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专题4-1 幂函数与指数函数13 类题型总结
【题型1】分数型指数幂的取值范围问题
【题型2】二重根式的化简
【题型3】求函数解析式
【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值
【题型5】 大致图象的判断及利用图形性质求参数范围
【题型6】指数幂比大小
【题型7】指数幂结合基本不等式求最值
【题型8】指数函数的实际应用
【题型9】指数型函数的奇偶函数模型
【题型10】指数型函数的值域问题
【题型11】解指数型函数不等式与恒成立问题
【题型12】指数型复合函数单调性
【题型13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合
【题型1】分数型指数幂的取值范围问题
一、分数指数幂的注意事项：
（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂
不可理解为
个
相乘，它是根式的一
种新的写法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式
化成分数指数幂的形式时，不要轻易对
进行约分．
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如
有意义，但
就没有意义．
二、分数指数幂的意义
（1）分数指数幂的意义
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：
（3）性质：0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义
1．函数
的定义域为_________.
【答案】
【解析】
，解得
【巩固练习1】函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
则有
，解得
且
，因此
的定义域是
．故选：B.
【巩固练习2】函数
的定义域为______.
【答案】
【解析】由
可知其定义域为
.
【题型2】二重根式的化简
二重根式化简，在高中的三角函数、解三角形中却频频出现!
，要化简
，则
2．求值
_______．
【答案】4
【解析】
.
3．化简
________.
【答案】6
【解析】
.
【巩固练习1】化简
（ ）
A．
B．
C．2 D．
【答案】D
【解析】
，故选：D．
【巩固练习2】化简下列根式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
，（2）
，（3）
【详解】（1）
（2）
（3）
【巩固练习3】化简
=_________.
【答案】
【解析】
=
因为
，所以
.所以原式
【题型3】求函数解析式
一、指数函数图象都经过点
，指数型函数
恒过定点
．
二、所有的幂函数图象都过点(1,1)
三、若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形
式.记
，
，则
.
4．已知
是指数函数，若
，则
___________.
【答案】
【解析】设
，
因为
，即
，解得
，
所以
，即
5．已知函数
，若
为偶函数，且在
是增函数，求
的解析式
【答案】
【解析】
在
上增函数，
，解得
又
,
，
由
为偶函数知
，
；
6．知幂函数
在
为减函数，则
___________.
【答案】
【解析】
为幂函数，
所以
，解得：
或
.
当
时，
为R 上的增函数；
当
时，
为R 上的减函数.
所以
，所以
.
7．若奇函数
和偶函数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，用
代替
，得到
，联立方程组，求得
的解析式，进而求得
的值.
【详解】由
，用
代替
，可得
，
因为
是奇函数，
是偶函数，所以
，
联立
，解得
，
，
所以
，
，则
．
【巩固练习1】已知指数函数
在
上单调递增，则
的值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】令系数为，解出
的值，又函数在
上单调递增，可得答案．
【详解】
解得
，
又函数在
上单调递增，则
，
【巩固练习2】如果函数
和
都是指数函数，则
（ ）
A．
B．1
C．9
D．8
【答案】D
【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可.
【详解】根据题意可得
，
，则
.
【巩固练习3】已知函数
是奇函数，且当
时，
，那么当
时，
的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，则
，所以
，
又因为函数
是奇函数，所以
，
所以当
时
．
【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值
【方法技巧】
（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.
（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
实数指数幂的运算性质
①
．
②
．
③
．
8．已知
，则
______．
【答案】3
【解析】由
，可得
，
，
．
9．（1）化简：
（2）已知
，分别求
的值.
【答案】（1）
；（2）3，47
【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；
（2）由完全平方公式，结合指数幂性质计算即可.
【详解】（1）
；
（2）因为
，
所以
，由
，可得
；
将
两边平方，即
，即
，则
.
10．化简或求值：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
（
且
）.
【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）
【解析】（1）原式=
.
（2）
=21.
（3）
.
（4）
.
11．已知
，
，且
，则
______．
【答案】
【解析】由题意，
，
所以
，
故答案为：
.
【巩固练习1】已知
＝5，则
的值为_________．
【答案】23
【解析】因为
＝5，
所以
.
【巩固练习2】已知
，求下列各式的值.
（1）
； （2）
； （3）
.
