为1， 所以 的最小值为1，故选：A． 【变式8-2】（2023·上海·高三宜川中学校考期中）复数z满足 （i为虚数单位），则 的最大值为 ． 【答案】7 【解析】令 且 ，又 ， 所以 ，即 ， 所以复数z对应点在以 为圆心，半径为2的圆上， 又 表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为5， 所以 的最大值为 . 【变式8-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）若复数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【解析】设 且 ，又 ， 所以 ， 即点 到两定点 的距离之和为 ， 所以点 在以 为焦点，长轴长为10的椭圆上， 由 表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴 . 【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若复数z满足 ，则 的最小值为 【答案】 / 【解析】设 ，（ 不同时为0）， ， 由题意可知 ，得 或 ， 当 时， 的轨迹是 轴（除原点外）， 此时 的几何意义表示复数表示的点和 的距离，此时 ， 当 时，复数 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆，如图， 根据复数模的几何意义可知， 的几何意义是圆上的点到 的距离，如图可知， 的最小值是点 与 的距离 .（建议用时：60分钟） 1．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知集合 ，则满足 的实数 的 个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 或 ， 当 时， ，此时集合 中有两个1，所以 不合题意，舍去， 当 时，得 或 ， 当 时，集合 和集合 中均有两个1，所以 不合题意，舍去， 当 时， ，符合题意， 综上， ， 所以满足 的实数 的个数为1，故选：B 2．（2023·全国·模拟预测）已知全集 ， ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，则 ，故选项A判断错误； ，故选项B判断错误； ，故选项C判断错误； 故选项D判断正确.故选：D. 3．（2023·四川成都·高三校考期中）设 ， ，则 中元素个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由 ，则 ， 所以 中元素个数为4.故选：C 4．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）设集合 ， ，则满足集合 的集合 的子集个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【解析】由 ，即 ，解得 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ，即 ，则集合 的子集有 个.故选：C5．（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）已知集合 ，则 的真 子集的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题设 ，则 ， 所以共有 个子集，其中3个真子集.故选：C 6．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知全集为 ，集合 ， 满足 ，则下列运算结果为 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】全集 ，集合 ， 满足 ，绘制Venn图，如下： 对于A： ，A错误； 对于B： ，B错误； 对于C： ，C错误； 对于D： ，D正确.故选：D. 7．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知集合 ， ，若 ，则 的 取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， 且 ， 因为 所以 .故选：C 8．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知集合 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， ， 而 表示整数， 表示被3除余2的整数，故 ，则 ，故选：B． 9．（2023·全国·模拟预测）已知集合 ， ， ，则集合 的 个数为（ ） A．4 B．8 C．7 D．15 【答案】B 【解析】由题意，得 ， ， .又 ， 集合 的个数为 .故选：B. 10．（2023·河南·模拟预测）已知集合 中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合 中恰有两个元素，得 ， 解得 ．故选：B． 11．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合 ， ， ， ，若 ， ，则下列说法 正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， ， 则由题意可设 ， ，其中 ， 则 ，且 ，故 ，故选：D． 12．（2023·河南·高三校联考期中）已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知： ， ，所以 .故选：D. 13．（2023·辽宁·高三统考期中）设全集 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由不等式 ，分解因式可得 ，解得 ， 由 可得 ，由 ，则 ，故A正确，B，C，D均错误．故选：A. 14．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）欧拉公式eix cosxisinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学 家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里 sin2a1 占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知 为纯虚数，则复数 在复平面内对应的点 eai 1i 位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为eix cosxisinx，所以eai cosaisina， 因为eai为纯虚数，所以cosa0，sina0，故sin2a2sinacosa0， sin2a1 1 1i 1i 1 1      i 所以 1i 1i 1i1i 2 2 2 ， sin2a1 1 1 则复数 在复平面内对应的点为 , ，则其在第四象限，故选：D. 1i 2 2 15．（2023·上海·上海交大附中校考三模）已知 ，集合 ，若集合 恰 有8个子集，则 的可能值有几个（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意易知， ，均是集合 中的元素， 又集合 恰有8个子集，故集合 只有三个元素， 有 ，则结合诱导公式易知， 可取的值是4或5.故选：B 16．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若 且 , ,则称a为集合A的孤立元素．若集合 ,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合 的三元子集个数为 ， 满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为 ，一共35种， 由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率 ．故选：C．17．（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知 ， ，若 ，则 的 取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 得： ，所以 ，则 由 得：当 时，则 ，又 ，所以 ； 当 时，则不等式 解得 ，不符合 ， 综上所述 .故选：B. 18．（2023·湖北·高三天门中学校联考期中）已知M，N均为 的子集，若存在 使得 ，且 ， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，故 ，故A正确； 由于题目条件是存在 ，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故BCD错误；故选：A. 19．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知集合 ，集合 ，则下列关 系式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为 ， 所以 ，故A错误； ，故B正确； 因为 ， 所以 ，故C错误； ，故D正确.故选：BD. 20．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（ ） A．若 ，则 B．若 ，则Z在复平面内的轨迹为圆 C．若 ，满足 ，则 的取值范围为 D．若 ，则 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对于A，若 ，则 ， ， ，依次循环， 所以 ，故A正确；对于B，设 ， ，则有 ， 可知 在复平面内的轨迹为圆，故B正确； 对于C，因为复数z满足 ，故点 轨迹为以 为圆心，以1为半径的圆， 设 ，即 ，当此直线与圆相切时有 ，解得 ， 所以 的取值范围为 ，故C不正确； 对于D，设 ， ，若 ，则有 ， 令 ，则 . 令 ，可得 ， 所以 ，于是得 ，故D正确.故选：ABD