文档内容
辽西重点高中 2025~2026 学年度上学期高一期中考试
数学试题
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，若 , 则a的值是 （ ）
A. 1 B. C. 1或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由 和 分类讨论即可求解.
【详解】由 得 ,
又 ，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，
则 或 ，解得 或 ，
所以a的值是 或 ，
故选：D
2. 若“ ”是假命题，则 的取值范围为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可.
【详解】 是假命题，那么它的否定 是真命题，
当 时， 恒成立；
当 时，对任意 ， 恒成立，则开口向上且判别式 ，即
，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 .
故选： .
3. 已知方程 的两个实根为 ，若 ，则 （ ）
A. 4 B. C. 或 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用根与系数间的关系得到 ，再结合 ，即可求解.
【详解】因为方程 的两个实根为 ，
则 ， ，
所以 ，
整理得到 ，解得 或 ，
又由 ，得到 ，所以 ，
故选：B.
4. 当 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分 和 两种情况去掉绝对值符号结合不等式的解法讨论可得.
【详解】当 时， 恒成立，
当 即 时，不等式的解集为 或 ，
又当 时，关于 的不等式 恒成立，所以需满足 即 ；
当 即 时，不等式的解集为 或 ，
又当 时，关于 的不等式 恒成立，所以需满足 即 ；
当 时， ，而 恒成立，此
情况无解，
综上， 时， ； 时， ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B.
5. 定义在 上的函数 满足：对任意 ， 且 ， ，若 ，则不等
式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，判断函数 的单调性，根据函数单调性解不等式 ，可
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学科网（北京）股份有限公司得所求不等式的解集.
【详解】不妨设 ，因为 ，所以 ，
所以 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，
所以 的解集为 ，
所以 的解集为 .
故选：B
6. 已知 ．若对于 ，均有 成立，则实数m的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 将 成 立 转 化 成 恒 成 立 的 问 题 ， 构 造 函 数
，然后分类讨论，即可求出 的取值范围.
【详解】由题意，在 中，对称轴 ，函数在 上单调递减，在
上单调递增，
∵对于 ，均有 成立，
即对于 ，均有 恒成立，设
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学科网（北京）股份有限公司，则对称轴 ，函数在 上单调递减，在 上单调递增，
当 即 时，
函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递减，
， ，
，
当 ，即 时，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在 上单调递减，
， ，
，
当 ，即 时， ，
函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递减，
， ，
，故不符题意，舍去.
当 即 时，
函数 在 上单调递增， ，
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学科网（北京）股份有限公司函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，
当 即 时，
函数 在 上单调递增， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
此时， ，所以 符合题意.
当 时，
函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增，
， ，
此时， ，所以 符合题意.
综上，实数的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，关键在于熟练掌握二次函数不同区间的单调性，以及分类讨
论的思想，具有很强的综合性.
7. 已知函数 的定义域为 ，则说法错误的是（ ）
A.
B. 是奇函数
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学科网（北京）股份有限公司C. 若 ，则
D. 若当 时， 单调递减，则当 时，不等式 的解集
为
【答案】A
【解析】
【分析】利用赋值法，分别代入检验，可判断A、B、C的正误，根据函数的奇偶性和单调性，化简整理，
即可判断D的正误.
【详解】对于A，令 ，可得 ，所以 ，故A错误；
对于B，令 ， ，所以 ，
令 ， 时，可得 ，
所以 为奇函数，故B正确；
对于C，令 ，则 ，又 ， ，所以 ，
故C正确；
对于D，因为 是奇函数， ，所以由 得
，
则 ，又 ，所以 ，
又 在 上单调递减，则不等式等价于 ，解得 ，故D正确.
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知函数 在 上单调递增，且 ，记
，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 可得出 的对称轴为 ，又由函数 在 上单调递增，
可得 在 上单调递减，然后通过比较 大小从而可得 的
大小.
【详解】由题意知，函数 满足 ，
所以，函数 关于 对称；
因为函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，
又因为 ， ,
所以 ，即 .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“ ”的否定为“ ”
B. 设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
C. 设 ，若集合 与集合 相等，则 ，
D. 满足 的集合 有4个
【答案】AC
【解析】
【分析】由命题的否定判断A选项，由充分必要条件的定义判断B选项，由集合相等以及集合的互异性计
算得到结果判断C选项，由集合的子集写出满足要求的集合 判断D选项.
【详解】根据全称命题的否定形式知，命题“ ”的否定为“ ”，所以A正确；
可以推出 ，而 解得 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以B不正
确；
根据题意 或 ，当 时， ，不符合集合元素的互异性；
当 时， ， ，则 ，解得 （舍）或 ，
所以 ， ，所以C正确；
由题意，集合 包含集合 ，同时集合 又是集合 的真子集，
则所有符合条件的集合 为 ， ， ，共3个，所以D不正确；
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ,则 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司B. 已知 ,且 ,则 的最小值为
C. 已知 ,且 ,则 的最小值为
D. 若 ,则 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用“1的妙用”、配凑法、换元法等解决基本不等式问题.
【详解】对于A： ,当且仅当 时，即
时等号成立.故A正确.
对于B： ，所以 .
所以 ,当且仅当 时,
即 时等号成立.故B正确.