【答案】（1）7；（2）47；（3）
【解析】（1）将
两边平方，得
，
所以
．
（2）将
两边平方，得
，
所以
．
（3）∵
，
，
，
∴
，
∴
．
【巩固练习3】若
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题设，
，即
，
又
，且
，
所以
，故选：A.
【巩固练习4】（1）计算：
；
（2）计算：
；
（3）已知
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得.
（2）利用指数运算法则化简即得.
（3）利用分数指数幂的运算计算即得.
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）由
，得
，
，
所以
.
【巩固练习5】已知
，求：
(1)
(2)
.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1 ）根据平方关系可得
，由负数指数幂的性质可得
，即可代入求解，
（2）根据
和
可得
的值，即可分情况代入求解.
【详解】（1）由
平方可得
，
由于
，故
，
，
因此
（2）
，
由
和
可得
或
，
当
时，则
，
当
时，则
【题型5】 大致图象的判断及利用图形性质求参数范围
一、幂函数
（1）幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，
，
的图象(如图)．
幂函数的性质
1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增（重要）；
3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于
原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；
4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．
二、指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
第1 象限底大图高
性质
定义域
R
值域
(0,+∞)
过定点
(0,1)
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
12．函数①
；②
；③
；④
的图象如图所示，a，b，c，d 分别是下列四个
数：
，
，
，
中的一个，则a，b，c，d 的值分别是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】C
【解析】直线
与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而
，
所以a，b，c，d 的值分别是
，
，
，
，故选：C.
13．幂函数
在第一象限的图像如图所示，则
的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据幂函数的性质，
在第一象限内，
的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：
，故选：D
14．若函数
的图象不经过第一象限，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由指数幂的运算化简后再结合指数函数的单调性及题意解析即可；
【详解】
，
由指数函数的单调性可得函数为递减函数，因为图象不经过第一象限，
所以当
时，
，解得
15．若函数
的图象如图所示，且
，则实数
，
的值可能为
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】由函数
的图像，可得函数
为单调递增函数，所以
，
又由
，可得
，可得
，
结合选项，只有C 项适合.故选：C.
16．在同一坐标系内，函数
和
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断.
【详解】对于A，由函数
的图象可知
，
由
的图象可知
，互相矛盾，错误；
对于B，由函数
的图象可知
，
由
的图象可知
，互相矛盾，错误；
对于C，由函数
的图象可知
，
由
的图象可知
且
，符合题意，正确；
对于D，由函数
的图象可知
，
由
的图象可知
且
，互相矛盾，错误.
17．（多选）已知函数
（
且
）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据函数图象可得出
、
的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD 选项，利
用不等式的基本性质可判断B 选项.
【详解】由图象可知，函数
（
且
）在
上单调递增，则
，
且当
时，
，可得
.
对于A 选项，
，A 对；
对于B 选项，
，B 对；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，由题意可知，
，则
，所以，
，D 对.
故选：ABD.
【巩固练习1】如图，曲线①②③④分别是指数函数
，
，
，
的图像，则实
数a、b、c、d 的大小关系满足（ ）
A．
B．
C．
； D．
．
【答案】B
【解析】作出直线
，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，
所以
，故选：B
【巩固练习2】图中C1、C2、C3为三个幂函数
在第一象限内的图象，则解析式中指数
的值
依次可以是（ ）
A．
、、
B．
、、
C．
、
、 D．
、
、
【答案】D
【解析】由幂函数
在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C1对应的
，C2对应的
，C3对应的
，
结合选项知，指数
的值依次可以是
．故选：D.
【巩固练习3】函数
的图像如图所示，其中
为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】由函数
的图像可知，
函数
在定义域上单调递减，
，排除AB 选项；
函数
图像是由
向左平移所得，
，
.故D 选项正确.
【巩固练习4】（多选）若函数
的图象过第一，三，四象限，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果.
【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示，
若
，则
的图象必过第二象限，不符合题意，所以
．
当
时，要使
的图象过第一、三、四象限，
，解得
．
故选：BC．
【巩固练习5】（多选）在同一直角坐标系中，函数
的图
象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数
的单调性及0 一侧的函数值，再结合
图象与y 轴交点位置即可判断作答.
【详解】依题意，当
时，函数
图象与y 轴交点在点
上方，排除B，C，
而
，因此，
在
上递减，且x<0 时，0<f(x)<1，D 不满足，A
满足；
当0<a<1时，函数
图象与y 轴交点在原点上方，点
下方，排除A，D，
而
，因此，f(x)在
上递增，且x>0 时，0<f(x)<1，B 不满足，C 满
足，所以给定函数的图象可能是AC.
