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高一数学期中试题
一、单选题：本大题共8小题，共40分.
1. 若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于（ ）
A. {1，2，3} B. {1，2}
C. {4，5} D. {1，2，3，4，5}
【答案】B
【解析】
【分析】先解一元二次不等式，再求交集即可.
【详解】集合A中(2x＋1)(x－3)<0，∴－ <x<3，又集合B中x∈N*且x≤5，则x＝1，2.
即A∩B={1，2}.
故选：B.
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定即可得到答案．
【详解】命题“ ”的否定是“ ”．
故选：C．
3. 已知 ，下列图象能表示以 为定义域， 为值域的函数的是（
）.
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察选项ACD中函数的值域即可排除，观察分析选项B中函数的定义域与值域，从而得解.
的
【详解】A是函数 图象，值域为 ，与题干函数的值域为 不符，故A错误；
的
B是函数 图象，定义域为 ，值域为 ，故B正确；
C是函数的图象，值域为 ，与题干函数的值域为 不符，故C错误；
D是函数的图象，值域为 ，与题干函数的值域为 不符，故D错误.
故选：B.
4. 若 ，则 的值与 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差比较法即可判断两者大小.
【详解】由 ，
因 ，故 ，即得 .
故选：C.
5. 已知命题 ，若命题 是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由其否定为真命题，通过 求解即可；
【详解】因为命题 是假命题，
可得： 为真命题；
可得： ，
解得： ，
故选：A
6. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式 ， ，再根据充分必要条件的定义判断．
【详解】 ，
，
所以 时 成立，但 时， 不一定成立，
因此“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A.
7. “函数 的定义域为R”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】由函数 的定义域为R，即 对任意 恒成立，可得a的范
围，则可得 “函数 的定义域为R” 是“ ”的必要不充分条件.
【详解】因为函数 的定义域为R，
所以 对任意 恒成立，
①当 时， 对任意 恒成立；
②当 时，只需 ，解得： ；
所以 .
记集合 ， .
因为A⫋B，所以 “函数 的定义域为R” 是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
8. 当 时， 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式“ ”的代换求最小值，注意取值条件即可．
【详解】由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为9.
故选：B
二、多选题：本大题共3小题，共18分.
9. 使不等式 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．
【详解】由题意，不等式 ，
，解得 ，
故不等式的解集为： ，
则其一个充分不必要条件可以是 ，或 .
故选：CD.
10. 下列说法中正确的有（ ）
的
A. 命题 ，则命题p 否定是
B. “ ”是“ ”的必要条件
C. 若命题“ ”是真命题，则a的取值范围为
D. “ ”是“关于x的方程 有一正一负根”的充要条件
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD
【解析】
【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可.
【详解】对于A，命题 ，则命题p的否定是 ，故A正
确；
对于B， 不能推出 ，例如 ，但 ；
也不能推出 ，例如 ，而 ；
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C， ，即 ，
即 ，故a的取值范围为 ，故C正确；
对于D，关于x的方程 有一正一负根 ，
所以“ ”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知实数a，b满足 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 若 ，则
B. 的最小值为2
C. 若 ，则
D. 若 ，则 的最小值为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】参数分离结合不等式的性质判断A；举反例 判断B；由换元法结合基本不等式判断
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学科网（北京）股份有限公司C；由 ，并运用两次基本不等式判断D.
【详解】对于选项A，由 ， ，得 ，解得 ，A正确.
对于选项B，取 ，满足 ，此时 ，B不正确.
对于选项C，由 ，得 ，取 ， ，
则 ，由 ，得 ，则 ，则 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，从而 ，C正确.
对于选项D，由 ，得 ，
则 .
因为
，当且仅当 ，
即 时，等号成立，
所以 的最小值为1，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，共15分.
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学科网（北京）股份有限公司12. 设全集 ，集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由并集定义计算即可得.
【详解】因为 ， ，
由 ，结合数轴可得 .
故答案为： .
13. 不等式 的解集为________；
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式化为整式不等式计算即可.
【详解】由 得 ，即 ，且
解之得 或 .
故答案为：
14. 函数 的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】将函数化为 ，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由 ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以原函数的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共60分.
15. 已知集合 ，集合 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合数轴列式求解；
（2）结合数轴列式求解，注意对空集 的讨论.
【小问1详解】
因为 ，如图，
所以 ，解得 ，所以 ，
即 的取值范围是 ；
【小问2详解】
当 时，符合题意，此时有 ，即 ；
当 时，如图
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学科网（北京）股份有限公司或
有 ①，或 ②，
解①得 ，解②得 ，所以此时 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
16. 已知
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）解不等式 ．
【答案】（1）1 （2） 或2
（3）
【解析】
【分析】（1）由分段函数解析式先求 ，再求 ，
（2）分 ， 两种情况，由 结合分段函数解析式列方程求 即可，
（3）分 ， 两种情况，由 结合分段函数解析式列不等式求其解集.
【小问1详解】
因为 ， ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，又 ，所以 ，
当 时， ，又 ，
所以 ，故 ，
综上， 的值为 或2
【小问3详解】
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
综上，原不等式的解集为 .
17. 已知全集 ，集合 ，集合 ，集合
.
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围
【答案】（1） 或 ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）解不等式化简集合 ，再由并集定义求解.
（2）利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解.
【小问1详解】
依题意， ， 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司.
所以 或
【小问2详解】
由 ，得 ，
当 ，即 时， ，满足 ，则 ；
当 时， 或 ，因此 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 .
18. 设二次函数 ，其中 为实数.
（1）当 时，不等式 的解集为 ，求实数 和 的值；
（2）当 时，不等式 对任意的实数 恒成立，求实数 的取值集合.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三个二次的关系，结合韦达定理列出方程组，求解即得；
（2）依题意可得不等式 对任意的实数 恒成立，设 ，利用基本不等
式可求出该函数在 上的最大值，即得参数 的取值集合.
【小问1详解】
当 ， 时，不等式 即 ，即 ，
因为该不等式的解集为 ，故方程 的两根为 和 ，
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学科网（北京）股份有限公司由韦达定理， ，解得 .
【小问2详解】
当 ， 时，不等式 即 ，
依题意，不等式 对任意的实数 恒成立，
即不等式 对任意的实数 恒成立，
不妨设 ，
因 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，故 ，
即实数 的取值集合为 .
19. 随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，
经调研，每件衣服的售价 (单位：元)与销量 (单位：万件)之间满足关系式 已知
公司每年固定成本为 万元，每生产 万件衣服需要再投入 万元 设该公司一年内生产的衣服全部销售
完.当公司销售 万件衣服时，年利润为 万元；当公司销售 万件衣服时，年利润为 万元．
（1）写出年利润 (万元)关于年销量 万件 的函数解析式；
（2）当年产量为多少万件时，公司利润最大 并求出最大利润．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2） 时， 取得最大值为1150万元.
【解析】
【分析】（1）依题意可求得参数 的值，再根据利润与年销量间的关系即可求得解析式；
（2）根据相应解析式利用基本不等式计算可得结果.
【小问1详解】
因为当销售8万件衣服时，年利润为990万元，
所以 ，解得 .
当销售20万件衣服时，年利润为1145万元，
所以 ，解得 .
当 时， ；
当 时，
所以
【小问2详解】
当 时， ，所以 ；
当 时， ，
由于 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时取等号，此时 的最大值为1150，
综上可知，当 时， 取得最大值为1150万元.
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学科网（北京）股份有限公司
