专题3-1 函数的概念及其表示
模块一 重点题型梳理
【题型1】函数的概念
【题型2】 给出解析式求函数的定义域
【题型3】函数图像的判断
【题型4】相同函数的判断
【题型5】求函数值或由函数值求参
【题型6】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）
模块二 中档题突破
【题型7】抽象函数求定义域
【题型8】建立方程组求解析式（方程思想）
【题型9】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）
【题型10】分离常数法求值域
【题型11】换元法求函数的值域
【题型12】分段函数的求值求参
【题型13】函数的实际应用
模块三 【课后训练】
模块一 重点题型梳理
【题型1】函数的概念
一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系
f，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，
题型·解读
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知识梳理与常考题型
题型汇编
基础知识
记作y=f(x).
【例题1】下列关系中是函数关系的是（ ）
A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系
C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系
【例题2】（24-25 高一上·陕西渭南·阶段练习）（多选）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【例题4】（24-25 高一上·广东东莞·期中）已知A ={x∣0≤x ≤2},B ={ y ∣1≤y ≤2}，下列图象能
表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】（24-25 高一上·山西大同·期中）下列关于x，y的关系中，y是x的函数的是（ ）
A．y = ❑√x−3+ ❑√2−x
B．y
2=9 x
C．y =¿
D．
【巩固练习2】中国清朝数学家李善兰在1859 年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函
数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合
，
，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从
到
的函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知
，下列图形能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型2】 给出解析式求函数的定义域
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不
等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
【例题1】（24-25 高一上·吉林长春·阶段练习）函数f ( x)= ❑√x +3−1
x 的定义域是（ ）
A．R
B．[−3,+ ∞)
C．(−∞,0)∪(0,+∞)
D．[−3,0)∪(0,+ ∞)
【例题2】
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】函数f (x)= ❑√
3−x
x−1的定义域为（ ）
A．(−∞,3]
B．(1,+ ∞)
C．(1,3]
D．(−∞,1)∪[3,+∞)
基础知识
【巩固练习2】函数
的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
【题型3】函数图像的判断
（24-25 高一上·全国·课后作业）如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同
的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，
其中不正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
（高一上·北京西城·期中）匀速地向下部是球形、上部是圆柱形的容器(如图所示)内注水，那么注
水时间与容器内水的高度之间的函数关系
的图象大致是图中的( )
A．
B．
C．
D．
（高一上·江苏镇江·期中）如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯
注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间
之间的函数关系，大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型4】相同函数的判断
两个函数相同需要满足的条件是：1.定义域相同；2.解析式相同.
【例题1】（24-25 高一上·河北保定·期中）（多选）下列各项中，
与
表示同一函数的是
（ ）
A．
，
B．
，
基础知识
C．
，
D．
，
【巩固练习1】（24-25 高一上·河南洛阳·期中）（多选）下列各组函数中，不是相同函数的是（
）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
=
与
【巩固练习2】(多选)（高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【巩固练习3】（24-25 高一上·江苏盐城·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的为（ ）
A．f (x)=2 x
2，g(x)= 2 x
3
x
B．f (x)= ❑√2 x +2025，g(x)=|2 x +2025|
C．f (x)= x−1
x ，g(x)= x
2−1
x
D．f (x)=5 x，g(x)=
❑√5 x
2
【题型4】已知定义域求参数
函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义
域求参数.
一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的
值域建立联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较
容易.
【例题1】（2024·高一·天津西青·期末）若函数
的定义域为
，则实数
的取
值范围是 ．
【例题2】（24-25 高一下·广东梅州·期中）已知函数f (x)= 1
2 x
2−x +5在[m,n]上的值域为
[4 m,4 n]，则m+n=（ ）
A．4
B．5
C．8
D．10
【巩固练习1】若函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是
【巩固练习2】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数
的定义域为
，求实数k
的取值范围 ．
【巩固练习3】已知函数f ( x)=
❑√(a
2−1) x
2+(a+1)x +1的定义域为R，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．[−1, 5
3]
B．(−∞,−1)∪[
5
3 ,+ ∞)
C．[
5
3 ,+∞)
D．(−∞,−1]∪[
5
3 ,+ ∞)
【题型5】求函数值或由函数值求参
【例题1】（24-25 高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数f (2 x +3)= x
2−x +a，且f (5)=3，则a=
（ ）
A．3
B．-3
C．17
D．-17
【巩固练习1】（24-25 高一上·陕西西安·期中）已知函数f (x +1)= x
2−3 x +5，则f (3)=（ ）
A．9
B．7
C．5
D．3
（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数f (x−1)= 2❑√x
x
，f (m)=1，则m=（ ）
A．−1或3
B．1 或3
C．−1
D．3
【巩固练习3】（24-25 高一上·湖北黄冈·阶段练习）若函数
的值域是
，则函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）
待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
【例题1】（24-25 高一上·福建福州·期中）若函数f (x)是二次函数，满足
f (0)=2，f (x +2)−f (x)= 4 x，则f (x)=（ ）
A．x
2+ x +2
B．x
2−2 x +2
C．x
2−x +2
D．x
2+2 x +2
【巩固练习1】已知二次函数
满足
，且
.求
的解析式
【巩固练习2】已知函数f ( x)=−x
2−2 x +3，则f ( x +1)= ．
基础知识
【巩固练习3】已知函数f ( x)=ax−b(a>0)，f (f ( x))= 4 x−3，则f (2)= ．
模块二 中档题突破
【题型7】抽象函数求定义域
求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b 求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法（括号内取值范围相同）.
