专题5-6 三角函数：y=Asin(ωx +φ)的图像及性质
【题型1】五点法作y＝Asin(ωx＋φ)图像及其应用
【题型2】三角函数图像的平移与伸缩变换
类型一：函数名不改变
类型二：函数名改变（结合诱导公式）
类型三：由平移前后函数性质求参数
【题型3】由图像识别函数解析式
【题型4】 单调性问题
类型一：求单调区间
类型二：复合函数型
类型三：由单调性求参数范围
【题型5】最值与值域问题（4 种类型）
类型一：求指定区间上的值域
类型二：化为二次函数型
类型三：设
类型四：已知值域求参数范围
【题型6】对称性与周期
【题型7】三角函数性质辨析
【题型8】由三角函数性质求参数的值
【题型9】三角函数新定义问题
【题型10】三角图像性质综合
【题型1】五点法作y＝Asin(ωx＋φ)图像及其应用
解题思路：用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图的步骤
第一步：列表；如下表所示：
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题型汇编
x
－
－
－
ωx＋φ
2π
y＝Asin(ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
【例题1】某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的
图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0
2
0
(1)将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数
的解析式；
(2)将函数
图象上所有点向左平行移动
个单位长度，得到函数
的图象，求使
成立的x 的取值集合．
【巩固练习1】某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内
的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
m
n
p
1
6
1
1
(1)求出实数m，n，p 的值；(2)求出函数
的解析式；
(3)将
图象向左平移
个单位，得到
的图象．若
为偶函数，求t 的最
小值．
【巩固练习2】（1）利用“五点法”画出函数
在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:
（2）并说明该函数图象可由
的图象经过怎么变换得到的.
【巩固练习3】已知函数
．
(1)请用“五点法”画出函数
在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画
图）；
(2)求
的单调递增区间．
【题型2】三角函数图像的平移与伸缩变换
平移时注意点：对于
(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．
(2)当x 的系数是1 时，左移个单位则
．
(3)当x 的系数是ω(ω>0)时，左移个单位则
．
【例】由函数
sin
y
x
的图像变换为函数
2sin(2
)
3
3
y
x
的图像的步骤；
方法一：先平移后伸缩(
2
)
3
3
x
x
x
．
3
sin
y
x
向左平移
个单位
的图像
sin(
)
3
y
x
的图像
1
2
所有点的横坐标变为原来的
纵坐标不变
sin(2
)
3
y
x
的图像
2
所有点的纵坐标变为原来的倍
横坐标不变
2sin(2
)
3
y
x
的图像
3
向上平移个单位
2sin(2
)
3
3
y
x
方法二：先伸缩后平移(
2
)
2
3
x
x
x
．
sin
y
x
的图像
1
2
所有点的横坐标变为原来的
纵坐标不变
6
sin 2
y
x
向左平移
个单位
的图像
sin 2(
)
sin(2
)
6
2
y
x
x
的图像
2
所有点的纵坐标变为原来的倍
横坐标不变
3
2sin(2
)
3
y
x
向上平移个单位
的图像
2sin(2
)
3
3
y
x
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以必须熟练
掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大
变化，而不是“角
x
”变化多少．
注：函数名称不一致的平移：诱导公式化同名
类型一：函数名不改变
【例题1】为了得到函数
，
的图象，只需把函数
，
的图象上
所有的点（ ）
A．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）
B．向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）
C．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
D．向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
类型二：函数名改变（结合诱导公式）
【例题2】将函数
的图象平移后所得的图象对应的函数为
，则进行的平移
是（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向左平移
个单位
类型三：由平移前后函数性质求参数
【例题3】将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，再将
所得图象向左平移
（
）个单位长度，得到函数
的图象，若
，请写出
的一个可能值为 .
