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颐华学校 2025 级高一年级第一次大练习数学试卷
满分：150分 时量：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知全集 ， ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得 中的元素，再根据 ， ， ，即可求得结果.
【详解】全集 ，∴ ，
又∵ ，∴ ， ，∴集合 ．
故选：C.
2. 已知命题 ，若命题 是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由其否定为真命题，通过 求解即可；
【详解】因为命题 是假命题，
可得： 为真命题；
可得： ，
解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
3. 若 ，则 的值与 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差比较法即可判断两者大小.
【详解】由 ，
因 ，故 ，即得 .
故选：C.
4. 若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于（ ）
A. {1，2，3} B. {1，2}
C. {4，5} D. {1，2，3，4，5}
【答案】B
【解析】
【分析】先解一元二次不等式，再求交集即可.
【详解】集合A中(2x＋1)(x－3)<0，∴－ <x<3，又集合B中x∈N*且x≤5，则x＝1，2.
.
即A∩B={1，2}
故选：B.
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
5. 不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接解不等式得到答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，即 ，即 ，解得 .
故选：D.
6. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，再由充分不必要条件的定义可得答案.
【详解】由 ，解得 或 ，
由 ，解得 或 ，
由于 或 是 或 的真子集，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A.
7. 已知命题 ：“ ”，命题 ：“ ”．若两个命题中全称
量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案.
【详解】由题意知命题 ：“ ”为全称量词命题，是真命题，
故 ，可得 ；
结合题意知命题 ：“ ”为假命题，
则 ，即 无实数解，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，
综合上述a需满足 ，
可知实数 的取值范围是 ，
故选：A
8. 若 ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
的
【分析】利用基本不等式 换“1”法，进行计算化简，可得答案.
【
详解】∵ ， ， ，
，
，
当且仅当 时等号成立.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合 ， ， ，则关于集合A、B、C之间的关系，下列
说法正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据子集的定义，结合集合与元素之间的关系逐一判断即可.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以有 成立， 不成立， 成立， 不成立，
故选：AC
【点睛】关键点睛：本题的关键是判断出集合 中的元素是集合.
10. 已知 ，且 ，则（ ）
A. 的最大值是
B. 的最大值是
C. 的最小值是4
D. 的最小值是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可.
【详解】由均值不等式知： ，当且仅当 时，等号成立，选项A正确；
因为 ，故 ，当且仅当 时，等号成立，
即 最小值是 ，选项B错误；
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，选项C正确；
，故 ，
当且仅当 时等号成立，
即 的最大值为 ，选项D错误，
故选：AC．
11. 给定数集M，若对于任意 ，有 ，且 ，则称集合M为闭集合，则下列说
法中不正确的是（ ）
A. 集合 为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合 为闭集合
D. 若集合 ， 为闭集合，则 为闭集合
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先判断信息题型的做法，理解题，进一步利用信息做题，从而得到结果．
【详解】定数集 ，若对于任意 ， ，有 ，且 ，则称集合 为闭集合，
对于A：由于 ，但是 ，故集合 不为闭集合，故A错
误；
对于B：对于正整数集 ，有 ，但是 ，故B错误；
对于C：任取 ，则 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
故.集合 为闭集合，故C正确；
对于D：由C可得 为闭集合，同理 为闭集合，
所以 ，则有 ，但 ，则 不为
闭集合，故D错误；
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若 ，则符合条件的集合 有_____个．
【答案】
【解析】
【分析】由子集及真子集的概念，可转化为求集合 真子集的个数即可得解．
【详解】因为 ，所以 中含有元素 ，
故符合条件的集合 个数相当于求集合 的真子集个数，故有 个．
故答案为： .
13. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至少参加一个至多参加两个小组.已知
参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理
和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_________人.
【答案】8
【解析】
【分析】利用韦恩图，根据容斥原理，即可求解.
【详解】设集合 分别表示参加数学、物理、化学课外小组，
其中 分别表示集合每部分的人数，其中
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学科网（北京）股份有限公司，化简为
所以
所以同时参加数学和化学小组的有8人.
故答案为：8
14. 已知关于 的不等式 的解集为 ．若关于 的不等式
有且仅有6个整数解，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用三个二次关系计算参数，再含参解不等式，结合条件计算即可.
【详解】由不等式 的解集为 ，
得 ，且方程 的两实根分别为 和3，
则 ，得 ，
所以不等式 等价于 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
又 ，则 ，解得 ，
因为关于 的不等式 有且仅有6个整数解，
因此 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ，集合 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合数轴列式求解；
（2）结合数轴列式求解，注意对空集 的讨论.
【小问1详解】
因为 ，如图，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，所以 ，
即 的取值范围是 ；
【小问2详解】
当 时，符合题意，此时有 ，即 ；
当 时，如图
或
有 ①，或 ②，
解①得 ，解②得 ，所以此时 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
16. 已知命题 ：方程 有两个不等的负实根；命题 ：方程 无实根.
（1）若命题 为真，求实数 的取值范围；
（2）若命题 ， 中有且仅有一个为真一个为假，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二次函数的性质得出命题 为真时，实数 的取值范围，进而由命题 为真求解；
（2）由判别式得出 为真时，实数 的取值范围，再讨论 真 假或 假 真，得出实数 的取值范围.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司若方程 有两个不等的负根，则 ，解得 ；
因为命题 为真，所以实数 的取值范围为 .
【小问2详解】
若方程 无实根，则 ，解得 .
若 真 假时， ，解得 ；
若 假 真时， ，解得 .
综上，得 .
17. （1）已知 ，求 的最大值；
（2）已知 ，求 的最大值．
【答案】（1）1；（2） ．
【解析】
【分析】（1）先将 变形为 ，再利用基本不等式求解；
（2）先将 变形为 ，再利用基本不等式求解.
【详解】（1） ， ，
原式 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成立，故所求最大值为1．
（2） ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等号， 的最大值为 ．
18. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗
重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．
（1）写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式；
（2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当 时，价
值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率 100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，设出关系式 ，利用 克拉时
的价值 求得 的值，由此求得关系式；
（2）求得的关系式写出原有价值和现有价值，通过计算价值损失百分率，利用基本不等式可得答案.
【小问1详解】
由题意可设价值与重量的关系式为： ，
∵3克拉的价值是 美元，
∴ ，解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ；
【小问2详解】
若两颗钻石的重量为 克拉，则原有价值是 ，
现有价值是 ，
价值损失的百分率为
，
当且仅当 时取等号，
∴当 时，价值损失的百分率最大.
19. 设数集A由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 .
（1）若 ，试证明A中还有另外两个元素；
（2）集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由；
（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为 ，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求
集合A.
【答案】（1）证明见解析
（2）否，理由见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；
（2）根据条件求出元素间的规律即可；
.
（3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可
【小问1详解】
由题意，若 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
若 ，则 ，
所以集合A中还有另外两个元素 和 .
【小问2详解】
否，理由如下：
由题意，若 （ 且 ），则 ，
则 ，
若 ，则 ，
所以集合A中应包含 ， ， ，而 ，
所以集合 的元素个数为3的倍数，
故集合A不是只含有两个元素的集合.
【
小问3详解】
由（2）知， ，且集合 的元素个数为3的倍数，
因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，
所以集合 的元素个数为6，其中一个元素为 ，
由 结合已知条件可得， ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，
解得 或 或 ，
所以 .
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