文档文本内容
专题1-1 集合与常用逻辑用语重难点题型专练
【题型1】结合元素的互异性求参数（分类讨论）....................................................................1
【题型2】集合关系的辨析............................................................................................................3
【题型3】 利用集合相等求参数..................................................................................................5
【题型4】利用集合中元素的个数求参数....................................................................................7
【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围............................................................................9
类型一 求参数的值（互异性分类讨论）......................................9
类型二 方程型（判别式与根的讨论）.......................................10
类型三 不等式型（注意讨论空集）.........................................11
【题型6】容斥原理......................................................................................................................13
【题型7】集合中的新定义问题..................................................................................................19
【题型8】根据集合的交并补运算结果求参数..........................................................................21
类型一 分类讨论求参数的值（互异性）.....................................21
类型二 求参数范围（讨论空集）...........................................23
【题型9】根据集合混合运算的结果确定参数的范围..............................................................25
【题型10】逆否条件的性质........................................................................................................27
【题型11】根据充要条件求参数值............................................................................................28
【题型12】根据充分条件求参数取值范围................................................................................29
【题型13】根据必要条件求参数取值范围................................................................................30
【题型14】根据全称量词命题求参数范围................................................................................31
【题型15】解三角形利用三角函数或基本不等式求最值........................................................33
【题型16】命题与集合................................................................................................................34
【题型1】结合元素的互异性求参数（分类讨论）
互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为
“互异性”．
注意：通过互异性求参数要检验看集合中的所有元素是否有重复的情况
【例1】已知集合
有三个元素
.若
，则实数
的值为（ ）
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
A．
B．1
C．
或1
D．0 或1
【例2】（高一上·四川德阳·期末）若
，则
．
【练1】已知集合
，且
，则
取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【练2】已知集合
，且
，则
（ ）
A．
B．
或
C．3
D．
【题型2】集合关系的辨析
【例1】（24-25 高二上·云南保山·阶段练习）设集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】若
、
、
为三个集合，
，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【练1】（24-25 高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合
，
则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【练2】（24-25 高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合
，
，
，则
的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【练3】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）（多选）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【练4】（24-25 高一上·四川达州·期中）（多选）若集合
满足
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3】 利用集合相等求参数
集合相等：两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。
集合A 与集合B 相等记作A=B.
【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从
集合的形式上看，比如
构成的集合与
构成的集合相等．
【例1】设a，
，若集合
，则
.
【例2】含有三个实数的集合可表示为
，也可以示为
，则
的值为 .
【练1】（24-25 高一上·安徽·期中）若
，则
．
【练2】（24-25 高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合
，
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【练3】含有三个实数的集合可表示为
，也可表示为
，求
的值．
【练4】已知
，若
，则实数
的值为 ．
【题型4】利用集合中元素的个数求参数
利用集合中元素的个数求参数的问题往往以含参不等式的整数解个数或一元二次方程解的个数问题
为背景，注意平方项的系数是否可以去取0，以及验证是否能取等
【例1】若集合
中有5 个元素，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知集合
．
（1）若A 中没有元素，求
的取值范围；
（2）若A 中只有一个元素，求
的值，并求集合A；
（3）若A 中至少有一个元素，求
的取值范围．
【练1】（高一·浙江·期末）已知集合
，集合A 中至少有3 个元素，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【练2】若集合
有且仅有2 个子集，则满足条件的实数m 组成的集合是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【练3】设集合
．
(1)若
中只有一个元素，求实数的值；(2)若
中至多只有一个元素，求实数的取值范围．
【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围
由集合间关系求解参数的三部曲
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
第二步：看集合中是否含有参数，若AB，且A 中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采
用数形结合的思想，借助数轴解答．
【注意】
(1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；
(2)千万不要忘记考虑空集．
类型一 求参数的值（互异性分类讨论）
【例1】已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．1 B．0 或1 或3 C．0 或3 D．3