【题型6】指数幂比大小
比较指数幂的大小
常用方法有：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来
比较．
18．若
，则a､b､c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
在
上单调递增，且
，
所以
，即
，
因为
在
上单调递减，且
，
所以
，即
，
所以
，即
，故选：A
19．设
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可依次判断
的大小即得.
【详解】因函数
为减函数，故
，
又函数
在第一象限内为增函数，故
，
又
为减函数，故
，
综上可得
.
20．已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.
【详解】易知
，
又
定义域上单调递减，
，所以
，
易知
单调递增，
，
则
，综上
.
21．已知函数
是定义域为R 的偶函数，且在
上单调递减，若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合函数奇偶性、单调性，以及指数函数单调性来比较大小；
【详解】由题意知函数
为定义域为R 的偶函数，且在
上单调递减，则
，
且在
上单调递增，所以
，
因为
，
所以
，即
22．已知函数
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，即
，
所以
，又
，
所以
，而
递增，
故
，故选：D
23．设
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由指数函数的单调性比较
与
的大小，再作商比较
的大小即可得解.
【详解】
，
，而
而
，因为
，所以
，
所以
，故
，所以
.
【巩固练习1】已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
是减函数，
，所以
，
又
，∴
．故选：C．
【巩固练习2】若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解．
【详解】
，在
上单调递增，
，
故
，所以
，
，在
上单调递增，
，故
，即
，所以
．
【巩固练习3】定义在R 上的偶函数
对
都有
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先判断函数的单调性，并比较
的大小，再结合函数是偶函数，即可判断选项.
【详解】由题意可知，任意
，
，
所以函数
在区间
单调递增，
因为函数为偶函数，所以在区间
上单调递减，
，
，
所以
，
所以
，再根据函数是偶函数，
可得
.
【巩固练习4】已知偶函数
在
上单调递增，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性及单调性得到
在
上单调递减，比较出
，结合
，比较出
.
【详解】因为偶函数
在
上单调递增，所以
在
上单调递减．
，所以只需比较
的大小即可．
因为
，所以
，即
．
又因为
，所以
，即
，故
．
而
在
上单调递减，所以
，即
．
【巩固练习5】已知奇函数
在R 上是增函数，
．若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据条件确定函数
的奇偶性及单调性，然后比较大小.
【详解】因为
是R 上的奇函数，所以
，即
是R 上的偶函
数，
又
在R 上是增函数，而
，所以
时，
，
于是
时，
单调递增，
则偶函数
在
上是增函数，在
上是减函数.
因为
，而
，
所以
，即
.
【题型7】指数幂结合基本不等式求最值
指数幂结合基本不等式求最值是一类常见的数学问题，通常涉及到指数函数、幂函数以及基本不等
式的应用，通过变形和转换，将指数幂表达式转化为可应用不等式的形式，从而求得表达式的最大
值或最小值。
24．已知
，
，若
，则
的最小值为
【答案】4
【分析】利用
，可求最小值.
【详解】
，
当且仅当
，即
时取等号.
的最小值为
.
25．（23-24 高一上·浙江温州·期中）若正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．27
B．81
C．6
D．9
【答案】B
【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性求解最小值.
【详解】因为
，可得
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
，所以
.
26．已知正数m，n 满足
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．5
C．8
D．9
【答案】D
【分析】由指数幂的运算律得
，再由基本不等式求最值.
【详解】由正数m，n 满足
，即
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时，取得等号.
【巩固练习1】（23-24 高一上·广东深圳·期中）若正数
满足
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．12
D．16
【答案】D
【分析】利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】由已知可得
，
，两边同除
得
，
所以
．
当且仅当
时等号成立
【巩固练习2】已知
，求
的最小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．12
【答案】B
【分析】由
，将
变形，利用基本不等式即可.
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
即
时，取等号，
所以
的最小值为6
【巩固练习3】已知正数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】9
【分析】先根据指数运算求出
，代入
中，再利用基本不等式可得最小值.
【详解】
，可得
，又
，所以
，
当且仅当
，即
时取得最小值.
【题型8】指数函数的实际应用
1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质
的衰变等。
2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。
指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。
27．人工放射性核素碘-131 可发射
射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8 天，设质量为
的
碘-131 经过
天后剩留的质量为
，则
关于
的函数解析式是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】直接根据指数函数定义求解即可.
