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第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
⾼⼀年级12 ⽉份⽉考试题
数学试卷
⼀、单选题.
1. 已知集合
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
2. 下列选项中表示同⼀函数的是（
）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
3. ⾼考结束后，为了分析该校⾼三年级1000 名学⽣的⾼考成绩，从中随机抽取了100 名学⽣的成绩，就这
个问题来说，下列说法中正确的是（
）
A. 100 名学⽣是个体
B. 样本容量
100
C. 每名学⽣的成绩是所抽取的⼀个样本
D. 1000 名学⽣是样本
4. 已知幂函数
在区间
上单调递增，则函数
图
象过定点（
）
A.
B.
C.
D.
5. 函数
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
6. 已知函数
，则（
）
A.
偶函数，且在
上单调递减
第2⻚/共4⻚
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B.
是奇函数，且在
上单调递减
C.
是奇函数，且在
上单调递增
D.
是⾮奇⾮偶函数，且在
上单调递减
7. 已知函数
，则不等式
的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
8. 若定义在
奇函数f(x)在
单调递减，且f(2)=0，则满⾜
的x 的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
⼆、多选题
9. 下列命题为假命题的是（
）
A. 命题“
”的否定是“
”
B. “
”是“
”的充分必要条件
C. ⼆次函数
的零点为
和
D. “
”是“
”的必要不充分条件
10. 已知函数
，若关于x 的⽅程
恰有4 个不同的实数根
，且
，则下列说法正确的是（
）
A.
的单调递增区间为
B. m 的取值范围是
C.
D.
的取值范围是
11. 已知定义在
上的偶函数
满⾜
，则下列说法正确的是（
）
A.
图象关于
中⼼对称
B.
C.
为偶函数
第3⻚/共4⻚
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D.
为奇函数
三、填空题.
12. 现利⽤随机数表发从编号为
的20 ⽀⽔笔中随机选取6 ⽀，选取⽅法是从下列随机数
表第1 ⾏的第9 个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6 ⽀⽔笔的编号为______．
13. 已知函数
，若此函数的定义域为
，则实数
的取值范围是_____；若此函
数的值域为
，则实数
的取值范围是_____．
14. 已知函数
为
上的单调函数，则实数a 的取值范围是_______.
四、解答题
15. 已知集合
、集合
（
）.
（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）设命题
：
；命题
：
，若命题
是命题
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
16. 已知
，函数
是奇函数，
.
（1）求实数
的值；
（2）若
，使得
，求实数
的取值范围.
17. 已知函数
，
.
（1）求函数
的值域；
（2）若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围.
18. 函数
对任意的实数
，都有
，且当
时，
．
（1）求
的值；
（2）求证：
是
上的增函数；
（3）若对任意的实数x，不等式
都成⽴，求实数t 的取值范围．
19. 已知函数
为偶函数．
（1）求实数
的值；
第4⻚/共4⻚
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（2）解关于
的不等式
；
（3）设
，若函数
与
图象有
个公共点，求实数
的取值范围．
第1⻚/共16⻚
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⾼⼀年级12 ⽉份⽉考试题
数学试卷
⼀、单选题.
1 已知集合
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合
的定义求出
，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
故选：D
2. 下列选项中表示同⼀函数的是（
）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有⼀个不相同，函数即不是同⼀函数，
由此⼀⼀判断各选项，即得答案.
