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湖天中学 2024 级高一入学考试试卷
数学
时量：70分钟 满分：100分
一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
1. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举反例可判断A；利用指数的运算性质可判断BC；根据完全平方关系可判断D.
【详解】对于A，当 时， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：C.
2. 下列不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式组，再进行判断即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 .
故选：A
3. 如果 ，则 的值是（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用完全平方公式展开做差可得答案.
【详解】 ，
，
得 ，
可得 .
故选：B.
4. 已知点 都在抛物线 上，则 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将横坐标代入计算出 的值即可比较出它们的大小.
【详解】根据题意可知 ；
；
；
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学科网（北京）股份有限公司显然 ，即 ；
故选：C
5. 已知关于 的一元二次方程 中， 为实数，则该方程解的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】判断 的符号，进而判断根的个数.
【详解】因为 ，
所以关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根.
故选：B
6. 满足 的 的个数为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 多于3个
【答案】D
【解析】
【分析】分 、 、 讨论去绝对值可得答案.
【详解】当 时，方程化简为 ，得 （不符合题意的解要舍去），
当 时， ， 有无数个；
当 时，方程化简为 ，解得 ；
.
综上所述： 有无数个
故选：D.
7. 已知关于 的不等式 的解也是不等式 的解，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 以上都不正确
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先解不等式可得 ，然后结合条件可得 ，且 ，即可得出答案.
【详解】由 ，解得 ，对于不等式 ，
若 ，则不等式 的解集为 ，若 ，则不等式 的解集为 ，
又不等式 的解也是不等式 的解，
所以 ，且 ，
所以 .
故选：C.
8. 在 上定义运算“ ”： ，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式 ，然后直接求解一元二次不等式就可以得
到正确答案
【详解】根据给出在R上定义运算 ，
由 得 ，解之得 ，
故该不等式的解集是 ．
故选：B
二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.
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学科网（北京）股份有限公司9. 使式子 有意义的 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数非负和分式的分母不能为0，求得 的取值范围.
【详解】要使式子有意义，须有 .
故答案为：
10. 分解因式： ___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据十字相乘法和提公因式法因式分解即可.
【详解】
.
故答案为： .
11. 方程 的两根为 ，且 ，则 ____________.
【答案】-3
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求得答案.
【详解】∵方程 的两根为 ，
∴ ，，
由题意得： ； ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，∴ ， ，故 ，
故答案为：-3.
12. 将4张长为 、宽为 的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为 的正方形，图中空白
部分的面积之和为 ，阴影部分的面积之和为 ，若 ，则 的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可知内层正方形的边长为 ，可得 ， ，结合题意列式求解即可.
【详解】由题意可知：内层正方形的边长为 ，
则空白部分的面积之和为 ，
阴影部分的面积之和为 ，
若 ，即 ，
整理可得 ，解得 或 ，
且 ，可知 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：3.
三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文子说明､证明过程或演算步骤.
13. 计算；
（1）
（2）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数运算、根式运算、三角函数等知识求得正确答案.
.
（2）化简代数式，进而求得正确答案
【小问1详解】
原式 .
【小问2详解】
原式 ，
当 时，原式 .
14. 河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作 、
、 、 ，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2.
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学科网（北京）股份有限公司（1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
（2）请把图2的条形统计图补充完整.
（3）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学
校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率.
【答案】（1）15件；
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据B班有5件作品，且对应的圆心角为 求解；
的
（2）结合（1）根据总件数和A，B，D班 件数求解；
（3）利用古典概型的概率求解.
【小问1详解】
解： （件），
即田老师抽查的四个班级共征集到作品15件；
【小问2详解】
C班级的作品数为： （件），
把图2的条形统计图补充完整如下：
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概
率.
不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下：
共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种，
∴恰好抽中一名男生、两名女生的概率为 .
15. 如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于 两点.
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线 交 轴于点C，点 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形 是平行
四边形，求点 的坐标.
【答案】（1）反比例函数： ；一次函数：
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学科网（北京）股份有限公司（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据 在反比例函数 上，可求 的值，在根据
在一次函数 上，可求 .
（2）根据四边形 是平行四边形，可确定 坐标的关系，再根据 在反比例函数的图象上，
可求 的坐标.
【小问1详解】
因为 过点 ，所以 ，所以反比例函数的关系式为： .
因为点 在 上，所以 .
由 ，所以一次函数的关系式为： .
【小问2详解】
如图：
令 ，则 ，所以 点坐标 为.
因为点 在一次函数 上，可设 点坐标为 ，又四边形 为平行四边形，所以
点坐标为 .
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学科网（北京）股份有限公司又 在 上，所以 ，所以 点坐标为 或 .
16. 函数 （ 为常数， ）.
（1）求出此函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）当 时，此函数图象交 轴于点A，B（点A在点B的左侧），交 轴于点C，点P为 轴下方
图象上一点，过点P作 轴交线段BC于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）点 ， ，连接MN，当此函数图象与线段MN恰有两个公共点时，求出
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线方程直接求解即可，
（2）由二次函数解析求出 三点的坐标，则可求出直线 的方程，设 ，则
，然后表示出 ，化简后利用二次函数的性质可求出其最大值，
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学科网（北京）股份有限公司（3）由题意可得 轴，然后分 和 两种情况分析讨论即可
【小问1详解】
为常数， ，
函数图象的顶点坐标为 .
【小问2详解】
当 时， ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，
即 ，解得 或 ，
点 在点 的左侧， ，
设直线 表达式为 ，则 ，
解得
，
点 为 轴下方图象上一点，过点 作 轴交线段 于点 ，设 ，则
，其中 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
二次函数图象开口向下，当 时，函数有最大值为 ，
的最大值为 .
【小问3详解】
点 纵坐标相等，
连接 后， 轴，
根据题意，分两种情况：
①当 时，抛物线开口向上，
∴ ，解得 ，
函数图象与线段 恰有两个公共点
∴ 有两个不相等的实数根，
即 有两个不相等的实数根，
，
，则 ，即 ，
此种情况不存在.
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学科网（北京）股份有限公司②当 时，抛物线开口向下，
∴ ，解得 ，
函数图象与线段 恰有两个公共点，
∴ 有两个不相等的实数根，
即 有两个不相等的实数根，
，
，则 ，即 ，
综上所述，当此函数图象与线段 恰有两个公共点时， 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的综合问题，考查二次函数最值的求法，第（3）问解题的关键是
表示出线段 的方程与抛物线方程联立，化简后再利用判别式大于零可求得结果，考查计算能力，属于
较难题.
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学科网（北京）股份有限公司第15页/共15页
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