【详解】由题意，经过一个半衰期（8 天）后，剩留的质量
，
中档题型
模块二
经过两个半衰期（16 天）后，剩留的质量
，
经过三个半衰期（24 天）后，剩留的质量
，
，
经过
天后，剩留的质量
，
.
28．当生物死亡后，它机体内原有的碳14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N
年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14 原有初
始质量为Q，该生物体内碳14 所剩质量y 与死亡年数x 的函数关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.
【详解】设死亡生物体内碳14 含量的年衰减率为
，将刚死亡生物体内碳14 含量看成1 个单位，
根据经过N 年衰减为原来的一半，则
，即
，
且生物体内碳14 原有初始质量为Q
所以生物体内碳14 所剩质量y 与死亡年数x 的函数关系为
即
29．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以
的增长率呈指数增长，已知经过
天以后，该湖泊
的蓝藻数大约为原来的
倍，那么经过
天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（ ）
A．18 倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
【答案】C
【分析】构造指数函数模型，计算即可.
【详解】某湖泊中的蓝藻每天以
的增长率呈指数增长，经过30 天以后，该湖泊的蓝藻数大
约为原来的6 倍，
设湖泊中原来蓝藻数量为
，则
，
经过60 天后该湖泊的蓝藻数量为：
经过60 天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36 倍.
30．某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100 年后只剩原来的一半，现有这
种元素1 克，3 年后剩下（ ）
A．0.015 克
B．
克
C．0.925 克
D．
克
【答案】D
【分析】设每年减少的比例为x，由题意得出指数关系
，求出x，再计算三年后剩余
量即可.
【详解】设每年减少的比例为x，因此1 克这种放射性元素，经过100 年后剩余
克，
依题意得
，所以
，
3 年后剩余为
，将x 的值代入，得结果为
31．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR
法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增过程中的靶标DNA 进行实时检测．已知
被标靶的DNA 在PCR 扩增期间，每扩增一次，DNA 的数量就增加
．若被测标本DNA 扩
增5 次后，数量变为原来的10 倍，则p 的值约为（ ）．（参考数据：
，
）
A．36.9
B．41.5
C．58.5
D．63.1
【答案】C
【分析】设DNA 数量没有扩增前数量为a，由题意可得，
，化简得
，
再根据指数函数的运算，即可求解．
【详解】设DNA 数量没有扩增前数量为a，
由题意可得，
，即
，
所以
，即
，
故
．
32．友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量
（毫
克/每立方米）与时间
（小时）成正比
；药物释放完毕后（此时药物含量
），
与
满足关系
（
为常数，
）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到
毫克
以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（ ）分钟进行消毒工作.
A．50
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知得出
时的函数解析式，然后解不等式
，即可求解.
【详解】由题意可知，当
时，
过点
，
则
，解得
，所以
，
当
时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至毫克，
当
时，空气中每立方米的含药量逐渐降低，
由
，解得
，
又
，所以工作人员至少在会议开始时提前
分钟进行消毒工作.
33．放射性核素锶89 的质量M 会按某个衰减率衰减，设初始质量为
，质量M 与时间t（单位：
天）的函数关系为
（其中h 为常数），若锶89 的半衰期（质量衰减一半所用的
时间）约为50 天，那么质量为
的锶89 经过30 天衰减后质量大约变为（ ）（参考数据
）
A．0.72
B．0.70
C．0.68
D．0.66
【答案】D
【分析】根据
时
，代入函数关系式中，可得
的值，进而代入
求解即可.
【详解】由题意，锶89 半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50 天，
即
，则
，
所以质量为
的锶89 经过30 天衰减后，
质量大约为
．
【巩固练习1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近
年内减少了
，如果按此
速度，设2022 年的冬季冰雪覆盖面积为
，从2022 年起，经过
年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积
与
的函数关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】确定北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率，然后建立函数关系.
【详解】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的
倍，
则
，
，
所以设2022 年的冬季冰雪覆盖面积为
，从2022 年起，经过
年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积
与
的函数关系式是
【巩固练习2】心理学家有时用函数
来测定人们在时间
内能够记忆的单词
量
，其中
表示记忆率.心理学家测定某学生在
内能够记忆50 个单词，则该学生在
从能记忆的单词个数为（ ）
A．150
B．128
C．122
D．61
【答案】C
【分析】根据已知可求出
，再代入
即可求出.
【详解】由题可得
，则
，
所以
，
即该学生在
从能记忆的单词个数为122.
