文档内容
秘密★启用前
2025-2026（上）10 月质量监测
高 一 数 学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由交集运算即可求解.
【详解】因为 ，
，
所以 ．
故选：D．
2. 设甲： ，乙： ，则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】易知充分性成立，举例说明可证明必要性不成立，结合充分、必要条件的概念即可下结论.
第1页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【详解】当 时， ；
令 ，满足 ，但 不成立.
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A.
3. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定，可得答案.
【详解】由全称命题的否定知原命题的否定为 ．
故选：C．
4. 已知变量 满足 则 的最小值是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：先作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示，设 ，则 相当于直线
的纵截距，要使 最小，则须直线 的纵截距最小，当直线 经过点
时，纵截距取得最小值，此时 ，选C.
第2页/共18页
学科网（北京）股份有限公司考点：线性规划.
5. 学校举办运动会时，高一（1）班有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，
有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同
时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛的人数是．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：只参加游泳比赛的人数：15-3-3=9（人）；
同时参加田径和球类比赛的人数：8+14-（28-9）=3（人）．
考点：排列、组合及简单计数问题
6. 设函数f（x）＝sin（ωx+φ）， ， ，若存在实数
φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意求出﹣4≤x≤4，结合正弦函数的性质可得 ，从而可求出ω的取值范围.
【详解】解：∵f′（x）＝0，∴f（x）是f（x）的最大值或最小值，
0 0
又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线y＝±1上，
第3页/共18页
学科网（北京）股份有限公司∴y＝±1代入 得， ，解得﹣4≤x≤4，
又存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，∴ ，且ω＞0，
解得 ，∴ω的取值范围是 ．
故选：B．
【点睛】关键点睛：
本题的关键是求出 的取值范围，再结合三角函数的性质列关于ω的不等式.
7. 在等腰梯形 中， ， ，P是底边 上的动点，则 的
最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可
求得最值.
【详解】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
因 ，易推得 ，则 ， ，
设 ，其中 ，则 ， ，
于是， ，
故当 时， 取得最小值为 .
为
故答案 ：D．
第4页/共18页
学科网（北京）股份有限公司8. 若函数 有两个零点，则整数a的值共有（ ）
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 17个
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出函数 在R有两个零点为 和 ，由a的范围求出符
合题意的整数a.
【详解】因为方程 在R上有且仅有一解 ，
所以要使函数 在R有两个零点,
只需 在R上有且仅有一个解,同时该解不能为 .
因为 在R上值域为(0,+∞），因此要满足 即 有解,只需a>0.
又因为 在R上单调递增,因此当a>0时, 在R上有且仅有一个解 .
因为 且a>0,所以整数a可以为1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中当a=3或a=9时, .
的
因此满足条件 a为1,2,4,5,6,7,8共7个.
故选：A
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列关系中正确的是（ ）
第5页/共18页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由数的相关概念判断各数与对应数集的关系.
【详解】由数的概念知： ， ， ， ，
所以B、D对，A、C错.
故选：BD
10. 已知 满足 且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的性质对各选项逐一判断即可.
为
【详解】因 满足 且 ，所以 ， ， 符号不确定，
选项A：因为 ， ，所以 ，选项A正确；
选项B：因为 ， ，所以 ， ，选项B正确；
选项C：因为 ， ，
当 时， ，所以 ；
第6页/共18页
学科网（北京）股份有限公司当 且 时， ，所以 ，选项C错误；
选项D：因为 ， ，所以 ， ，选项D正确；
故选：ABD
11. Cobb-Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为
，其中 是总产出， 是资本存量， 是劳动力，
是技术参数， 是资本和劳动的产出弹性.当 不变时，下列说法正确的是（ ）
A. 若 与 均变为原来的 倍，且 ，则 变为原来的 倍
B. 若 与 均变为原来的 倍，且 则 最少可变为原来的 倍
C. 若 与 均变为原来的 倍，且 ，则 最少可变为原来的 倍
D. 若 均不变，则函数 的增长速度越来越慢
【答案】ABD
【解析】
【分析】由 ，得 ，代入判断 A；利用基本不等式判断 B；利用
判断C；利用导函数的单调性判断D.
【详解】由题意可知， ，
当 时， ，故A对；
当 时， ，所以 ，
第7页/共18页
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时，取等号，故B对；
当 时，因为 ，所以
，
当且仅当 时，取等号，故C错；
若 均不变， 是 的函数，且 ，
因为 ，所以 是减函数，故D对；
故选：ABD.
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分）
12. 若集合 ， ，则 的最小值为____.
【答案】
【解析】
【分析】利用元素的互异性可得出 且 ，再利用二次函数的基本性质可求得 的最小
值.
【详解】因为 ，则 ，可知 且 ，则 ，从而 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立.
故 的最小值为 .
故答案为： .
第8页/共18页
学科网（北京）股份有限公司13. 已知不等式 的解集为 ，则函数 的单调递增区间为
________.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出 ，
的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间.
【详解】解：因为不等式 的解集为 ，
所以 和 为方程 的两根且 ，
所以 ，解得 ，
则 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
因为 的单调递增区间为 ， 在定义域上单调递增，
所以 的增区间为 （开闭均正确）.