【详解】对于A，
的定义域为
，⽽
定义域为R，
故⼆者不是同⼀函数；
对于B，
的定义域为R，与
的定义域为
，
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故⼆者不是同⼀函数；
对于C，
与
对应关系不同，
故⼆者不是同⼀函数；
对于D，
与
的定义域以及对应关系、值域都
相同，
故⼆者为同⼀函数，
故选：D
3. ⾼考结束后，为了分析该校⾼三年级1000 名学⽣的⾼考成绩，从中随机抽取了100 名学⽣的成绩，就这
个问题来说，下列说法中正确的是（
）
A. 100 名学⽣是个体
B. 样本容量是100
C. 每名学⽣的成绩是所抽取的⼀个样本
D. 1000 名学⽣是样本
【答案】B
【解析】
【分析】根据有关的概念可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学⽣成绩，⽽不是学⽣，再结
合题中选项即可得到答案．
【详解】根据有关的概念并且结合题意可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学⽣成绩，⽽不
是学⽣，
根据选项可得选项A、D 表达的对象都是学⽣，⽽不是成绩，所以A、D 都错误．
C 每名学⽣的成绩是所抽取的⼀个样本也是错的，应是每名学⽣的成绩是⼀个个体．
B：样本的容量是100 正确．
故选: B．
4. 已知幂函数
在区间
上单调递增，则函数
的图
象过定点（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据幂函数的定义及单调性求出
，再结合指数函数的性质可得.
【详解】因为函数
为幂函数，
所以
，解得
或
，
⼜
为
为增函数，则
，
故
恒过定点
.
故选：C.
5. 函数
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复合函数以及对数函数、⼆次函数的性质分析可得
，可得a 的取值范围，即可得答
案．
【详解】设t=
，则y=
，
函数y=
为增函数，
若函数f（x）在
上为增函数，
则函数t=
在
上为增函数，且t=
＞0在
上恒成⽴，
即
，解可得
，
故选C.
【点睛】本题考查复合函数的单调性以及对数函数的性质，关键是掌握对数函数的性质，属于基础题．
6. 已知函数
，则（
）
A.
是偶函数，且在
上单调递减
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B.
是奇函数，且在
上单调递减
C.
是奇函数，且在
上单调递增
D.
是⾮奇⾮偶函数，且在
上单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的函数，利⽤奇偶性定义及单调函数的运算判断得解.
【详解】函数
的定义域为
，
，因此函数
是奇函数，
函数
分别是
上的减函数、增函数，
则函数
在
上单调递减.
故选：B
7. 已知函数
，则不等式
的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利⽤奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由解析式及对数函数、复合函数的单调性判断
的单
调性，应⽤奇偶性、单调性解不等式即可.
【详解】由解析式知，函数的定义域为
，
且
，
所以
在
上为奇函数，且为连续函数，
由
在
上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递增，
结合奇函数的对称性，
在
上单调递增，
由
，
第5⻚/共16⻚
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所以不等式的解集为
.
故选：B
8. 若定义在
的奇函数f(x)在
单调递减，且f(2)=0，则满⾜
的x 的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】⾸先根据函数奇偶性与单调性，得到函数
在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积⼤于等
于零，分类转化为对应⾃变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在
上的奇函数
在
上单调递减，且
，
所以
在
上也是单调递减，且
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以由
可得：
或
或
解得
或
，
所以满⾜
的
的取值范围是
，
故选：D.
【点睛】本题考查利⽤函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想⽅法，属中档题.
⼆、多选题
9. 下列命题为假命题的是（
）
A. 命题“
”的否定是“
”
B. “
”是“
”的充分必要条件
C. ⼆次函数
的零点为
和
D. “
”是“
”的必要不充分条件
【答案】ABC
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【解析】
【分析】根据命题的否定的定义判断A，根据充分性和必要性的概念判断BD，根据函数零点的定义解⽅程
判断C 即可.
【详解】选项A：命题“
”的否定是“
”，A 为假命题；
选项B：由基本不等式可知当
时，
，当且仅当
时等号成⽴，故充分性成⽴，
当
时，满⾜
，故必要性不成⽴，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，B 为假命题；
选项C：由
解得
或
，所以⼆次函数
的零点为
和
，C 为假命题；
选项D：若
，则
或
，充分性不成⽴，若
，则
，必要性成⽴，
所以“
”是“
”的必要不充分条件，D 为真命题，
故选：ABC
10. 已知函数
，若关于x 的⽅程
恰有4 个不同的实数根
，且
，则下列说法正确的是（
）
A.
的单调递增区间为
B. m 的取值范围是
C.
D.