【巩固练习3】（23-24 高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，
根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以
的增长率生长.若经过
周后，该植物的长
度是原来的
倍，则再经过
周，该植物的长度大约是原来的（ ）
A．
倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
【答案】C
【分析】设植物原来的长度为
，由已知可得出
，求出
的值，利用指数运算可
求得结果.
【详解】设植物原来的长度为
，经过
周后，该植物的长度为原来的
倍，
即
，即
，即
，
再过
周后该植物的长度为
.
因此，再经过
周，该植物的长度大约是原来的
倍.
【巩固练习4】（重庆·高一重庆巴蜀中学校考）已知某种果蔬的有效保鲜时间
（单位：小时）与
储藏温度
（单位：
）近似满足函数关系
（
，
为常数，为自然对数底数），若该
果蔬在
的保鲜时间为216 小时，在
的有效保鲜时间为8 小时，那么在
时，该果蔬的有
效保鲜时间大约为 小时.
【答案】
【分析】根据已知条件求得
，进而求得正确答案.
【详解】依题意
，两式相除得
，
则
，
所以当
时，
小时.
【巩固练习5】（23-24 高二下·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减
情况，这个时间被称做半衰期，记为
（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半
衰期分别为
．开始记录时，这两种物质的质量相等，512 天后测量发现乙的质量为甲的质量的
，则
满足的关系式为________
【答案】
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512 天后甲，乙的质量，根据题意列出
等式即可得答案．
【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512 天后甲的质量为：
,
乙的质量为：
，
由题意可知，
，
所以
.
【题型9】指数型函数的奇偶函数模型
一、常见奇偶性函数模型
奇函数：函数①：
或函数
．
函数②：
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：函数①
．
函数②：
类型的一切函数．
③若
为奇函数，则
为偶函数
二、运算函数的奇偶性规律：
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；（加减要同性）
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.（同性为偶，异性为奇）
三、复合函数奇偶性
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
34．已知函数
为定义在R 上的奇函数，求实数m，n 的值.
【答案】
【解析】由于
是定义在R 上的奇函数，
所以
，
所以
，
由于
是奇函数，所以
，
所以
，
即
，
所以
.
35．函数
为偶函数，则实数
的值为 .
【答案】
【分析】由函数
为偶函数可得
恒成立，由此求n 的值
【详解】解：根据偶函数的定义可得，
对定义域的任意
都成立，
即
对定义域内的任意的
都成立，
整理可得，
，
36．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的取值情况判断
即可.
【详解】函数
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；
又
，当
时
，
所以
，
，
又
，所以
，
所以
，故排除B.
37．已知函数
是奇函数，若
，则实数a 的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.
【详解】因为函数
是奇函数，
所以
，
解得
，
又
，
所以当
时，函数为增函数，当
时，函数为减函数，
因为
，
所以
，故
.
【巩固练习1】已知函数
是定义在
上的奇函数，求实数
的值.
【答案】
【解析】因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，即
，解得
.
【巩固练习2】函数
的部分图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性排除A，B，再根据
得到D.
【详解】因为
定义域为
，
，
所以
为偶函数，关于
轴对称，排除A，B；
因为2+cos x>0，
，所以
，故C 错误，D 正确
【巩固练习3】已知定义域为
的函数
是奇函数，求
，
的值.
【巩固练习4】若
为奇函数，则
（ ）
A．1
B．0
C．
D．
【答案】D
【分析】由奇函数性质
求参数，再由奇偶性定义验证即可.
【详解】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数，
所以
，
故
，
由
，为奇函数，满足题设.
所以
.
【题型10】指数型函数的值域问题
解决步骤
第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数．
第二步：由自变量的范围求内层函数的值域．
第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域．
38．函数
，
的值域是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
则
，
则
，故选：A.
39．已知函数
，
，则函数
的值域为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，函数
，
，
令
，则
在
上单调递增，即
，
于是有
，当
时，
，此时
，
，
当
时，
，此时
，
，
所以函数
的值域为
.故选：B
40．若不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将不等式整理为
，令
，根据二次函数性质可求得
的最小值为
，由此可得
，解不等式可求得结果.
【详解】由
得：
，
令
，则当
时，
，
，
，解得：
，即实数
的取值范围为
.
【巩固练习1】函数
在
上的值域为___________.