故答案为： .
14. 为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为
的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建
造面积为 ，月租费为 万元；每间肉食水产店面的建造面积为 ，月租费为0.8万元．全部店面
的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．
②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店
第9页/共18页
学科网（北京）股份有限公司面月租费的90%，则 的最大值为_________万元．
【答案】 ①. 16 ②. 1
【解析】
【分析】
（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为 ，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个
数；
（2）平均每间店的收入 不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%建立不等式，根据不等式恒成
立求 的最大值即可.
【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为 ,
（1）由题意知， ，
化简得： ，
又 ，
所以 ，
解得： ，
共 种；
（2）由题意知 ，
，
，
，
，
即 的最大值为1万元，
故答案为：16；1
第10页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了不等式在实际问题中的应用，不等式的性质，属于难题.
四、解答题（本大题共5小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
15. 已知函数 的定义域为集合 ， .
（1）求集合 、 ；
（2）若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由根式性质求定义域得集合A，解一元二次不等式求解集得集合B.
（2）由题意有 ，根据（1）所得集合列不等式组求参数范围即可.
【小问1详解】
由根式性质知： ，解得 ，则 ，
由 且 ，解得 ，故 ；
【小问2详解】
∵ 是 成立的充分不必要条件，则 ，
∴ （等号不同时成立），解得 ，
的
∴实数m 取值范围为 ．
16. （1）求证：
（2）已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证： .
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
第11页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用两边平方的方法证得不等式成立.
（2）利用基本不等式证得等式成立.
【详解】（1）由于 ， ，
，所以 ，所以 .
（2）由于 ，所以
，
当且仅当 时等号成立.
【点睛】本小题主要考查不等式的证明，考查利用基本不等式证明不等式，属于基础题.
17. 国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v(美元)与其重量w(克拉)的平方成正比，且
一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.
（1）求v关于w的函数关系式；
（2）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
（3）把一颗钻石切割成两颗钻石，两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，若价值损失的百分率最大，
求价值损失百分率的最大值及此时m.n应满足的关系式.(价值损失的百分率=
×100%，在切割过程中重量损耗忽略不计)
【答案】（1）v=6000w2；（2）37.5%；（3）价值损失百分率的最大值为50%，此时m=n.
【解析】
【分析】
（1）由题设等量关系设出解析式，代入即可得解；
第12页/共18页
学科网（北京）股份有限公司（2）设钻石重量为 (克拉)，由价值损失百分率的公式代入即可得解；
（3）由价值损失百分率结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设 ，则 ，可得 ，所以 ；
（2）设钻石重量为 (克拉)，则原有价值为 (美元)，
现有价值为 (美元)，
所以价值损失的百分率 ；
（3）由题意，原有价值为 (美元)，现有价值为 (美元)，
则价值损失的百分率为：
，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
， ，
所以价值损失百分率的最大值为 ，此时 .
18. 已知不等式 的解集为 .
（1）求m，n的值；
（2）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）解关于x的不等式 .
【答案】（1） ；
第13页/共18页
学科网（北京）股份有限公司（2） ；
（3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系求出 .
（2）根据给定条件，分离参数并利用基本不等式求出最小值即可.
（3）由（1）的结论，解含参的一元二次不等式即得.
【小问1详解】
由不等式 的解集为 ，得 ，且 是方程 的两个实根，
则 ，解得 ，
所以 .
【小问2详解】
由不等式 在 上恒成立，得 在 上恒成立，
而 ，当且仅当 时取等号，显然 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
【小问3详解】
由（1）知，不等式 化为： ，即 ，
当 时， ，解得 ；
当 时，不等式为 ，解得 ；
当 时，不等式为 ，若 ，解得 或 ；
第14页/共18页
学科网（北京）股份有限公司若 ，解得 或 ；若 ，解得 或 ，
所以当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
19. 已知 为偶函数， 为奇函数，且满足 ．
（1）求 、 ；
（2）若方程 有解，求实数 的取值范围；
（3）若 ，且方程 有三个解，求实数 的取
值范围．
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）由已知得到 ，然后和已知等式列方程组求解；
（2）将方程 有解转化为 有解，利用基本不等式求 的最值即
可；
第15页/共18页
学科网（北京）股份有限公司（3）求出 的值域，并画出 的图像，令 ，将方程
有三个解转化为 有两个根 ，研究方程的根
的取值范围可得答案.
【小问1详解】
①，
，
又 为偶函数， 为奇函数，
②，
由①+②可得 ，
由②-①可得 ，
，
【小问2详解】
令 ，
则
由 得
即 ，
当 时，不成立，
当 时，
第16页/共18页
学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 时取等号，
故实数 的取值范围为 ；
【小问3详解】
，
令 ，则 ，
函数 的图像，如图：
方程 有三个解，
有两个根 ，
则 或 ， 或 ，
当 ， ，有 ， ，解得 ，满足题意；
当 时，有 ， ，解得 ，满足题意；
当 时，令 ，
第17页/共18页
学科网（北京）股份有限公司，解得
综合得实数 的取值范围为
第18页/共18页
学科网（北京）股份有限公司