【例题1】函数
的定义域为区间
，则函数
的定义域为 ．
【例题2】函数
的定义域是
，则函数
的定义域是 .
【例题3】（24-25 高一上·云南红河·阶段练习）若函数f (x)的定义域为[1,3]，则函数
g(x)= f (2 x−1)
❑√x−1 的定义域是 .
【巩固练习1】（24-25 高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．
【巩固练习2】若函数f (x)的定义域是[0，4]，则函数g(x)= f (2 x)
x
的定义域是
A．[ 0，2]
B．(0，2)
C．[0，2)
D．(0，2]
【巩固练习3】若函数
的定义域为
，
，则
的定义域
为 .
基础知识
【题型8】建立方程组求解析式（方程思想）
已知关于f(x)与
或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通
过解方程组求出f(x).
【例题1】（广东深圳实验校考）已知函数
满足
，
且
，则
.
【例题2】定义在区间
上的函数
满足
，求
的解析式．
【巩固练习1】（广东广雅中学校考）已知
，则
.
【巩固练习2】若对任意实数
，均有
，求
.
【巩固练习3】已知定义在
上的函数
满足
，则函数
的解析式
.
【题型9】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）
换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)
的表达式.
【例题1】函数f (x)满足若f (g(x))=9 x +3，g(x)=3 x +1，则f (x)=（ ）
基础知识
基础知识
A．f (x)=3 x
B．f (x)=3
C．f (x)=27 x +10
D．f (x)=27 x +12
【例题2】若函数
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．3 D．
【巩固练习1】已知函数f (1−x)= 1−x
2
x
2
(x≠0)，则f (x)=（ ）
A．
1
(x−1)
2 −1(x≠0)
B．
1
(x−1)
2 −1(x≠1)
C．
4
(x−1)
2 −1(x≠0)
D．
4
(x−1)
2 −1(x≠1)
【巩固练习2】已知函数f (x)满足：f(x−1
x)= x
2+ 1
x
2，则f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)= x
2+2
B．f (x)= x
2
C．f (x)= x
2+2(x≠0)
D．f (x)= x
2−2(x≠0)
【巩固练习3】（24-25 高一上·云南文山·期中）已知函数f(
x +1
x )= 1
x
2 −2，则f (x)的解析式为
（ ）
A．f (x)= x
2−2 x−1
B．f (x)= x
2−2(x≠0)
C．f (x)= x
2−2 x−3(x≠1)
D．f (x)= x
2−2 x−1(x≠1)
【题型10】分离常数法求值域
一次分式函数：分离常数法+图像法，形如
的函数
第一步：分离常数，将分子变为常数
分离出常数
和分子为常数的分式
基础知识
第二步：结合反比例函数
的值域求函数
的值域．
【例题1】函数
的值域为________
【例题2】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数f (x)= 2 x−3
3 x +1 的值域（ ）
A．(−∞, 1
3)∪(
1
3 ,+∞)
B．(−∞, 3
2)∪(
3
2 ,+ ∞)
C．(−∞,−1
3)∪(−1
3 ,+ ∞)
D．(−∞, 2
3)∪(
2
3 ,+∞)
【巩固练习1】（广西南宁三中校考）若
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】函数
的值域为________
【题型11】换元法求函数的值域
求根式型函数值域：换元法
形如
的函数
第一步：把函数中的根式
设为一个变量t，并用t 表示x，求出t 的取值范围．
第二步：将所求关于x 的函数变换为关于t 的函数．
第三步：求出y 的取值范围，即所求函数的值域．
函数
的值域是 ．
【例题2】（23-24 高一上·江苏苏州·期中）函数
的值域为（ ）
基础知识
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】（湖南长沙·高一长郡中学校考）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】（24-25 高一上·湖北·阶段练习）已知f ( 2 x +1
x
)= x +2
x
，则f (x)=（ ）
A．2 x−3(x≠0)
B．2 x−3(x≠2)
C．2 x +3(x≠0)
D．2 x +3(x≠2)
【题型12】分段函数的求值求参
1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则；当
的值时，要先判断
属于定义域中的“哪
段然后再代入相应的解析式求解.
