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2025—2026 学年度上学期 2025 级
12 月月考数学试卷
命题人：李雪冰
审题人：冷劲松
考试时间：2025 年 12 月 4 日
一、单选题
1. 下列函数中，定义域与值域相同的函数是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指对幂函数的性质确定各项函数对应的值域和定义域，即可得.
【详解】函数
的值域为
，而其定义域为
，A 不符合，
函数
的值域为
，且其定义域也为
，B 符合，
函数
的值域为
，而其定义域为
，C 不符合，
函数
值域为
，而其定义域为
，D 不符合.
故选：B
2. 函数
与
的图象可能是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和幂函数的图象和性质直接判断即可.
【详解】函数
为单调递减的指数函数，且过点
，其值域为
，排除 B，D.
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函数
为幂函数，定义域和值域都是
，且单调递增，过点
.
故选：A.
3. 若函数
为
上的单调递增函数，则实数 的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、二次函数的单调性，结合分段点函数值的大小关系列不等式组求解可得.
【详解】由
在
上单调递增，可得
解得：
故选：B.
4. 已知幂函数
在区间
上单调递增，则函数
的图
象过定点（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及单调性求出
，再结合指数函数的性质可得.
【详解】因为函数
为幂函数，
所以
，解得
或
，
又
为
为增函数，则
，
故
恒过定点
.
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故选：C.
5. 函数
（
）的值域为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用换元法及对数函数的性质，令
，从而有
，结合
二次函数的性质求值域.
【详解】
，且
，
令
，则
，
又
的图象开口向上且对称轴为
，且
，
所以
.
故选：B
6. 已知
，
，
，则 a，b，c 的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由
，利用指数函数的单调性即可比较 与 的大小，又
，利用不等式的性质即
可求解.
【详解】由
，又
在
上单调递增，
又
，所以
，即
，又
，所以
，
故选：D.
7. 已知函数
，则不等式
的解集为（
）
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A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由解析式及对数函数、复合函数的单调性判断
的单
调性，应用奇偶性、单调性解不等式即可.
【详解】由解析式知，函数的定义域为
，
且
，
所以
在
上为奇函数，且为连续函数，
由
在
上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递增，
结合奇函数的对称性，
在
上单调递增，
由
，
所以不等式的解集为
.
故选：B
8. 已 知 函 数
， 定 义 域 为
的 函 数
满 足
， 若 函 数
与
的图象有四个交点，分别为
，
，则所有交点的横
､纵坐标之和为（
）
A. 0
B. 5
C. 10
D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到
，
图象关于
对称，设关于点
对称的坐标为
，
，则
，
，同理可得
，
，即可得到答案.
【详解】因为
定义域为
，
令
，
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则
，
所以
为奇函数，图象关于原点对称，
故
的图象关于
对称，因为
，则
的图象也关于
对称，
所以
与
的交点也关于
对称，
若函数
与
的图象有四个交点，分别为
，
不妨设
，则
，
，
则
，
，
则所有交点的横､纵坐标之和为
.
故选：D.
二、多选题
9. 已知函数
，则（
）
A.
的定义域为
B.
为奇函数
C.
为
上的减函数
D.
无最值
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可.
【详解】对于 A 项，由
可知
，所以
，即其定义域为
，
A 正确；
对于 B 项，
，显然
，
所以
为奇函数，B 正确；
对于 C 项，由 A 项结论可知显然错误；
对于 D 项，由指数函数的性质知：当
时，
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，所以
，
则
，故 D 正确；
故选：ABD
10. 已知函数
和
的定义域均为 R，
为奇函数，
为偶函数，
，则（
）
A.
B.
C.
D.
的图象关于直线
对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】由
为奇函数，令
，可判断 B，由
，令
可判断 A，
由
是偶函数，通过方程组法可判断 C，由对称性的概念可判断 D.
【详解】由
为奇函数，得
，
令
，得
，B 正确．
对于
，
令
，得
，A 错误．
因为
是偶函数，所以
，
对于
，以
代替 x 得
①，
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则
②，所以
，C 正确．
①
②
与
相减得
，
即
，则
的图象关于直线
对称，D 正确．
故选：BCD
11. 若
，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】令
，利用单调性可得
，判断 A；利用赋值法判断 B；可得
判
断 C；令
，利用单调性可判断 D.
【详解】由题意知
，整理得
，
令
为增函数，
为增函数，
所以函数
单调递增，
，故 A 正确；
当
时不满足
，故 B 错误；
由
，故 C 错误；
令
，函数
单调递增，
因为
，所以
，故 D 正确.
故选：AD.
三、填空题
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12. 已知
，
，则
__________（用 ， 表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据换底公式即可求解.
【详解】
.
故答案为：
13. 函数
值域为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数的值域问题求解即可.
【详解】令
，
则原函数值域等价于函数
的值域，
由指数函数性质可知
，故函数的值域为
.