【答案】
【解析】
∵
则令
在
递增
∴
【巩固练习2】若对任意的
，都有
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】不等式变形为
，求出
的最小值后可得
范围．
【详解】由
得
，
，所以
的最小值为
，
所以
，
．
【巩固练习3】若
，不等式
恒成立，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】C
【分析】分离参数得
恒成立，由复合型指数函数的最值得
，
解一元二次不等式即可得解.
【详解】不等式可化为
.
因为
，所以
，所以
的最大值为
.
所以
，所以
.
【题型11】解指数型函数不等式与恒成立问题
简单指数不等式的解法
1、形如
的不等式，可借助
的单调性求解
2、形如
的不等式，可将
化为以
为底数的指数幂的形式，再借助
的单调性求解
3、形如
的不等式，可借助两函数
，
的图象求解
41．若x 满足不等式
，则函数
的值域是（ ）
A．[ 1
8
，2) B．[ 1
8
，2] C．(−∞，1
8
] D．[2，+∞)
【答案】B
【解析由
可得
，
因为
在
上单调递增，所以
即
，解得：
，
所以
，即函数
的值域是
，故选：B.
42．已知不等式
对任意实数
恒成立，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】变换
，再利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】
恒成立，即
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
，即
.
43．已知函数
，则不等式
的解集为______．
【答案】
【解析】因为
，定义域为
，且
，故
为奇函数；
又
均为单调增函数，故
是
上的单调增函数；
则
，即
，也即
，
故
，
，解得
.
故不等式
的解集为
.
故答案为：
.
44．若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．[
，＋∞）
B．（－∞，
]
C．（
，
]
D．[
，
]
【答案】D
【分析】利用幂函数的单调性解不等式即可.
【详解】不等式
可化为：
，解得：
.
45．若
，求a 的取值范围.
【答案】
【解析】
的定义域为
，且在
上是减函数，
原不等式等价于
，即
，
，
的取值范围是
.
46．已知函数
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意构造函数
，首先得出
的单调性与奇偶性，然后将条件
表达式等价转换即可得解.
【详解】令
，因为
的定义域为
关于原点对称，且
，
所以
是
上的奇函数，
注意到幂函数
都是
上的增函数，
所以
是
上的增函数，
而
，
所以
，解得
，
综上所述，
的取值范围是
.
【巩固练习1】已知函数
，则不等式
的解集为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】可知函数
为减函数，由
，可得
，
整理得
，解得
，
所以不等式的解集为
．故选B.
【巩固练习2】不等式
的解集是______．
【答案】
【解析】
．
【巩固练习3】若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可.
【详解】解：函数
的定义域为
，
令
，解得
，
故函数
的定义域为
【巩固练习4】已知函数
，若
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】参变分离可得
恒成立，结合基本不等式求出
的最小值，即可求出参数的
取值范围.
【详解】因为
恒成立，即
恒成立，
所以
恒成立，又由
（当且仅当
时取等号），
所以
．
【巩固练习5】若对任意的
，使得不等式
恒成立，则实数
的取值范
围为 ．
【答案】
【分析】依题意化为
对任意
恒成立，求出不等式右边的最小值后，代入不等式
可得结果.
【详解】由
，得
，
令
，因为
，所以
，
所以
对任意
恒成立，
因为
在
上单调递增，
所以当
时，
取得最小值
，当
时，
取得最大值，
所以
，所以
.
【巩固练习6】不等式
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出函数
的定义域，单调性，且当
上，
恒成立，当
上，
恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集.
【详解】
定义域为
，且在
与
上均为减函数，
且当
上，
恒成立，当
上，
恒成立，
故
①或
②或
③，
解①得：
，
解②得：
，
解③得：
，
综上：不等式的解为
.
【题型12】指数型复合函数单调性
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
47．函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，在
单调递增，在
单调递减，
在
单调递增，
根据“同增异减”可得，函数
的单调递减区间是
.故选：A.
48．函数
的单调递增区间为________
【答案】
【解析】设
，函数
的单调减区间是
由于
在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
49．函数
的单调递增区间是_________．
【答案】
【解析】
令
，
，
当
时，即
，
单调递增；
当
时，即
，
单调递减；
因为
单调递增，
所以函数
的单调递增区间为
.
50．已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【解析】令
，可得抛物线的开口向上，且对称轴为
，
所以函数
在
上单调递减，在区间
上单调递增，
又由函数
，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数
在
上单调递增，在区间
上单调递减，
因为函数
在
上单调递减，则
，
可得实数
的取值范围是
.