【例题4】将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，
且
的图象关于
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】将函数
的图象向左平移
个单位后得到函数
的图象，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（多选）要得到函数
的图象，只需将函数
图象上的所有点
（ ）
A．横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移
个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移
个单位长度
C．先向右平移
个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2 倍
D．先向右平移
个单位长度，再把横坐标缩短到原来的
【巩固练习3】已知函数
的最小正周期为
，为了得到函数
的图像，只要将
的图像（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【巩固练习4】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+
)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位
长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位
长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位
长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位
长度，得到曲线C2
【巩固练习6】为得到函数
π
cos 2
3
y
x
的图像，只需将函数
sin 2
y
x
的图像（ ）
A．向左平移
5π
12 个长度单位
B．向右平移
5π
12 个长度单位
C．向左平移
5π
6 个长度单位
D．向右平移
5π
6 个长度单位
【巩固练习7】函数
sin 2
f x
x
的图象向右平移6
个单位得到函数
g x 的图象，若
g x
g
x
，当
最小时，φ 的值是（ ）
A．
6
B．6
C．
3
D．3
【巩固练习8】将函数
2
sin 2
3
y
x
的图象沿水平方向平移个单位后得到的图象关于直线
4
x
对称（
0
向左移动，
0
向右移动），当最小时，则（ ）
A．3
B．12
C．6
D．
3
【题型3】由图像识别函数解析式
确定
(
)
(
)
sin
0
0
y
A
x
B A
，
的步骤和方法:
(1)求A
B
，
：确定函数的最大值M 和最小值m ，则
2
M
m
A
，
2
M
m
B
；
(2)求：确定函数的周期T ，则
2
T
＝
；
(3)求：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A
b
，，已知)或代入图象与直线y
b
＝的交点求解(此
时要注意交点是在增区间还是在减区间)．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
【例题1】（2020·新高考1 卷真题）（多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】函数
sin
0,0
π
y
A
x
A
在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为
.
【例题3】如图，某地一天中6 时至14 时的温度变化曲线近似满足函数
（其中
，
），则估计中午12 时的温度近似为 ℃；（精确到
）
【巩固练习1】已知函数
的部分图像如图所示，则
.
【巩固练习2】已知函数
( )
sin (
)
f x
x
（
0
，0
π
）的部分图象如图所示，则
(0)
f
．
【巩固练习3】函数
sin
( , ,
f x
A
x
A
是常数，
0,
0,0
2π
A
）的部分图象如图所
示，则
π
(
)
3
f -
的值是 .
【巩固练习4】已知函数
( )
2cos
0,|
|
2
f x
x
的部分图象如图所示，则
2
f
．
【题型4】 单调性问题
函数
图象
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数．
类型一：求单调区间
【例题1】函数
2
2sin cos
2sin
1
y
x
x
x
，
[0
x
，
]
的单调递减区间为
．
类型二：复合函数型
【例题2】函数
1
2
log sin 2
4
y
x
的单调减区间为（ ）
A．
,
4
k
k
k
Z
B．
,
8
8
k
k
k
Z
C．
3 ,
8
8
k
k
k
Z
D．
3
,
8
8
k
k
k
Z
类型三：由单调性求参数范围
【例题3】若
π
sin 2
6
f x
x
在区间
,t t
上单调递增，则实数t 的取值范围为（ ）
A．
π π
,
6 2
B．
π
0, 3
C．
π π
,
6 3
D．
π
0, 6
【巩固练习1】函数
( )
3sin(
)
cos
3
f x
x
x
的单调递减区间为( )
A．
4
[
,
],
3
3
k
k
k
Z
B．
2
[
,
],
6
3
k
k
k
Z
C．
4
[
2
,
2
],
3
3
k
k
k
Z
D．
2
[
2
,
2
],
6
3
k
k
k
Z
【巩固练习2】函数
( )
sin( 2
)
6
f x
x
的单调增区间是( )
A．[
6
n
，
](
)
3
n
n
Z
B．[2
6
n
，2
](
)
3
n
n
Z
C．
2
[
3
n
，
](
)
6
n
n
Z
D．
2
[2
3
n
，2
](
)
6
n
n
Z
【巩固练习3】函数
的单调增区间为（ ）.