故答案为：
14. 设
，若有不相等的实数
满足
，则
的取值
范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式作出函数的图象，得到
的范围，再由
得到
，从而得解.
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【详解】对于
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
，且当
时，
；
当
时，
，则
，
且当
时，
，当
时，
，；
作出函数
的图象，如图，
不妨设
，因为
，则
，
由
得
，则
，
由
，得
，即
，
则
.
故答案为：
.
四、解答题
15. 化简求值：
（1）已知
，求
的值．
（2）已知
，求：
．
【答案】（1）
；
（2）
.
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【解析】
【分析】（1）将目标式化为
，结合
化简求值即可；
（2）根据已知先求出
、
，再代入目标式求值.
【小问 1 详解】
由
，则
，
而
，则
；
【小问 2 详解】
由
，
，
所以
.
16. 已知函数
.
（1）若
在
上单调递增，求 的取值范围；
（2）设
，若对于任意
，存在
，使得不等式
成立，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数以及对数复合函数的单调性即可求解，
（2）利用二次函数的性质求解
的最值，即可根据
对任意的
恒成立，分离参数，
利用基本不等式即可求解.
【小问 1 详解】
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若
在
上单调递增，则需满足
，解得
【小问 2 详解】
，
由于
，
，故
，
由于对于任意
，存在
，使得不等式
成立，故
，因此
对任意的
恒成立，
因此
对任意
恒成立，
故
对任意的
恒成立，
由于
，当且仅当
时取到等号，
故
17. 已知命题
，
，命题
，
．
（1）若
为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若
， 中有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由
为真命题求出实数 的取值范围，则其补集就是
为假命题实数 的取值范围；
（2）分
真 假、
假 真两种情况求解.
【小问 1 详解】
若
为真命题，则当
，不等式变为
解集为
，满足；
若
，则
，解得
，
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所以实数 的取值范围为
，
所以当
为假命题时，实数 的取值范围为
.
【小问 2 详解】
若命题 为真，即
，
，
令
，则
，不等式变为
，即
，
设
，
的图象开口向下，对称轴为
，在
单调递减，
所以
，所以
，
即命题 为真时，实数 的取值范围为
.
若
真 假，则
，解得
；
若
假 真，则
或
，解得
综上，若
， 中有且仅有一个为真命题，则实数 的取值范围为
.
18. 已知函数
（其中 a，b 均为常数，
且
）的图象经过点
与点
．
（1）求 a，b 的值；
（2）求不等式
的解集；
（3）设函数
，若对任意
，存在
，使得
成立，求实数 m 的取值范围．
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【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接待定系数法求解即可；
（2）结合（1）得
，进而得
，再解指数不等式即可得；
（3）根据题意，转化为函数
在
上的值域为函数
在
上的值域的
子集，进而根据集合关系求解即可.
【小问 1 详解】
由题意知，
，即
，解得：
所以，
【小问 2 详解】
由（1）知
，
，
所以
，即
，
所以
，令
，
则
，
解
得
；解
得
，
所以
，
的解集为
，即
，解得
，
所以不等式
的解集为
【小问 3 详解】
由
得函数
，
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当
时，
，
故
，
当
时，
因为对任意
，存在
，使得
成立，
所以
是
的子集，
所以
，即
，
所以实数
的取值范围为
19. 已知函数
的定义域为
，若存在常数
，使得对
内的任意 ，都有
，
则称
“
具有 -
”
互倒性．设
，
．
（1）判断函数
“
是否具有 -
”
互倒性，并说明理由；
（2）当
时，若函数
与
的图象恰有一个交点，求实数
的值；
（3）当
时，设
，已知
在区间
上有两个零点
，
，证明：
．
【答案】（1）答案见解析；
（2）
；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1
“
）假设具有 -
”
互倒性，由
求 判断；
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（2）将函数
与
的图象恰有一个交点转化为
恰有一根求解；
（3）用反证法证明.
【小问 1 详解】
函数
定义域为
，对
，
,
若
，则
，
整理得：
，
若函数
“
具有 -
”
互倒性，则方程中各项系数为 ，则
，解得
，
即存在
，使函数
“
具有 -
”
互倒性.
【小问 2 详解】
当
时，
,
函数
与
的图象恰有一个交点，即方程
有且仅有一个解，
令
，则
，
，方程变为：
，
即
，令
，
对
，由均值不等式
，当且仅当
，即
时取等号，
对
，当
时其最小值为
，
所以当
时，
取得最小值
，
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因为方程
有且仅有一个解，所以
.
【小问 3 详解】
当
时，
，
设
是
的两个零点，则
①，
②，
① ②得
，
整理得
假设
，则
，所以
，
又
，所以
，而
与
同号，
所以
与
同号，
与
矛盾，
所以假设不成立，所以
.
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