的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】分析可得
在各段上的单调性，根据单调性的写法，可判断A 的正误；由题意可得
与
图象有4 个交点，作出图象，即可判断B 的正误；根据⼆次函数的对称性，可判断C 的正误，化
简计算，可得
，根据
的范围及⼆次函数的性质，可判断D 的正误.
【详解】当
时，
，函数单调递增，
当
时，
，函数单调递减，
当
时，
，
第7⻚/共16⻚
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因为函数
，
图象开⼝向下，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，且
.
选项A：
的单调递增区间为
，
，不能⽤“
” 连接，故A 错误；
选项B：因为关于
的⽅程
恰有4 个不同的实数根
，
所以
与
的图象有4 个交点，
作出
与
的图象，如图所示：
由图象可得，当
时，
与
图象有3 个交点，
当
时，
与
图象有3 个交点，
当
时，
与
图象有4 个交点，故B 正确；
选项C：根据⼆次函数的对称性可得，
关于
对称，
所以
，即
，故C 正确；
选项D：由图象可得，
，
，即
，
所以
，解得
，
所以
，
由图象可得
，所以
，
所以
故D 正确.
故选: BCD.
11. 已知定义在
上的偶函数
满⾜
，则下列说法正确的是（
）
A.
的图象关于
中⼼对称
第8⻚/共16⻚
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B.
C.
为偶函数
D.
奇函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和对称性逐⼀推理判断各选项即可.
【详解】对于A，由
可得
，故
的图象关于
中⼼对称，
即A 正确；
对于B，在
中，取
，
，解得
，
因
是
上的偶函数，故
，故B 正确；
对于C，因
是
上的偶函数，则
，
由
可得
，故有
，
假设
是偶函数，则
，故有
，
即
，也即
恒成⽴，⽽由题意此式并不⼀定恒成⽴，故假设不成⽴，即C 错误；
对于D，由
，故
为奇函数，D 正确.
故选：ABD.
三、填空题.
12. 现利⽤随机数表发从编号为
的20 ⽀⽔笔中随机选取6 ⽀，选取⽅法是从下列随机数
表第1 ⾏的第9 个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6 ⽀⽔笔的编号为______．
【答案】18
【解析】
【分析】根据随机数表法的读取规则，即可求解.
【详解】依次选出的编号为：
则选出来的第6 ⽀⽔笔的编号为18，
故答案为：
.
第9⻚/共16⻚
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13. 已知函数
，若此函数的定义域为
，则实数
的取值范围是_____；若此函
数的值域为
，则实数
的取值范围是_____．
【答案】
①.
②.
【解析】
【分析】由函数的定义域为
，可得
恒成⽴，然后分
和
两种情况求解，⽽当
函数的值域为
时，可得
能取到所有的正数，从⽽可求出实数
的取值范围
【详解】若函数的定义域为R，即
恒成⽴，
当
时，1>0 恒成⽴，
当
时，
，解得
，
综上为
，即实数
取值范围是为
，
若函数的值域为R，那么需满⾜
能取到所有的正数，
所以
，即
，解得
，即实数
的取值范围为
，
故答案为：
，
，
14. 已知函数
为
上的单调函数，则实数a 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论
的单调性，利⽤⼆次函数与指数函数的单调性，结合分段函数的单调性得到关于
的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为
，
若
在
上单调递增，则有
，解得
；
若
在
上单调递减，则对于
，有
，
第10⻚/共16⻚
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当
时，
单调递减，
则要使得
单调递减，则
，即
，⽭盾；
综上，
，即实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
四、解答题
15. 已知集合
、集合
（
）.
（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）设命题
：
；命题
：
，若命题
是命题
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分
、
讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分
、
讨论，即可求解
【⼩问1 详解】
由题意可知
，
⼜
，当
时，
，解得
，
当
时，
，
或
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围为
；
【⼩问2 详解】
∵命题
是命题
的必要不充分条件，∴集合
是集合
的真⼦集，
当
时，
，解得
，
当
时，
（等号不能同时成⽴），解得
，
综上所述，实数
的取值范围为
.
第11⻚/共16⻚
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16. 已知
，函数
是奇函数，
.
