文档内容
2025-2026 学年度（上）七校协作体高一联考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
命题校：丹东四中
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知命题p： ， ，则命题p的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可.
【详解】命题p： ， ，则命题p的否定为 ， ,
故选：D.
2. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集补集运算即可求解.
【详解】 ， ，
.
故选：A.
第1页/共17页
学科网（北京）股份有限公司3. 设 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出 的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】 等价于 ，故 推不出 ；
由 能推出 ．
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据由⇒p，q成⇒立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个
方法特别适合以否定形式给出的问题．
4. 不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的求解方法求解即可.
【详解】不等式可化为 ，即 ，等价于 ，
第2页/共17页
学科网（北京）股份有限公司解得 ，解集为 .
故选：B.
5. 已知 ，下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对AB，举反例说明；对CD，利用不等式的性质求解判断.
【详解】对于A，取 ，则 ，故A错误；
对于B，取 ，则 ， ，所以 ，故B错误；
对于C， ， ，故C错误；
.
对于D， ， ，故 ，故D正确
故选：D.
6. 已知 ，当 时， 取得最小值为b，则 （ ）
A. B. 2 C. 3 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】变形后根据基本不等式求出 ，并得到等号成立的条件，得到答案.
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，
第3页/共17页
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ， .
故选：C
7. 集合 ，若 ，则 （ ）
A. B. 3或 C. 3 D. 3或 或5
【答案】A
【解析】
【分析】由 得 ，分类讨论：当 时， ，经验证不合题意，当 时，
得 或 ，经验证 符合题意.
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， ，此时 ， ， ，不合题意，
当 时， 或 ，
当 时， ， ，符合题意，
当 时， 不满足元素的互异性.
综上所述： .
故选：A.
【点睛】本题考查了由集合的交集求参数，考查了分类讨论思想，考查了集合中元素的互异性，属于基础
题.
8. 已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数m的取值范围为（
）
A. B.
第4页/共17页
学科网（北京）股份有限公司C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据基本不等式得到 ，结合题意得到 ，即 ，
再解不等式即可.
【详解】 ，当且仅当 时等号成立，
解得 ，即 .
因为不等式 恒成立，
所以 ，即 ，解得 .
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如果集合 只有一个元素，则 的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】AC
【解析】
【分析】分 和 两种情况进行讨论.
【详解】集合 只有一个元素，
所以方程 只有一个实数解.
若 ，方程 只有一解；
若 ，方程 只有一个实数解，所以 .
故选：AC
第5页/共17页
学科网（北京）股份有限公司10. 若不等式 的解集是 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 且 B.
.
C D. 对任意 恒成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式 的解集是 ，可得 且方程 的根为
，再结合韦达定理求出 的关系，再逐一判断即可.
【详解】因为不等式 的解集是 ，
所以 且方程 的根为 ，
则 ，所以 ，故A正确；
则 ，故B正确；
则 ，故C错误；
对于D，因为 ，
所以对任意 恒成立，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知 ， ，且 ，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为2 D. 的最大值为8
第6页/共17页
学科网（北京）股份有限公司【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，
两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到 ，D错
误.
【详解】A选项，因为 ，由基本不等式得 ，
即 ，故A错误；
B选项，因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 ，B正确；
C选项， 两边平方得 ，
，其中 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ，解得 ，
的最小值为2，C正确；
D选项，因为 ， ，
所以 ，
第7页/共17页
学科网（北京）股份有限公司故D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 用列举法表示集合 ______．
【答案】
【解析】
【分析】找到6的正因数，结合列举法即可得出结果.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，则 ，故 或7，所以
．
故答案为： .
13. 牛栏山一中高一年级某班有学生 人，其中音乐爱好者 人，体育爱好者 人，还有 人既不爱好
体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人．
【答案】
【解析】
【分析】运用集合间关系即可得出结果.
【详解】
由题意作出Venn图，从而求解人数，
设这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有 人，
则可得， ，解得， ，
第8页/共17页
学科网（北京）股份有限公司即这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有 人，
故答案为： .
14. 已知 ，且满足 ，则 的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】对原式变形后可得 ，令 ，待求式转化为 ，
由基本不等式求最值即可.
【详解】由 可得 ，即 ，
令 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故答案为：1
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合 ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
第9页/共17页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据集合的交集运算求解；
（2）分 和 讨论，根据子集关系求解出 的取值范围.
