文档内容
2025 年秋期六校第一次联考
高一年级数学试题
命题学校：南阳八中 审题学校：桐柏一高
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 已知集合 ， ，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集运算求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
故选：C
2. 已知函数 ，则 （ ）
A. 7 B. 14 C. 17 D. 20
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据自变量的取值范围，选择对应的函数表达式，代入进行计算即可.
【详解】因为函数 ，且 ，
所以 .
故选：B
3. 是真命题，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分 、 讨论，当 时结合二次函数的性质即可求出.
【详解】当 时， 成立；
当 时，则 且 ，得 ，
综上，a的取值范围是 .
故选：D
4. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】将 展开，利用基本不等式求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为4，
故选：A
5. 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数性质可得 ，再利用 计算即可得.
【详解】由 是定义在 上的奇函数，则 ，则 ，
则当 时， ，则 .
故选：D.
6. 已知 在 上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，即可由分段函数的单调性求解.
【详解】由于 在 上是增函数，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得： ，
故选：C
7. 已知函数 满足 ，且 ，则 的值
为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得函数 的周期为4，利用周期求解.
【详解】由 ，得 ，
两式相减得 ，即 ，
所以函数 的周期为4，又 ， ，所以 ，
因为 , ，
，
.
故选：B.
8. 已知 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数，分 ， ， 分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
当 时， ，不合题意；
当 时， ，
不等式 可得 ，解得 ，所以 ；
当 时， ，
所以不等式 等价于 ，即得 解得 ，
所以 .
综上可得 .
故选：A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列结论中正确的有（ ）
A. 的最小值是2
B. 的最小值是2
C. 已知 ，则 的最小值是3
D. 已知 ，且 ，则 的最小值是9
【答案】CD
【解析】
【分析】利用基本不等式逐一分析选项即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，当 时， ，
当且仅当 时取等号；
当 时， ，当且仅当 时取等号；
所以 无最小值；故A错误；
对于B，由于 ，则 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
又 ，故B不正确；
对于C，由于 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值是3，则C正确；
对于D，由于 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 ，且 ，则 的最小值是9，故D正确.
故选：CD
10. 不等式 解集为 ，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 不等式 的解集是
D. 不等式 的解集是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集性质，再结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】因 为解集为 ，
所以有 ，显然选项AB说法正确；
，则 ，
即 ，解得 ，选项C错误；
，则 ，
即 ，解得 ，选项D正确，
故选：ABD
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学科网（北京）股份有限公司11. 不等式 对 都成立，则下列数值可以为 的值的是（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】AB
【解析】
【分析】分离参数得 ，结合基本不等式求解即可.
【详解】原不等式等价于 对 都成立，
当 时，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 时， 的最小值为 ，
故实数 的取值范围为 ，
故AB满足题意，CD不满足题意.
故选：AB
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知 ，则 ________
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意， 为该集合元素，只需要使得 等于集合中的某一元素，进行计算即可.
【详解】①当 时， ， ，不符合集合元素的互异性，所以 舍去；
②当 时，即 时， ，此时集合为 ，符合题意；
③当 时，即 （舍去）或 ，所以 ， ， ，此时集合为 ，
符合题意.
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学科网（北京）股份有限公司所以， 或 .
故答案为： 或 .
13. 已知 ，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】令 ，换元法化简即可求出.
【详解】令 ，则 ，则 ，
故 .
故答案 ：为
14. 已知幂函数f(x)的图象经过点 ，则不等式 的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】设幂函数为 ，代入 可得 ，
即 ，解得 ，所以 ，
由函数 在 上单调递增，得 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
15. 已知集合 ，集合 .
（1）若 ，求 ;
（2）若 ，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合 ，根据并集运算求解；
（2）由 等价于 ，列出不等式求解.
【小问1详解】
当 时， ，又 ，
.
【小问2详解】
因为 等价于 ，
当 时，即 ，即 ，满足题意；
当 时，则 ，解得 ；
综上， 的取值范围为 .
16. 如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成．（接头处不计）
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学科网（北京）股份有限公司（1）现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
（2）若使每间禽舍面积为12 ，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长
最小？
【答案】（1）每间禽舍的宽 ，长 时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为 ；
（2）每间禽舍的宽 ，长 时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为 .
【解析】
【分析】（1）设每间长方形禽舍宽为 ，长为 ，由题意得 ， ，每间禽舍面积
为 ，再利用基本不等式即可求出面积 的最大值以及此时 的值；
（2）先由题意得 ，钢筋网总长为 ，再利用基本不等式即可求出 的最
小值以及此时 的值.
【小问1详解】
设每间长方形禽舍宽为 ，长为 ，
由题得 ， ，
设每间禽舍面积为 ，则 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以每间禽舍的宽 ，长 时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为 .
【
小问2详解】
由题意可得 ，
设钢筋网总长为 ，则 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以每间禽舍的宽 ,长 时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为 .
17. 已知集合
（1）若 ，集合 ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数
的取值范围；
（2）若 ，且关于 不的等式 的解集为 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由“ ”是“ ”的充分不必要条件，可得 是 的真子集，从而可得出答案；
（2）由题意可得不等式 的解集为 ，则方程 的根为 ，
再利用韦达定理求出 ，再分 和 两种情况讨论即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司若 ， ，
，
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以 是 的真子集，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 ；
【小问2详解】
因为 ，
所以不等式 的解集为 ，
所以方程 的根为 ，
由韦达定理得 ，所以 ，
则不等式 即为 的解集为 ，
当 时， 恒不成立，所以 符合题意；
当 时，则 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
18. 已知 是定义在 上的函数，且满足 ，又当 时， .
（1）判断 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断 的单调性，并证明；
（3）若 ，解不等式
【答案】（1） 为奇函数，证明见解析；
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学科网（北京）股份有限公司（2）函数 在 上单调递减，证明见解析；
（3） .
【解析】
【分析】（1）令 ，求出 ，然后令 ，即可得到 的关系，即可得到函
数的奇偶性；
（2）令 ，即可得到 ，结合题意得到 的正负，即可得到函数的单调性；
（3）由题意求得 ，再由题中关系式得到不等式 ，结合（2）中结论得到二次不
等式，即可解得 的范围.
【小问1详解】
令 ，则 ，解得 ，
令 ，即 ，则 ，
所以 为奇函数.
【小问2详解】
令 ，则
∵ ，
∴ ，
∵当 时， ，
即 ，
∴函数 在 上单调递减.
【小问3详解】
由 ，
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学科网（北京）股份有限公司由题设 ，即 ，
由（2）可知 ，即 ，得 ，
∴ .
19. 已知一元二次函数 满足 .
（1）求 的解析式；
（2）若 在区间 上单调，求 取的值范围；
（3）若 是 在区间 上的最小值，求 的表达式.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）易得函数 的对称轴为 ，设 ，再利用待定系数法求解
即可；
（2）根据二次函数的对称性和单调性求解即可；
（3）分 ， 和 三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为 ，所以函数 的对称轴为 ，
设 ，
由 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，解得 ，
所以 ；
【小问2详解】
由（1）得函数 的对称轴为 ，
因为 在区间 上单调，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 ；
【小问3详解】
函数 的对称轴为 ，且图象开口向上，
当 时， 在 上单调递增，
则 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以 ；
当 ，即 时，
，
综上所述， .
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