51．设函数
在区间(0,1)单增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由复合函数单调性得到
在
上单调递减，由对称轴得到不等式，求出答案.
【详解】
在R 上单调递减，由复合函数单调性可知，
在
上单调递减，
，解得
.
52．设函数
（
且
）在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】易知
，显然
在
上单调递增，
在
上单调递减，
因为
在区间(1,+∞)上单调递增，结合复合函数的单调性可知
，且
，
所以
.
【巩固练习1】函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得：
的单调递减区间为
.故选：D
【巩固练习2】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，
，解得：
，
即
定义域为
，
令
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
而函数
在R 上单调递减，
因此，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调递增区间为
.故选：C
【巩固练习3】函数
的单调递增区间是_________．
【答案】
【解析】
令
，
，对称轴为
当
时，即
，
单调递增；
当
时，即
，
单调递减；
因为
单调递增，
所以函数
的单调递增区间为
.
【巩固练习4】设函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合指数函数和二次函数的单调性，由复合函数单调性可得答案.
【详解】函数
分为外函数：
，内函数：
；
根据复合函数同增异减法则，
在区间
上单调递增，
且外函数单调递减，则内函数
在
也单调递减；
为二次函数，开口向下，对称轴为
，所以
，所以
.
【巩固练习5】（重庆巴蜀中学高一校考）已知函数
在
上单调递
增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可.
【详解】令
, 则
，
当
时，
单调递增，且
，
当
时，
，当
时单调递增，
则函数
在
上单调递增，符合题意；
当
时，
的对称轴为
，
由题意
，
当
时，
表示开口向下的抛物线，对称轴为
，
在
上单调递减，不符合题意，综上，
.
【巩固练习6】设函数
且
在区间(0,2)上单调递减，则
的取值范围是( ).
A．(1,+∞)
B．
C．(0,1)
D．(1,4)
【答案】B
【分析】利用复合函数的单调性及指数函数的单调性分类讨论底数计算即可.
【详解】若
，
在(0,+∞)上单调递增，
要满足题意，则
要在(0,2)上单调递减，故
，即
；
若
，
在(0,+∞)上单调递减，
要满足题意，则
要在(0,2)上单调递增，故
，
即
，不满足
综上所述：
的取值范围是
.
【巩固练习7】（23-24 高一上·福建福州·期末）设函数
（
且
）在区间
(1,+∞)上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．(
1
2 ,1)
D．
【答案】A
【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】易知
，显然
在
上单调递增，
在
上单调递减，
因为
在区间(1,+∞)上单调递增，结合复合函数的单调性可知
，且
，
所以
.
【题型13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合
1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象，再利用数形结合的方法来解决．
2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内
层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规
律求解．
53．已知函数
是R 上的奇函数.
(1)求m 的值；
(2)比较
与0 的大小，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质列式求解；
（2）先判断函数的单调性，利用单调性与奇偶性即可解题.
【详解】（1）因为
是
上的奇函数，
所以
，得
，
时，
，
满足
为奇函数，所以
.
（2）设
，则
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以函数
在
上为增函数，又因为
为
上的奇函数，
所以函数
在
上为增函数．
，
即
，即
，
因为
是
上的奇函数，则
，
即
．
54．已知函数
为奇函数.
(1)求
的值，并用函数单调性的定义证明函数
在
上是增函数；
(2)求不等式
的解集.
【答案】(1)
；函数
在
上是增函数证明见解析，(2)
【详解】（1）∵
是奇函数，定义域为
，
∴
，则
，
，
所以
，符合
为奇函数，
证明：任取
，且
，
则
，
由
，可得
，则
，
，
∴
，即
，
∴函数
在
上是增函数.
（2）∵函数
在
上是奇函数
∴
又函数
在
上是增函数
∴
令
为，则
解得
即
∴不等式的解集为
55．已知定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求实数
的值；
(2)判断函数
的单调性，并用定义加以证明；
(3)若对任意的
，不等式
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
在定义域内单调递增，证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）利用奇函数性质求出
，再利用定义验证即得.
（2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得.
（3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得.
【详解】（1）定义在R 上的函数
为奇函数，得
，解得
，
此时
，则
，
即函数
是奇函数，所以
.
（2）由（1）知
，
函数在定义域内单调递增，证明如下：
设
，则
，
由
，得
，则
，所以函数在R 上单调递增.