2、已知分段函数，求参数值，往往要对含参数的自变量属于"哪段"进行分类讨论，然后再代入相
应的解析式，列出方程求解，当出现
的形式时，应从内往外依次求值．
【例题1】已知函数
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
【例题2】（24-25 高一上·山西太原·阶段练习）函数f (x)=¿的定义域为（ ）
A．∅
B．¿
C．{−1,0,1,2}
D．{−1,0,1}
基础知识
【巩固练习1】（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）设f (x)=¿，则f (9)的值为（ ）
A．9
B．11
C．28
D．14
【巩固练习2】已知函数
．若
．则实数
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【巩固练习3】（2024·高一·山东济南·期中）已知函数
，则
；
若
，则
的取值范围是 ．
【题型13】函数的实际应用
【例题1】如图，某小区要在一个直角边长为
的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记
空地为
，花园为矩形
．根据规划需要，花园的顶点
在三角形的斜边
上，边
在三角形的直角边
上，顶点
到点
的距离是顶点
到点
的距离的2 倍．
(1)设花园的面积为（单位：
），
的长为
（单位：
），写出关于
的函数解析式；
(2)当
的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．
【例题2】（高一上·重庆·期中）某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该
镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料
x（单位：千克）满足如下关系：
，且单株施用肥料及其它成本总投入为
元．已知这种水果的市场售价大约为10 元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利
润为
（单位：元）．
(1)求函数
的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【巩固练习1】（24-25 高一上·浙江宁波·阶段练习）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集
中情况的研究调查中，发现其在40 分钟的一节课中，注意力指数
与听课时间
（单位：分钟）
之间的关系满足如图所示的图象，当
时，图象是二次函数的一部分，顶点为
，听课时
间为12 分钟与听课时间为8 分钟的注意力指数都为78，听课时间为4 分钟的注意力指数为62；当
时，图象是线段
，其中
．
(1)求
关于
的函数解析式；
(2)根据专家研究，当注意力指数大于62 时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核
心内容应在什么时间段？
【巩固练习2】（24-25 高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8 元/（
），年用电量
为
，本年度计划将电价下降到0.55 元/（
）至0.7 元/（
）之间，而用户期望电
价为0.4 元/（
）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比
（比例系数为
）.该地区的电力成本价为0.3 元/（
）.
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益
（单价：元）关于实际电价
（单位：元/（
））
的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价））
(2)设
，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长
？
模块三 【课后训练】
1．（24-25 高一上·四川达州·阶段练习）（多选）给出以下四个判断，其中正确的是（
）
A．
的定义域为
B．函数
与
是同一函数
C．若
的定义域为
，则
的定义域为
D．若不等式
的解集为
或
，则
2．（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知函数
的值域是
，
则其定义域可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一上·吉林通化·阶段练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
B．
和
表示同一个函数
C．函数
的值域为
D．定义在
上的函数
满足
，则
4．（24-25 高一上·福建莆田·期中）（多选）已知
定义域为
，则错误
的是（ ）
A．
B．
C．
，
D．函数
的定义域为
5．（24-25 高一上·浙江宁波·期中）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
B．函数
和函数
表示同一个函数
C．函数
的值域为
D．函数
满足
，则
6．（24-25 高一上·广东梅州·开学考试）已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为( )
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高一上·福建莆田·期中）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是
B．函数
的值域为
C．已知函数
，则
D．若关于
的不等式
对任意实数
都成立，则实数
的取值范围是
9．已知函数
，则
．
10．已知:函数
，
，则
.
11．设函数
，则
的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．若函数
的定义域为R，则实数a 的取值范围是__________．
13．知函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是 .
14．（24-25 高一上·江苏·期中）已知实数a≠0，函数f (x)=¿若f (1−a)= f (1+2a)，则a 的值为
（ ）
A．1
B．−1
2
C．−1
D．−1
2或−1
15．已知函数f (x)=
x
❑√2
x−4
x ，则函数f (x−1)
x +1
的定义域为（ ）
A．(−∞,1)
B．(−∞,−1)
C．(−∞,−1)∪(−1,0)
D．(−∞,−1)∪(−1,1)
16．求下列函数的解析式：
(1)已知
，求
；
(2)已知
，求
；
17．（1）已知
，求函数
的解析式；
（2）已知
是二次函数，且满足
，
，求函数
的解析式；
（3）已知
，求函数
的解析式；
18．求下列函数的定义域：
(1)已知函数
的定义域为[1，2]，求函数
的定义域；
(2)已知函数
的定义域[1，2]，求函数
的定义域；
(3)已知函数
的定义域[1，2]，求函数
的定义域.
19．求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
；
(3)
（
）；
(4)
.
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