（2025 高一·全国·专题练习）若集合
，
，且
，则实数
的值可以是
（ ）．
A．2
B．2，
C．2，
，0
D．2，
，0，1
类型二 方程型（判别式与根的讨论）
【例1】已知
，
，且
，则a 的取值范围为
_________．
【练1】设集合
，若
是
的真子集，则
的取值集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【练2】已知集合
，且满足
，求实数
可能取的一切
值．
【练3】已知
，
，若
，求m 的值．
【练4】（多选）已知集合
，且
，则实数
可
能的取值是（ ）
A．
B．0
C．-1
D．
类型三 不等式型（注意讨论空集）
【例1】已知集合
，若
，
为常数，求实数m 的
取值范围．
【例2】已知集合A={x|1≤x<7}，B={x|a<x≤2a+3}，若B⊆A ，求满足条件的a 的取值范围．
【练1】已知集合
，
，若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【练2】若
，
，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是
_______.
【练3】集合
，
，若
A ⊆B
，则实数a 的取值范围是
_______.
【练4】已知集合
，
．
(1)若
，求m 的取值范围．
(2)若
，求m 的取值范围．
【题型6】容斥原理
【例1】（24-25 高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办
了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12 名同学参加拔河、4 人足球、羽毛球三个项目，
其中有8 人参加“拔河”，有7 人参加“4 人足球”，有5 人参加“羽毛球”，“拔河和4 人足
球”都参加的有4 人，“拔河和羽毛球”都参加的有3 人，“4 人足球和羽毛球”都参加的有3 人，
则（ ）
A．三项都参加的有1 人
B．只参加拔河的有3 人
C．只参加4 人足球的有2 人
D．只参加羽毛球的有4 人
【例2】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有
人，参
加唱歌课外活动的有
人，参加体育课外活动的有
人，三种课外活动都参加的有
人，选择两
种课外活动参加的有
人，不参加其中任何一种课外活动的有
人．则接受调查的小学生共有
（ ）
A．
人
B．
人
C．
人
D．
人
【练1】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时
间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55 名同学，其中31 个同学去
了洪崖洞，21 个同学去了南山一棵树，30 个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有
10 人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7 人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，
则只去了一个地方的有（ ）人
A．24
B．26
C．28
D．30
【练2】（24-25 高一上·天津滨海新·期末）1 学校举办运动会时，高一（1）班共有28 名同学参加
比赛，有15 人参加趣味益智类比赛．有8 人参加田径比赛，有14 人参加球类比赛，同时参加趣味
益智类比赛和田径比赛的有3 人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3 人，没有人同时参加
三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为
【练3】（24-25 高一上·重庆·期中）国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统
计，高一某班共45 名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21 人想报
名语文类选修课，有29 人想报名数学类选修课，有28 人想报名物理类选修课，同时想报名语文和
数学选修课的有10 人，同时想报名数学和物理选修课的有15 人，没有三类选修课都想报名的同学，
则只想报名物理选修课的同学有 人．
【练4】（24-25 高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有
名同学参加比赛，有
人参加游泳比赛，有
人参加田径比赛，有
人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛
的有
人，同时参加田径比赛和球类比赛的有
人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类
比赛的有 人.
【练5】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54 人，每名学生要从物理、化学、生物、
历史、地理、政治这六门课程中选择3 门进行学习．已知选择物理的有36 人，选择化学的有24 人，
选择生物的有20 人，其中选择了物理和化学的有18 人，选择了化学和生物的有10 人，选择了物
理和生物的有16 人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有 人．
【练6】（24-25 高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54 人，每名学生要从物理、化学、生
物、历史、地理、政治这六门课程中选择3 门进行学习.已知选择物理的有32 人，选择化学的有24
人，选择生物的有22 人，其中选择了物理和化学的有18 人，选择了化学和生物的有10 人，选择
了物理和生物的有16 人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人.
