文档内容
高一期末质量监测
数学
本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题所给的四个选项中，有且只有
一项是符合题目要求的）
1. 样本数据 210，224，201，244 的第 50 百分位数为（ ）
A. 210 B. 217 C. 222 D. 224
【答案】B
【解析】
【分析】由百分位数的计算可得.
【详解】由题意可知第 50 百分位数即中位数，将样本数据从小到大排序为 201，210，224，244，
则样本数据的中位数为 .
故选：B.
2. 已知平面向量 ， ，设甲： ；乙： ，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量平行坐标运算可得 或 ，再由充分条件和必要条件定义判断即可.
【详解】若 ，则 ，解得 或 ，
因为 能推出 ，但 不一定能得 ，
第 1页/共 15页所以甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件.
故选：A.
3. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分式不等式的运算和二次根式的取值再结合集合的运算可得.
【详解】不等式即 ，即 ，由 知 ，
而 ，故 .
故选：C.
4. 设正数 a，b 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用 1 的代换及基本不等式计算即可.
【详解】由题意可得 ，
当且仅当 时，等号成立.
故选：D.
5. 已知函数 的定义域为 ，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
第 2页/共 15页【分析】由 的定义域可知不等式 在 上恒成立，令判别式小于 解出 的范围
即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以不等式 在 上恒成立，
所以 ，解得 ，
故选：A
6. 定义在 上的函数 满足 ，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设条件 ，将选项中涉及的自变量值代入分析即可.
【详解】对于 A，B 选项：将 10 和 0 分别代入 和 得： ，即 ，
因为 ，所以 ，故 A，B 错误.
对于 C，D 选项：将 20 和 0 分别代入 和 得： ，即 ，
因为 ，所以 ，故 C 错误，D 正确.
故选：D.
7. 某地开展志愿服务，小蓝，小黄等 人充当志愿者，现将他们均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的
概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排列组合的方法求出事件发生的个数，然后根据古典概型概率公式直接求解即可.
【详解】将他们 人均分成三组的方法种数有 ，
第 3页/共 15页小蓝和小黄不在同一组的方法种数有 ，
故小蓝和小黄不在同一组的概率 .
故选：D
8. 已知函数 ，当 时， ，当 时， ， ，则不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过对分段函数的讨论，求解不等式即可.
【详解】由题可知：当 时， ，故 在 时单调递减；
当 时， ， ，则函数 在 时只可能为常函数，
且常数等于 ，所以分段函数 ： ，
解不等式 ：
需分类讨论：
（1） 且 ，即 ，
此时： ， ，
不等式变为： 两边都是指数函数，底数 ，单调递增，
故可比较指数： ，
所以 ；
（2） 且 ，即 无解；
（3） 且 ，即 ,
, ,
第 4页/共 15页不等式： ，即 ，
所以 ；
（4） 且 ，即 ，
此时 ， ，函数值相等不符合题意；
综上可得：解集为 .
故选：D.
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题所给的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 设 是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于 A，假设 ，则 使得 ，
因为 不共线得 且 ，则 无解，
故 ， 不共线可作为一组基底；
对于 B，因为 ，所以 ，不能作为基底；
对于 C，因为 ，所以 ，不能作为基底；
对于 D，假设 ，则 使得 ，则因为 不共线
得 且 ，则 无解，故 和 不共线可作为一组基底.
故选:BC.
10. 设函数 ，则（ ）
第 5页/共 15页A. 函数 为奇函数
B. ，
C. ， ，
D. 区间 上存在 的零点
【答案】BD
【解析】
【分析】选项 A 判断函数是否为奇函数，只需判断 是否成立；选项 B 判断函数的
单调性，确定函数 ；选项 C 当 ， ， 所以函数 无下界，
故不存在 ；选项 D 根据零点存在性定理判断即可.
【详解】已知 ，则 ，
所以 为偶函数，故 A 错误；
当 时， ， 在 单调递减，
在 单调递增，所以 单调递减，
故 ，故 B 正确；
可得 在 上单调递减，
当 ， ， ，故 ， 则函数 无下界，
故不存在 ，使得对任意的 ，都满足 ，故 C 错误；
因为 ， ，所以 ，
由零点存在定理可知，区间 上存在 的零点，故 D 正确.
故选：BD.
11. 已知样本数据 ， ， 的方差为 6，则（ ）
第 6页/共 15页A. 该组样本数据的平均数无最值
B. 数据 ， ， 的方差为 9
C. 该组样本数据极差的最大值为 6
D. 该组样本数据极差的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由方差的性质可得 A；举反例可得 B；由基本不等式可得 CD.
【详解】设样本 的平均数为 ，方差为 ，
选项 A ：由方差的性质可得数据 ， ， 的方差和 的方差相同，由 具有任意性
可知该组样本数据的平均数无最值，故 A 正确；
选项 B：特值验证：取 （方差为 ），
新数据为 ，
新数据方差 .所以 B 错误；
选项 C ：不妨设 ，所以极差为 ，
由不等式 可得 ，
，
则 ，即 ，
当且仅当 时取等号，故 C 正确；
选项 D ：又 时，有 ，
由 可得 ，
所以 ，即 ，当 或 时取等号，故 D 正确.
故选： ACD.
第 7页/共 15页三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 设 A，B 为平面直角坐标系 xOy 内两点，若 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】本题首先运用向量的加法求出向量的坐标，根据向量模的公式求解.
【详解】由题意可得 ，故 .
故答案 ： .
13. 已知函数 ，则 的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】先确定 自身的定义域，再确定外层函数 对 的要求，联立两个条件，解出 的最终取
值范围.
【详解】 的定义域为 ，对于函数 ，其外层，内层函数均需符合定义域，
故 ，且 ，
解得 的定义域为 .