【小问1详解】
， ，
.
【小问2详解】
当 时， ，解得： ，满足题意；
当 时， ，解得 ，由（1）知 ，
，画出数轴图，
，解得 .
综上，实数 的取值范围是 .
16. 已知关于 的方程 有两个不相等的实根 .
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的取值范围.
第10页/共17页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
的
【分析】（1）根据已知求出 范围，然后根据韦达定理结合已知得出关于 的方程，求解即可得出答案；
（2） ，代入韦达定理得出关于 的二次函数，结合 的范围，即可得出答案.
【小问1详解】
由已知可得， ，所以 .
由韦达定理可得， .
因为 ，
所以有 ，即 ，
整理可得 ，
解得 （舍去）或 ，
所以， .
【小问2详解】
由（1）知， ， ，
则 .
因为 ，所以 ，
所以， 的取值范围是 .
第11页/共17页
学科网（北京）股份有限公司17. 设集合 ．
（1）若 ，求 ；
的
（2）若“ ”是“ ” 充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1） 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）求解二次不等式，得到集合 ，根据集合并集运算法则计算即可；
（2）由题可知 ，列出不等式进行计算即可．
【小问1详解】
当 时， 或 ；
∵ ，
∴ 或 ；
【小问2详解】
∵“ ”是“ ”的充分条件，∴ ，
∵ ，即 ，
∴ 或 ，∴ 或 ，
而 ，要使得 ，
需有 或 ，
∴ 或 ．
第12页/共17页
学科网（北京）股份有限公司18. 已知集合 ， ．
（1）若 ，且 ，求实数 及 的值；
（2）在（1）的条件下，若关于 的不等式组 没有实数解，求实数 的取值范围；
（3）若 ，且关于 的不等式； 的解集为 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）本题首先可通过求解 得出 或 ，然后根据 、
得出集合 ，最后根据 和 是方程 的解即可
得出结果；
（2）本题首先可结合（1）将 转化为 ，然后根据 没有实数解即
可得出结果；
（3）本题首先可根据 求出 、 ，然后分为 、 两种情况对
进行讨论，即可得出结果.
【详解】（1）因为 ，即 ，解得 或 ，
所以集合 或 ，
因为 ， ，所以集合 ，
因为集合 ，
第13页/共17页
学科网（北京）股份有限公司所以 和 是方程 的解，
则 ，解得 ， .
（2）因为 ， ，
所以 ，即 ，解得 ，
故不等式组 没有实数解即 没有实数解，
故 ，实数 的取值范围为 .
（3）因为 ，所以 和 是方程 的解，
则 ，解得 ， ，
即 ，
因为 的解集为 ，
所以若 ，则 ，解得 ，
若 ， 即 ，解集为 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查集合与一元二次不等式的性质的综合应用，考查根据交集、并集的相关性质求集合，考
查一元二次不等式的解法，考查推理能力与计算能力，考查函数方程思想，体现了综合性，是难题.
19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定
的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多
第14页/共17页
学科网（北京）股份有限公司关于基本不等式的问题．例如此题：已知 为正实数，且 ，则 的最小值为_____．
其解法如下： ，当且仅当 ，即 时，等号
成立，因此 的最小值为3.
根据上述材料解决以下问题．
（1）已知 为正实数，且 ，求证： ；
（2）已知 ，且 ，则 的最小值是多少?
（3）某同学在解决题目“已知 为正实数， 为非负实数，且 ，则 的最小值是多
少?”时，给出如下解法：
令 ，则 化为 ．
原式
当且仅当 ，即 ，即 ， 时，等号
成立．
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知 ，则 的最大值
是多少?
【答案】（1）证明见解析
（2）
第15页/共17页
学科网（北京）股份有限公司（3）
【解析】
【分析】（1）将 化为 ，再应用基本不等式即可证结论；
（2）将 化为 ，再应用基本不等式求最小值；
（3）将 化为 ，再应用换元法及基本不等式求最大值.
【小问1详解】
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，得证．
【小问2详解】
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
则 的最小值是
【小问3详解】
，
令 ，原式 ，令 ，
第16页/共17页
学科网（北京）股份有限公司原式 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立．
所以 的最大值为
第17页/共17页
学科网（北京）股份有限公司