（1）求实数
的值；
（2）若
，使得
，求实数
取值范围.
【答案】（1）3
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代⼊计算，然后检验，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为
，再由函数
的单调性可得
，
由⼆次函数的值域可得
，代⼊计算，即可得到结果.
【⼩问1 详解】
因为函数
是奇函数，所以
，
即
，即
，解得
，
因为
，所以
.
当
时，
，此时
的定义域为
，
关于原点对称，满⾜题意.
综上，
.
【⼩问2 详解】
由题意得，
，
由（1）知，
，
易得
在
上单调递增，故
.
，
当
时，
，所以
，
所以
，
第12⻚/共16⻚
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解得
，即实数
的取值范围为
.
17. 已知函数
，
.
（1）求函数
的值域；
（2）若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】（1）由题设有
，应⽤换元法，令
，将问题化为
求⼆次函数的值域；
（2）同（1）换元，问题化为
，
能成⽴，结合对勾函数性质求右侧最⼤值，即可得
范围.
【⼩问1 详解】
由
，
设
，则
，
当
时，取得最⼩值
；当
时，取得最⼤值
，
所以函数的值域为
.
【⼩问2 详解】
由
，
令
，则
⼜
，
能成⽴，
设
，函数在
上单调递减，在
上单调递增.
第13⻚/共16⻚
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⼜
，
，所以
，
由不等式
在
上有解，得
，
因此，
的取值范围是
.
18. 函数
对任意的实数
，都有
，且当
时，
．
（1）求
的值；
（2）求证：
是
上的增函数；
（3）若对任意的实数x，不等式
都成⽴，求实数t 的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明⻅解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题中条件，令
，即可求出结果；
（2）设
且
，取
，
，根据题中条件，作差⽐较
，根据单
调性的定义，即可证明结论成⽴；
（3）由（1）（2），将不等式化为
，求出
的最⼤值，即可得出结果.
【⼩问1 详解】
因为函数
对任意的实数a，b，都有
，
令
，则
，所以
；
【⼩问2 详解】
设
且
，取
，
，
则
，即
，
由于当
时，
，因为
，所以
，
即
，
由增函数的定义可知
是
上的增函数；
第14⻚/共16⻚
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【⼩问3 详解】
不等式
等价于
，
由（2）可知
是
上的增函数，
故
在
上恒成⽴，
下⾯求函数
的最⼤值：
令
，
，其对称轴为
，
故有：当
时，
函数
递增，函数
递增，故函数
递增；
当
时，函数
递增，函数
递减，故函数
递减；
因此，函数
在
时有最⼤值
，即所求范围为
.
【点睛】⽅法点睛：
定义法判定函数
在区间
上的单调性的⼀般步骤：
1. 取值：任取
，
，规定
，
2. 作差：计算
；
3. 定号：确定
的正负；
4. 得出结论：根据同增异减得出结论.
19. 已知函数
为偶函数．
（1）求实数
的值；
（2）解关于
的不等式
；
（3）设
，若函数
与
图象有
个公共点，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
第15⻚/共16⻚
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【分析】（1）根据偶函数的定义建⽴⽅程，解出即可；
（2）考查函数在
的单调性，根据条件转化不等式，解出即可；
（3）根据题意可知⽅程
有两个不同的根，化简⽅程后，列出条件，解出即可.
【⼩问1 详解】
函数的定义域为
，
因为函数
为偶函数．
所以
，
即
，
所以
，
所以
；
【⼩问2 详解】
因为
，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
上单调递增，⼜函数
为偶函数，
所以函数
在
上单调递减；
因为
，所以
，
解得
或
，
所以不等式的解集为
【⼩问3 详解】
因为函数
与
图象有
个公共点，
所以⽅程
有两个不同的根，
⽅程即为
，
第16⻚/共16⻚
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可化为
，
则有
，
，
设
，则
，
即
，
⼜
在
上单调递增，
所以⽅程
有两个不等的正根；
所以
，
解得
，
所以
的取值范围为
．