A．
B．
C．
D．不存在
【巩固练习4】若函数
( )
2
sin cos
cos
f x
x
x
x
a
x
在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是
．
【题型5】最值与值域问题（4 种类型）
求三角函数的最值，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1）
，引入辅助角
，化为
（2）
，设
，化为二次函数
在闭区间
上的最值
求解，也可以是
或
型．
（3 ）
，设
，则
，故
，故原函数化为二次函数
在闭区间
上的最值求解．
心为
2
,
(
)
k
b
k
Z
类型一：求指定区间上的值域
【例题1】求
，
的值域.
类型二：化为二次函数型
【例题2】（2017·全国·高考真题）函数
（
）的最大值是
．
类型三：设
【例题3】（23-24 高一上·湖北武汉·期末）已知
，则函数
的值
域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）已知
，
，则
的值域为 .
类型四：已知值域求参数范围
【例5】已知函数
的定义域为
（
），值域为[0,1]，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】求下列函数的值域.
(1)
，
；(2)
，
.
【巩固练习2】函数
2
sin
4cos
6
y
x
x
的值域是（ ）
A．
2,10
B．
0,10
C．
2,10
D．
10, 2
【巩固练习3】求
的值域.
【巩固练习4】（23-24 高一上·广东广州·期末）函数
在区间
上的值
域是 ．
【巩固练习5】（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x 的值域为
．
【巩固练习6】（23-24 高一上·河北沧州·阶段练习）已知
．
(1)若
，求
的值；(2)求
的值域．
【巩固练习7】已知
，当
时，
取最大值，当
时，
取最小值，
则实数
的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1]
B．
C．
D．
【巩固练习8】已知函数
2
π
( )
4sin
4sin
2
f x
x
x
，
0,
x
a
的值域为
4,5 ，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
π π
,
6 2
B．
π 5π
,
6
6
C．
π ,π
6
D．
5π ,π
6
【巩固练习9】（23-24 高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数
当
时，
(1)若
，求
的值；(2)求函数
的值域.
【巩固练习10】（23-24 高一下·江苏镇江·阶段练习）（1）求
的值；
（2）已知
，求函数
的值域.
【巩固练习11】已知函数
1
( )
sin
sin(
)
3
4
f x
x
x
的定义域为[m ，](
)
n m
n
，值域为
1 1
[
, ]
2 4
，
则n
m
的取值范围为
．
【题型6】对称性与周期
1.一般情况下，
)
( )=
+ )
0
0
(
(
f x
Asin
x
A
，
两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。
3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。
4 正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。
5.一般情况下，
+
(
)
(
( )=
+
0
0)
f x
Asin
x
b A
，
的最大值或者最小值，必在对称轴处。
6.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。
7、求函数
+
(
)
(
( )=
+
0
0)
f x
Asin
x
b A
，
的对称轴的方法；令
(
)
2
x
k
k
Z
，得
2
(
)
k
x
k
Z
；对称中心的求取方法；令
(
)
x
k
k
Z
，得
k
x
，即对称中心
为
k
b
，
．
8、求函数
cos(
)
(
0)
y
A
x
b w
的对称轴的方法；令
(
)
x
k
k
Z
得
2
k
x
，即
【例题1】已知函数
（其中
）的图象与直线
的两个相邻交点的距离
等于
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．3
【例题2】（高一·浙江杭州·期末）将函数
的图象向右平移
个单位长度，则平移
后函数图象的解析式为 ；平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．
【例题3】（23-24 高一下·浙江衢州·期末）一学生在求解以下问题“已知函数
的图象关于
直线
对称，关于
中心对称，且
，求
的值”时，思路
如下：令
（
，
），由对称轴和对称中心可求得
，再由对
称轴求
，对称中心求
，根据以上信息可得（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】（23-24·广东深圳·阶段练习）（多选）将函数
的图象向右平移
个单
位长度得到函数
的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
在区间
上单调递减
D．
的图象与
的图象关于
对称
【巩固练习2】已知直线x = 5π
12 和
都是函数
图象的对称轴，则
的解析式可
能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】设函数
与函数
的对称轴完全相