（3）依题意，对任意的
，
成立，
则
，即
在
上恒成立，而
，
当且仅当
时取等号，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
56．已知
，
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且满足
．若
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先利用方程组法求出
、
的解析式，再判断
的单调性，则问题转化为
恒成立，参变分离求出
，即可得解.
【详解】因为
，
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，
所以
，
，
因为
，①
所以
，
所以
，②
①
②得
，
，
因为
在定义域
上单调递增，
在定义域
上单调递减，
所以
在
上单调递增，又
，
若
恒成立，则
恒成立，
所以
恒成立，
所以
恒成立，
所以只需
，
因为
，
，所以
（当且仅当
，即
时取等号），
所以
（当且仅当
时，取等号），
所以
，
所以
的取值范围为
.
57．已知函数
，则
的解集为 ．
【答案】
【分析】由解析式得
，即
关于
对称，再应用定义求证
上
单
调性，结合对称性及不等式有
，即可求解集.
【详解】由
，则
，
所以
关于
对称，
当
，令
，则
，而
，
所以
，即
在
上递增，
根据对称性知：
在
上递减，
由
，则
，即
，
所以
，即
，可得
，
故不等式解集为
.
58．已知定义在
上的函数
，满足不等式
，
则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数解析式可令
，且
是
上的增函数并关于点
成中心对称，将
不等式变形即可求得
，解得
.
【详解】易知函数
在
上为单调性递增，
即可得
是
上的增函数，
令
，则
是
上的增函数，
易知
，可得
,
即
的图象关于点
成中心对称，
由
可得
，
即
，由
可得
；
所以
，利用
是
上的增函数可得
，
解得
.
即
的取值范围是
.
【巩固练习1】函数
为奇函数.
(1)求
的值;(2)判断
的增减性，并证明.
【答案】(1)1
(2)增函数，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数性质
解得
，并代入检验即可；
（2）根据函数单调性的定义结合指数函数性质分析证明即可.
【详解】（1）因为函数
的定义域为
，且为奇函数，
则
，解得
；
若
，则
，
可得
，
即
，可知
为奇函数；
综上所述：
.
（2）
是增函数，理由如下：
任取
，令
，
则
，
因为
，则
，可得
，
则
，即
，
所以
为定义在
上的增函数.
【巩固练习2】已知函数
是定义在R 上的奇函数
．
(1)求
的解析式；
(2)求当
时，函数
的值域．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b 作答.
（2）由（1）的结论，求出函数
的解析式，结合二次函数求出值域..
【详解】（1）由函数
是
上的奇函数，则有
，解得
，即
，
，
，
即
，
，解得
，经验证得
，
时，
是奇函数，
所以
.
（2）由（1）知，
，
当
时，
，因此当
时，
，当
时，
，
所以所求值域为
.
【巩固练习3】已知定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求
，
的值；
(2)若存在
，使
成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
；(2)
.
【分析】（1）由
及
即可求解；
（2）求出函数
的单调性，不等式可转化为
，根据二次函数的最值即可求解.
【详解】（1）因为函数
是定义在
上的奇函数，所以
，
即
，所以
，又因为
，
所以
将
代入，解得
，
经检验符合题意，所以，
，
.
（2）由（1）知：函数
，
所以函数
在
上是减函数.
因为存在
，使
成立，
又因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以不等式可转化为
，
又因为函数
在
上是减函数，所以
，
所以
，令
，
题意可知：问题等价转化为
，
又因为
，所以
,故
的取值范围为
.
【巩固练习4】已知函数
.若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，
∴
，即
为奇函数，
又
在R 上均为减函数，
∴
为减函数，
由
得：
，
∴
，即
，解得
.故选：D.
【巩固练习5】（多选）已知函数f ( x)=|2
x−1|，当
时，有
．给出以下
命题，则正确命题的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】作出函数
的图象，由数形结合判断四个选项的正误.
【详解】
的图象如下图所示,由图可知
在
单调递减，在
上单调递增
因为
，
若
，因为
在
单调递减，此时不满足
所以
，同理可得
，
因为f (a)>f (c)，所以
所以
，即
，
对.
f (a)=|2
a−1|=1−2
a>f (c)=2
c−1
即
，
错.
若
，因为
所以|a|>c>b>0>a
此时
，
错，
，
对.
若
,因为
所以|a|>|b|>c>0>b>a
f (c)=2
c−1>f (b)=|2
b−1|=1−2
b
即
综上所述，
对.
故选：
