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河南省信阳高级中学北湖校区
2025-2026 学年高一上期 09 月测试（二）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 给出下列关系：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的个数为（
）．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数集，有理数集，自然数集的概念得到结果即可.
【详解】 和 是正确的；①②正确；
因为 ，故③是错误的；因为 故④是错误的；
故⑤是错误的．
故选：B.
2. 已知集合 ，则下列结果错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分析集合A与集合B中元素的差异，即可得解.
【详解】因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 等价于 ，
所以集合 比集合 少一个元素 ，
所以 ， ， 正确， 错误.
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的描述法，集合的包含关系，并集，补集运算，属于中档题.
3. 已知集合 ，且 ，则满足条件的集合 的个数（ ）
A. 8 B. 9 C. 15 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】先求得集合 ，根据 ，结合集合子集个数的计算，即可求解.
【详解】由不等式 ，解得 ，即
又由 ，可得满足条件的集合 的个数为 .
故选：A.
.
4 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求集合 和 ，根据集合的交集运算即可求解.
【详解】 ， 解得 ，
．又 ，
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学科网（北京）股份有限公司．
故选:B．
5. 设集合 ，U为整数集， （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由整数可分成被3整除、被3除余1和被3除余2，再结合补、并运算即可求解.
【详解】因为整数集 ， ，
所以 ．
故选：A．
6. 已知命题 ，则 是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用含有量词的命题否定的方法进行求解，改变量词，否定结论.
【详解】因为命题 ，
所以 ： .
故选：D.
7. 已知 ，则“ 成立”是“ 成立”的（ ）条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法、绝对值的性质进行判断即可．
【详解】充分性：若 ，则 ，所以 ；
必要性：根据绝对值的性质：若 ，则 ，
若 ，且 ，则有 ．
所以“ 成立”是“ 成立”的充要条件．
故选：C．
8. 若正实数 ， 满足 ，且存在实数 ， 使不等式 成立，则实数
的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 结合基本不等式得到 ，解不等式 即得解.
【详解】由 得 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 或 （舍），
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司因为存在实数 ， 使不等式 成立，
所以 ，
所以 ，
所以 或 .
所以实数 的取值范围为 .
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选
项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ， ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】作差比较即可判断A的正误， 时即可判断B的正误，根据不等式的性质即可判断C的正误，
用 和 表示 即可判断D的正误．
【详解】 ， ，
， ，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司时， ，B错误；
， ，C正确；
，
且 ， ，
则 ，D正确．
故选： .
10. 给定集合 ，若对于任意 ， ，有 ，且 ，则称集合A为闭集合，以下结论正
确的是（ ）
A. 集合 为闭集合；
B. 集合 为闭集合；
C. 集合 为闭集合；
D. 若集合 为闭集合，则 为闭集合．
【答案】AC
【解析】
【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断 ,且 是否满足即可得到结论.
【详解】对于A：按照闭集合的定义， 故A正确;
对于B：当 时, .故 不是闭集合.故B错误;
对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故 是闭集合.故C正确;
对于D：假设 , .不妨取 ,但是,
,则 不是闭集合.故D错误.
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学科网（北京）股份有限公司故选：AC
11. 下列说法中正确的为（ ）
A. 已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
B. 若 ，则 的最小值为2
C. 若正实数 满足 ，则 的最小值为
D. 若位于第一象限的点 的坐标是方程 的一组解，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据必要不充分条件的意义即可判断；对于 B，利用基本不等式即可判断；对于C，由
已知可得 ，进而利用基本不等式即可判断；对于D选项，根据条件，得到 ，
从而有 ，再利用二次函数的性质，即可求解判断D.
【详解】对于A选项，当 时，由 ，得不出 ，
所以“ ”是“ ”不充分条件，
由 ，可得 ，所以 ，
所以“ ”是“ ” 必的要条件，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B选项， ，
当且仅当 时取“=”，但此时 在实数范围内无解，
故等号不成立，所以 的最小值不为2，故B错误；
对于C选项，因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，取“=”，
所以 的最小值为 ，故C正确；
对于D选项，由题得 ，故 ，故 ，
则 ，
又 ，所以当 时， 的最小值为 ，故D正确
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若 或 ，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据并集的运算进行求解即可.
【详解】由 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，
故答案为： .
13. 已知“ ，使得 ”是假命题，则实数的a取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得命题“ x∈R，使 ”是真命题，再利用二次函数的性质即得．
∀
【详解】∵“ ，使得 ”是假命题，
∴命题“ x∈R，使 ”是真命题，
∀
∴判别式 ，
∴ .