同，则
的值为 ．
【巩固练习4】函数
的图象在区间
上恰有一条对称轴和一个对称中
心，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】已知函数
，则
（
）
A．2025
B．
C．
D．
【巩固练习6】函数
1
f x
x
与函数
5π
2cos
1
2
g x
x
的图象所有交点的横坐标之和为
．
【题型7】三角函数性质辨析
在多选题中经常出现三角函数性质辨析题，其常见选项有
辨析1：判断x
a
或
,0
a
是否为对称轴或对称中心
辨析2: 在某区间上有是否单调递增（减）；
辨析3: 判断在某区间上有多少个零点或对称轴
辨析4: 判断在某区间上的值域
辨析5：给出限制条件辨析参数范围是否正确
【例题1】（23-24 高一上·湖北武汉·期末）已知函数
的部分图
象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)的图象关于点
对称
B．
为奇函数
C．f (x)在区间
上单调递增
D．f (x)的图象关于直线
对称
【例题2】（23-24 高一上·广东深圳·期末）（多选）函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
上单调递增
D．将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象
【巩固练习1】（23-24 高一上·浙江温州·期末）（多选）已知函数
，则下列结
论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
是奇函数
D．
的单调递减区间为
【巩固练习2】（23-24 高一上·江苏盐城·期末）（多选）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）.
A．
的最小正周期为
B．
为偶函数
C．
在区间
内的最小值为1
D．
的图象关于直线
对称
【巩固练习3】（23-24 高一上·江苏淮安·期末）用“五点法”作函数
（
，
，
）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数
描
述正确的是（ ）
0
x
a
b
c
1
3
1
d
1
A．函数
的最小正周期是
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
的图象关于直线
对称
D．函数
与
表示同一函数
【巩固练习4】（23-24 高一上·浙江杭州·期末）（多选）关于函数
，下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最大值是2
B．函数
在
单调递减
C．函数
的图像可以由函数y＝2sin2x+1 的图像向右平移
个单位得到
D．若方程
在区间
有两个实根，则
【巩固练习5】（23-24 高一上·江苏无锡·期末）函数
的
部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
的表达式可以写成
C．
的图象向右平移
个单位长度后得到的新函数是奇函数
D．若方程
在(0,m)上有且只有6 个根，则
【巩固练习7】（23-24 高一上·广东深圳·期末）（多选）已知函数
（
，
），
为
的零点，且在
上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
是偶函数
D．
的取值范围是
【题型8】由三角函数性质求参数的值
【例题1】（2023·全国·统考高考真题）已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】（2022·全国·统考高考真题）记函数
的最小正周期为T．若
，且
的图象关于点
中心对称，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【例题3】已知函数
π
sin
0,0
2
f x
x
满足
π
6
f x
f
恒成立，
π
f x
f
x
，且
f
x
在区间
0,2π
上有5 个零点，则 .
【巩固练习1】已知函数
sin
f x
x
在区间
π 2π
,
6
3
上单调递减，直线
π
6
x
和
2π
3
x
为函数
y
f x
的图象的两条相邻对称轴，则
π
3
f
（ ）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
2
D．
3
2
【巩固练习2】（23-24 高一上·江苏南通·期末）设函数
的最小正周期为
. 若
，且对任意
，
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知函数
在区间
上单调递减，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】已知函数
( )
sin(
)
f x
x
在区间
π π
,
6 3
单调递增，直线
π
6
x
和
π
3
x
为函数
y
f x
的图像的两条相邻对称轴，则
π
12
f
（ ）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
2
D．
3
2
【巩固练习5】已知函数
sin
0
f x
x
有一个零点为
5π
2π
,
12
3
x
为其图象的一条对称轴．
且函数
f
x 在区间
5π 2π
,
12
3
上单调递增，则
π
6
f
（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
【巩固练习6】函数
sin
(
0)
f x
x
满足
π
0
3
f
，且
π
3
f x
f
恒成立，若
f
x
在区间
π π
,
3 3
上有最小值而无最大值，则 .