【题型7】集合中的新定义问题
【例1】若
且
就称A 是伙伴关系集合，集合
的所有非空子集中，
具有伙伴关系的集合个数为（ ）
A．15
B．16
C．64
D．128
【例2】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合
中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如
的“交替和”是
；而
的交替和是，则集合
的所有非空子集的“交替和”的总
和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【练1】（多选）对任意A，
，记
，则称
为集合A，B
的对称差．例如，若
，
，则
，下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若A，
且
，则
B．若A，
且
，则
C．若A，
且
，则
D．存在A，
，使得
【练2 】（高一上· 江苏盐城· 阶段练习）设集合
，
，定义集合
，则集合中元素的个数是（ ）
A．5
B．6
C．8
D．9
【题型8】根据集合的交并补运算结果求参数
1、基本方法
方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围
方法二：(1)化简所给集合；
(2)用数轴表示所给集合；
(3)根据集合端点间关系列出不等式(组)；
(4)解不等式(组)；
(5)检验
2、易错点
(1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；
(2)千万不要忘记考虑空集，
3、集合基本运算的一些结论
若A∩B=A，则
，反之也成立
若A∪B=B，则
，反之也成立
若x
（A∩B），则x
A 且x
B
若x
（A∪B），则x
A，或x
B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是
“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，
结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
类型一 分类讨论求参数的值（互异性）
【例1】已知集合
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【例2】（24-25 高一上·浙江·期中）已知集合
，
，若
，则实数
的值为 .
【练1】（24-25 高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合
，若
，则实数a 的值为（ ）
A．5 或
B．
C．5
D．
【练2】（24-25 高二上·云南曲靖·期末）已知集合
，
，若
，则
的取值集合是 ．
【练3】（24-25 高一上·湖北襄阳·期中）已知集合
，
，若
，则
实数
．
【练4】（24-25 高三上·江西南昌·开学考试）已知集合
，
，
若
为单元素集合时，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
类型二 求参数范围（讨论空集）
【例1】已知集合
，
，
，若
，求
的取值
范围.
【例2】已知集合A={x|2a-1＜x＜a+2}，B={x|0＜x≤2}，U=R，若A∩B=∅，求实数a 的取值范围．
【练1】已知集合
，集合
，若
，则实数
的取值
范围为 .
【练2】已知集合
，
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围；
【题型9】根据集合混合运算的结果确定参数的范围
【例1】已知集合
，
，若
，求m 的取值
范围.
【例2】（高一上·山东青岛·期中）设集合
，
，全集
，且
，则实数m 的取值范围为 ；
【例3】设集合
，
，全集
，且
，求实数
的
取值范围．
【练1 】（高一· 广东珠海· 期中）已知集合
，
，若
，求实数
的取值范围.
【练2】（高一·浙江·期中）已知全集
，集合
，
，若
，求实数
的取值范围.
【练3】已知全集
，集合
，若
，求实数
的取值范围．
【练4】（高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合
．
．
(1)若
，求实数m 的取值范围：
(2)若
，求实数m 的取值范围．
【题型10】逆否条件的性质
【例1】“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身
品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会
听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【练1】《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯
人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体
肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【练2】（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨
杨柳，春风不度玉门关”调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳，春风不度玉门关”，意思是“羌笛怨杨柳，
导致春风不度玉门关（羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了）”，照此网友的说法推断，
“春风度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【题型11】根据充要条件求参数值
若A＝B，则p 是q 的充要条件
【例1】已知集合
，集合
，若命题“
”是命题“
”的
充要条件，则实数a 的值是 ．
【练1】（2024·高一·广东佛山·期中）若命题
：
为命题：
，
的充要条件，
则
的值是 ．
【练2】若“
”是“
”的充要条件，则实数m 的取值是 ．
【题型12】根据充分条件求参数取值范围
若元素x∈A 是x∈B 的充分条件，则A⊆B；
【例1】已知集合
，
.若
是
的充分条件，求
实数的取值范围.