故答案为： .
14. 梯形 的两顶点 是直线 与曲线 的交点，顶点 在曲线 上，
是一条垂直于 轴的梯形底边， 轴，则梯形 的面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】通过对数性质建立等式求出交点坐标，再确定各点坐标，最后利用梯形面积公式求解.
【 详 解 】 因 为 ， 轴 ， 设 ， ，
， ，
第 8页/共 15页因为 ， 在直线 上，所以 ，
因为 轴，所以 ，
解得 ， ，
故 ， ， ， ，
所以梯形 的面积为 .
故答案为： .
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 12 月 2 日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有 600 名学生参加了交通安全知识测
评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 200 名学生，记录他们的分数，将数据分
成 4 组： ， ， ， ，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）从总体的 600 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 60 的概率；
（2）若样本中有一半男生的分数不小于 60，且样本中分数不小于 60 的男女生人数相等.试估计总体中男生
和女生人数的比例.
【答案】（1）0.4 （2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图确定样本中分数小于 60 的频率，从而得分数小于 60 的概率；
（2）根据频率分布直方图确定样本中分数不小于 60 的学生人数，结合分层抽样与样本估计总体，从而可
得总体中男生和女生人数的比例.
【小问 1 详解】
根据频率分布直方图可知，
第 9页/共 15页样本中分数小于 60 的频率为 ，
所以从总体的 600 名学生中随机抽取一人，其分数小于 60 的概率估计为 0.4.
【小问 2 详解】
由题意可知，样本中分数不小于 60 的学生人数为 ，
所以样本中分数不小于 60 的男生人数为 ，
因为样本中有一半男生的分数不小于 60，
所以样本中男生为 120 人，女生为 ，
所以样本中男生和女生人数的比例为 ，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数 比例为 .
16. 已知幂函数 的定义域为 .
（1）求 ；
（2）解不等式 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用幂函数的定义求解即可；
（2）利用函数的单调性解不等式即可.
【小问 1 详解】
因为函数 是幂函数，
所以 ，解得 或 ，
当 时 ，定义域为 ，符合题意，
当 时 ，定义域为 ，不符合题意，
故 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，所以 在 上单调递增，
第 10页/共 15页所以由 可得 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
17. 设函数 .
（1）证明：曲线 为中心对称图形；
（2）若 当且仅当 ，求 a 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，先证明 为奇函数，再由 得证；
（2）根据函数的连续性可得 ，求解后检验即可.
【小问 1 详解】
令 ，则 ， ，
则 ， 奇函数.
即 ，
故曲线 为关于点 对称的中心对称图形.
【小问 2 详解】
由题意及函数 的连续性可知，
，即 ，
检验，当 时， ，
满足 当且仅当 ，
故 .
第 11页/共 15页18. 如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按 或 这两个方向进行，且每次只能
走一步，若某点 可以表示为 （ 、 为自然数），则称 为鸿蒙点
（1）通过鸿蒙点 中 、 满足的关系，判断 是否为鸿蒙点，并说明理由；
（2）证明：若 是鸿蒙点，则 也是鸿蒙点；
（3）若某些鸿蒙点满足 ，求在所有满足条件的鸿蒙点中， 最小的点及此时 的值.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）证明见解析 （3） ， 的最小值为 50.
【解析】
【分析】（1）用向量的加法和向量的数乘运算可求得鸿蒙点满足 可以被 5 整除，代入点计算即可判断；
（2）构造 ，计算可得 ，即可证明结论；
（3）利用向量的坐标运算可得 ，设 ，可得 ，计算即可求解.
【小问 1 详解】
不是鸿蒙点，理由如下：
由 ，
得 ，即 ， .
即 ，所有鸿蒙点满足 可以被 5 整除，
代入点 ，有 不能被 5 整除，故 不是鸿蒙点；
【小问 2 详解】
由 为鸿蒙点可知， ，
构造： ，
第 12页/共 15页将 表达为 的形式，有 ，解得 ，
故 ，即仍为鸿蒙点；
【小问 3 详解】
由（1）可知 ，
故 ，令 ，即 ，
由 是整数可知， 可以被 3 整除，即 被 3 整除余 2，
不妨设 ， ，则有 ，
即 ，
为使 尽可能小，即要求 尽可能大，且 ，
解不等式有 ， 时，
， .此时点坐标为 ， 的最小值为 .
19. 已知函数 ， .
（1）当 时；
（i）求 的单调区间；
（ii）正数 m，n 满足 ， ，证明： .
（2）若 有 2 个零点，证明： .
【答案】（1）（i） 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ；（ii）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）（i）根据对数运算化简，再由函数单调的定义求函数单调区间（ii）利用基本不等式及函数单
调性证明即可；
（2） 有 2 个零点转化为 有两正解，即 有两正解，可得 ，再
第 13页/共 15页由基本不等式证明即可.
【小问 1 详解】
（i）此时 ，
显然其单调性与 相同，而 ，令 ，则 且 ，
所以 对应的函数为 ，
当 时，取 ，
，
故 在 上单调递减， 在 上单调递减，即 的单调递减区间为 ，
当 时，取 ， ，
故 在 上单调递增， 在 上单调递增，即 的单调递增区间为 .
（ii）注意到 ，
于是 ，可知 ，
由 知 ，
而 ，得 ，当且仅当 ， 时取等号.
于是结合单调性有 .
【小问 2 详解】
设 ，原题等价于 有两正解，即 有两正解，
注意到 ，由韦达定理知 ，即 ，
第 14页/共 15页而 ，可得 ，
而 ，当且仅当 时取等号，
故 ，可得
第 15页/共 15页
