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河南省信阳高级中学北湖校区
2025-2026 学年高一上期 09 月测试（二）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 给出下列关系：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的个数为（
）．
.
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知集合 ，则下列结果错误的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合 ，且 ，则满足条件的集合 的个数（ ）
.
A 8 B. 9 C. 15 D. 16
4. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 设集合 ，U为整数集， （ ）
A. B. C. D.
6. 已知命题 ，则 是（ ）
A.
B.
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学科网（北京）股份有限公司.
C
D.
7. 已知 ，则“ 成立”是“ 成立”的（ ）条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
8. 若正实数 ， 满足 ，且存在实数 ， 使不等式 成立，则实数
的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选
项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ， ，则
10. 给定集合 ，若对于任意 ， ，有 ，且 ，则称集合A为闭集合，以下结论正
确的是（ ）
A. 集合 为闭集合；
B. 集合 为闭集合；
C. 集合 为闭集合；
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学科网（北京）股份有限公司为
D. 若集合 闭集合，则 为闭集合．
11. 下列说法中正确的为（ ）
A. 已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
B. 若 ，则 的最小值为2
C. 若正实数 满足 ，则 的最小值为
D. 若位于第一象限的点 的坐标是方程 的一组解，则 的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若 或 ，则实数 的取值范围为______．
13. 已知“ ，使得 ”是假命题，则实数的a取值范围为________．
14. 已知实数a，b， ，设 ， ， 这三个数的最大值为 ，则 的最
小值为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 .
（1）求 ；
（2）求
16. 已知集合 ．
（1）若 ，求 ;
（2）若 ，求实数 的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
17. 已知二次函数 ．
（1）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
（2）解关于 的不等式 （其中 ）．
18. 为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企
业研发部原有100人，年人均投入a（ ）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其
中技术人员有x名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人
均投入为 万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多
少人？
的
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员 年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的
年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
19. 若集合 具有以下性质：① ， ；②若 ， ，则 ，且 时， .则称
集合A是“好集”.
（1）分别判断集合 ，有理数集 是不是“好集”，并说明理由；
（2）设集合 是“好集”，求证:若 ， ，则 ；
（3）对任意的一个“好集” ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题 ：若 ， ，则必有 ；
命题 ：若 ， ，且 ，则必有 .
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