对于C：令 ,则 ,
,当且仅当 时，即 时，等号成立.故
C错误.
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学科网（北京）股份有限公司对于D： ,当且仅当
时取等号.故D正确.
故选：ABD
11. 设函数 的定义域为 ，满足 ，且 ，当 时，
，若 ，则以下正确的是（ ）
A. B. ，
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由两个等式可得函数周期，根据周期结合 求出a，然后利用赋值法可得b，再利
用周期即可求出 .
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
又
所以 ，所以 ，C正确；
因为 ，
所以 ，B不正确；
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学科网（北京）股份有限公司在 中，令 ，得 ， ，A正确；
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 ，
，D正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的取值范
围为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用必要不充分条件的定义求出范围.
【详解】由题知 ， ，
又因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，可得 ，
故答案为： .
13. 已知正数 满足 ，则 最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件得到 ，得到 ，利用基本不等式求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由条件得 ，则 ，
于是
，当且仅当 ，且 ，即 时取等号．
故答案为：
14. 关于x的方程 的解集中只含有一个元素，则 ______．
【答案】0或 或3
【解析】
【分析】由方程可知 且 ，把问题转化为 与 的交点个数问题，用数形结
合法求解．
【详解】 ，
当 时，方程可化为 ，
时，变形为 ，
即 ，
令 ， 且 ，
作出 图象，
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学科网（北京）股份有限公司只有 时，方程有一个根．
故答案为：0或 或3．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知集合 ，
（1）当 时，求 ;
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ; ; 或 ;
（2） 或 ，
【解析】
【分析】（1）利用交、并、补运算的定义求解即可；（2）分别讨论 和 不为空集两种情况，结合
集合关系求解即可.
【小问1详解】
当 时， ,
所以 ; ;
由于 或 ; 或 ;
所以 或 ;
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由于 或 ;因为 ，
,
当 则 ,解得： ,此时满足 ，
当 不为空集时，要使 ，则 ，或 ，解得： 或 ，
综上：实数 的取值范围为 或 ，
16. 已知关于 的方程 ， .
（1）当 时，若方程的两实数根为 与 ，求下列各式的值：
① ；② ；③ .
（2）若该方程有两个负实数根，求实数 的取值范围.
【答案】（1）① ；② ；③
（2）
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理依次求解各个式子即可；
的
（2）分别讨论两个负实数根相等和不相等 情况，结合二次函数图象可列出不等式组求解即得.
【小问1详解】
当 时， 的两根为 ， ， ，
① ；
② ；
③ .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司若两个负实数根相等，则 ，解得： ；
若两个负实数根不相等，则 ，解得： ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
17. 已知关于 的不等式 ， 为实数.
（1）若 ，求该不等式的解集；
（2）若该不等式对于任意实数 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；
（2）先对 分类，进而利用一元二次不等式的解集为全体实数来求解.
【小问1详解】
当 时，原不等式化为 ，
因式分解， ，解得 ，或 ，
所以该不等式的解集为 或 .
【小问2详解】
当 时，不等式化为 ，此式恒成立，符合题意；
当 时，由题意得 解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司综上， 的取值范围是 .
18. 已知函数 ．
（1）若关于 的不等式 的解集是 ，
①求 的值，
②是否存在实数 ，对任意 时，有 成立，若存在，求出 的取值范围；
若不存在，请说明理由．
（2）求关于 的不等式 的解集．
【答案】（1）① ；②存在， 的取值范围为
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）①由题意得 为方程 的根，且 ，进而结合韦达定理求解即可；
②转化题目为 对任意 成立，结合一次函数的性质求解即可；
（2）转化问题为解不等式 ，根据含参一元二次不等式的解法求解即可.
【小问1详解】
①由题意， 为方程 的根，且 ，
则 ，解得 ；
②存在实数 ，对任意 时，有 成立，
由①知， ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，则 ，
即 对任意 成立，
则 ，解得 ，
则 的取值范围为 .
【小问2详解】
由 ，则 ，
即 ，
当 时，不等式为 ，解得 ，即不等式的解集为 ；
当 时，不等式为 ，
令 ，得 或 ，
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为 .
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，不等式 解集为 ；
的
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
19. 定义 ．
（1）用解析式表示 ，并写出 的定义域：
（2）证明： ；
（3）设 ．若对任意 ，都存
在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，定义域为 ；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）按 的大小分类，得到 的解析式；
（2）按 的大小分类证明；
（3）令 ， ，由第（2）小问知：
，然后把题意转化为 都大于等于2，对任
意 恒成立，可得答案.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司设 ， .
令 得： ，
，
，解得 或 ，
由于 是开口向上的二次函数（二次项系数为正），
当 或 时， ，故 ；
当 时， ，故 .
因此， ，定义域为 .
【小问2详解】
证明：情况一：当 时，
等式右边 ；
情况二：当 时， ，
等式右边 .
综上，等式成立.
【小问3详解】
依题意知： 在 上的值域是 在 上的值域的子集，
由于 在 上单调递增，值域为 .
因此，只需满足对任意 ，有 .
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
令 ， ，
，
由（2）知： ，
要使 对任意 恒成立，
又 对任意 恒成立，
所以只需 对任意 恒成立，
易知：当 时，不成立；
当 时， ，
故 .
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学科网（北京）股份有限公司