故答案为： ．
14. 已知实数a，b， ，设 ， ， 这三个数的最大值为 ，则 的最
小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先把 化成 ，再利
用基本不等式求其最小值，即可得到 的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得 ， ， ，
即有 ，
由 ，
可得 ，当且
仅当 ，即 时，取得最小值 ；
同理可得 在 时，取得最小值 ；
在 时，取得最小值 .
则 ，即 .可得M的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 .
（1）求 ；
（2）求
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由交集、并集运算即可求解；
（2）由交并补的混合运算即可求解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由条件可得： ；
【小问2详解】
或
所以 或
16. 已知集合 ．
（1）若 ，求 ;
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】 利用交集运算即可；
利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；
把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.
【小问1详解】
当 时， ，
所以 ；
【小问2详解】
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以由 ，得 ，
当 时， ，解得 ，满足题意；
当 时，则 ，解得 ，
综上， ，故实数 的取值范围为 ；
【小问3详解】
由 是 的充分不必要条件，可得 ，
又 ，
则 ，且 式等号不同时成立，解得 ，
故实数 的取值范围是 ．
17. 已知二次函数 ．
（1）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
（2）解关于 的不等式 （其中 ）．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）等价变形给定不等式，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可.
（2）分类讨论求解含参数的不等式.
【小问1详解】
不等式 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 恒成立，而 ，
当且仅当 时取等号，则 ，
所以实数a的取值范围是 .
【小问2详解】
不等式 ，
当 时，不等式为 ，解得 ；
当 时，不等式为 ，解得 或 ；
所以当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 .
的
18. 为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发 投入.据了解，该企
业研发部原有100人，年人均投入a（ ）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其
中技术人员有x名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人
均投入为 万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多
少人？
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的
年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）75人 （2）存在，7
【解析】
【分析】（1）由题意列不等式 ，求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由技术人员的年人均投入始终不减少得 ，调整后研发人员的年总投入始终不低于调
整后技术人员的年总投入得 ，综合得 ，
根据 的范围由不等式恒成立求得 值.
【小问1详解】
依题意可得调整后研发人员人数为 ，年人均投入为 万元，
则 ，
解得 ，
又 ， 所以调整后的技术人员的人数最多75人;
【小问2详解】
假设存在实数 满足条件.
由技术人员年人均投入不减少得 , 解得 .
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
,
两边同除以 得 ,
整理得 ,
故有 ,
因为 , 当且仅当 时等号成立, 所以 ,
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学科网（北京）股份有限公司又因为 , 所以当 时, 取得最大值7, 所以 ,
，即存在这样的m满足条件，其值为7.
19. 若集合 具有以下性质：① ， ；②若 ， ，则 ，且 时， .则称
集合A是“好集”.
（1）分别判断集合 ，有理数集 是不是“好集”，并说明理由；
（2）设集合 是“好集”，求证:若 ， ，则 ；
（3）对任意的一个“好集” ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题 ：若 ， ，则必有 ；
命题 ：若 ， ，且 ，则必有 .
【答案】（1）集合 不是“好集”， 有理数集 是“好集”，理由见解析
（2）证明见解析 （3）命题 、 均为真命题，理由见解析
【解析】
【分析】（1）按照新定义，判断 、 是否符合条件即可；
（2）根据条件进行推导，先判断 ，进而可证 ；
（3）类似（2）根据“好集”的性质进行推导即可.
【小问1详解】
（1）集合 不是“好集”.
理由：假设集合 是“好集”.
因为 ， ，所以 ，这与 矛盾，所以集合B不是“好集”.
有理数集 是“好集”.
理由：
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，
对任意的 ， ，有 ，且 时， ，
所以有理数集 是“好集”.
【小问2详解】
证明:因为集合 是“好集”，
所以 ，
若 ， ，则 ，即 .
所以 ，即 .
【小问3详解】
命题 、 均为真命题，理由如下：
对任意一个“好集” ，任取 ， ，
若 ， 中有0或1时，显然 .
若 ， 均不为0，1，由定义可知 ， ， ，
所以 ，即 ，所以 .
.
由（2）可得 ，即
同理可得 .
若 或 ，则 .
若 且 ，则 .
所以 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司由（2）可得 ，所以 .
综上可知， ，即命题 为真命题.
若 ， ，且 ，则 ，所以 ，即命题q为真命题.
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学科网（北京）股份有限公司