【答案】
【分析】根据
是
的充分条件，则
，建立关系式，解之即可．
【详解】解：若
是
的充分条件，则
，
①当时
，即
，即
，
②当
时，即
，
若
，则
，
综上，若
是
的充分条件，则实数的取值范围为
.
【练1】集合
，
，若
的充分条件是
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【练2】集合
，集合
，其中
．若“
”是“
”的充分条件，求的取值范围．
【题型13】根据必要条件求参数取值范围
若元素x∈A 是x∈B 的必要条件，则B⊆A.
【例1】（高一上·广东韶关·月考）（多选）设
，
是
的
充分不必要条件，则实数
的值可以为（ ）
A．
B．0
C．3
D．
【练1】已知
或
，
，且
是
的充分不必要条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【练2】已知命题
，命题
或
，其中
．若
是
成立的充分不必要
条件，求的取值范围．
【题型14】根据全称量词命题求参数范围（恒成立）
若对于某区间内任意x，使得a<f(x)，则a<f(x)
的最小值
；若对于某区间内任意x，使得a>f(x)的，
则a>f(x)
的最大值
.
【例1】已知命题“
，使
”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知命题
是真命题，则
的取值范围是 .
【练1】已知命题p：“
，
”是假命题，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【分析】由题意可知命题的否定为真命题，再由不等式恒成立讨论
的取值即可求解.
【详解】由题可得“
，
恒成立”是真命题
当
时，则有
恒成立，符合题意；
当
时，则有
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
【练2】若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是 ．
【练3】命题“
，
”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【练4】若命题“
”是真命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型15】根据特称量词命题求参数范围（能成立）
若某区间内存在x，使得a<f(x)，则a < f ( x ) 的最大值
；若某区间内存在 x，使得a>f(x)，则a>f(x)
的最
小值
【例1】已知“∃x∈R，a> x
2−1”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．a>−1
B．a>1
C．a<−1
D．a<1
【解析】【法一：参变分离】由题意得a>(x
2−1)min，又(x
2−1)min=−1，此时x =0，故a>−1.
【法二：判别式法】由题意得：∃x∈R，0> x
2−1−a，则△=0+4（1+a）＞0，故a>−1
故选：A.
【例2】（多选）已知命题
，
.若
为假命题，则实数
的值可以是
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【练1】已知“
，
”为真命题，则实数
的取值范围为________
【练2】命题“
”为真命题，则
取值范围为 ．
【练3】（多选）命题“
，使
”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型16】命题与集合
命题
集合
∀x∈A，x∈B是真命题，则
A ⊆B （即集合A 是集合B 的子集）
∃x∈A，x∈B是真命题，则
A∩B≠∅
【例1】已知集合
，
，且B≠∅．
（1）若命题p：“
，
”是真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题q：“
，
”是真命题，求实数m 的取值范围。
【例2】已知集合
(1)若
，求实数
的取值范围.
(2)命题q：“
，使得
”是真命题，求实数m 的取值范围.
【练1】（24-25 高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合
，
，且
.
(1)若命题
，
是真命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题
，
是假命题，求实数
的取值范围.
【练2】已知集合
，
，且
．
(1)若命题p：“
，
”是真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题q：“
，
”是真命题，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题p：“
，
”是真命题，可知
，根据子集的含义解决问题；
（2）命题q：“
，
”是真命题，所以
，通过关系解决.
【详解】（1）由命题p：“
，
”是真命题，可知
，
又
，所以
，解得
．
（2）因为
，所以
，得
．
因为命题q：“
，
”是真命题，所以
，
所以
，或
，得
．
综上，
．
【练3】已知集合
，
，且
(1)命题p：
，命题q：
，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
(2)命题“r：
，使得
”是真命题，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
．
【详解】（1）解：
是A 的真子集，且
不是空集，所以
，解得
；
（2）解：
，使得
，
为非空集合且
，
所以
，即
，
当
时
或
，所以
或
，
的取值范围为
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