【题型9】三角函数新定义问题
【例题1】计算器是如何计算sin x 、cos x 、ex
、ln x 、
x 等函数值的?计算器使用的是数值计算法，
如
3
5
7
sin
3
5
7
x
x
x
x
x
，
2
4
6
cos
1
2!
4!
6!
x
x
x
x
，其中! 1 2 3
n
n
，英国数学家泰
勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的sin x 和
cos x 的值也就越精确，运用上述思想，可得到cos1的近似值为（ ）
A．0.50
B．0.52
C．0.54
D．0.56
【巩固练习1】定义:正割
1
sec
cos
，余割
1
csc
sin
.已知m 为正实数，且
2
2
csc
tan
15
m
x
x
对任意的实数
,
2
x x
k
k
Z
均成立，则m 的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．8
D．9
【巩固练习2】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算
机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为
了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若
二维空间有两个点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则曼哈顿距离为：
1
2
1
2
,
d A B
x
x
y
y
，余弦相似
度为：
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
cos
,
x
x
y
y
A B
x
y
x
y
x
y
x
y
，余弦距离为
1 cos
,
A B
(1)若
1,2
A
，
3 4
,
5 5
B
，求A，B 之间的曼哈顿距离
,
d A B 和余弦距离；
(2)已知
sin
,cos
M
，
sin
,cos
N
，
sin
, cos
Q
，若
1
cos
,
5
M N
，
2
cos
,
5
M Q
，
求tan
tan
的值
【巩固练习3】已知函数
sin
cos
f x
a
x
b
x
，称向量
,
p
a b
为
f
x
的特征向量，
f
x
为p
的
特征函数.
(1)设
3
2sin
sin 2
g x
x
x
，求
g x 的特征向量；
(2)设向量
3,1
p
的特征函数为
f
x ，求当
6
5
f x
且
,
6 3
x
时，sin x 的值；
(3)设向量
1
3
,
2
2
p
的特征函数为
f
x ，记
2
1
4
h x
f
x
，若
h x 在区间
,a b 上至少有40
个零点，求b
a
的最小值.
【题型10】三角图像性质综合
【例题1】已知函数
的部分图像如图所示：
(1)求函数y = f (x)的表达式；
(2)当
时，求方程
的所有根的和．
【例题2】已知函数
.
(1)求函数
及其最小正周期；
(2)求函数
在区间
上的单调减区间；
(3)将函数
图象向右移动
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍
得到
的图象，若
在区间
上至少有100 个最大值，求a 的取值范围．
【巩固练习1】将函数
图象上所有点的横坐标缩小为原来的
，再向右平移
个单位
长度，得到函数
的图象，若
在
上有两个不同的零点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知函数
的部分图象如下图所示，若曲线
y = f (x)过点
，
，
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知函数
为奇函数，且
图象的相邻两条对称轴间的距离为
.
(1)求
的解析式与单调递减区间；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的
（纵坐标不变），得到
函数
的图象，当
时，求方程
的所有根的和.
【巩固练习4】已知函数
，将
的图象各点横坐标缩短到原来的
，纵坐标伸长到原
来的2 倍，然后再将所得函数图象向左平移
个单位后得到
函数的图象.
(1)方程
在
上有且只有一个解，求实数
的取值范围；
(2)实数
满足对任意
，都存在
，使得
成立，求
的取值范围.
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