文档内容
株洲世纪星高级中学 2025 级高一年级第一次月考
数学试题卷
（本试卷共4页， 19题， 全卷满分: 150分， 考试时间: 120分钟）
注意事项:1. 答题前， 先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形
码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答： 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，试题卷自行妥善保管，答题卡统一上交.
第一部分（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（ ）
0 0 0
A. ∀x∈R，x2+2x+2＞0 B. ∀x∈R，x2+2x+2≥0
C. ∃x∈R，x2+2x+2＜0 D. ∃x∈R，x2+2x+2＞0
0 0 0 0 0
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是：∀x∈R，x2+2x+2
0 0 0
＞0．
故选A．
的
2. 集合 ， ，则图中阴影部分表示 集合为
A. B. C. D.
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【详解】图中阴影部分表示为 ，因为 ，所以 ，故选 .
3. 集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对集合 和 化为统一的形式，再进行比较.
【详解】解：
对于集合 ： ，
对于集合 ： ，
是奇数， 是整数，
故选：
【点睛】本题考查集合之间的关系，属于基础题.
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 当 时， B. 当 时， 的最小值是2
C. 当 时， 的最小值是5 D. 若 ，则 的最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式适用的条件“一正二定三相等”依次讨论各选项即可求得答案．
【详解】对于A选项， 时， ，当且仅当 即 时取等号，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B选项，当 时， 单调递增，故 ，没有最小值，B错误；
对于C选项， 可得 ，
，即最大值为1，
没有最小值，C错误；
对于D选项， ，不是定值，D不正确.
故选：A.
5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈
利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知
为非零实数，且 ；则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可.
【详解】A： ，若 有 ，故 ，A错误；
B： ，若 有 ，又 ，故 ，B错误；
C：若 ，则 ，C错误；
D： ，故 ，D正确.
故选：D
6. 下面关于集合的表示正确的个数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司① ； ② ；
③ ； ④ ．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴①{2，3}={3，2}，①不成立；
{（x，y）x+y=1}是点集，而{yx+y=1}不是点集，②不成立；
由集合的性质知③④正确．
故选C．
7. 集合 的真子集个数是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求得集合 中元素的个数，由此求得其真子集的个数.
【详解】依题意 共有 个元素，故真子集个数为 .故选C.
【点睛】本小题主要考查集合元素，考查集合真子集个数的计算，属于基础题.
8. 2014年6月22日，卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目成功入选世界
文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中
心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下
至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为 ，在逆水中的速度为 （
），则游船此次行程的平均速度 与 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先计算平均速度 ，再计算 得到答案.
【详解】设两码头距离为 ，则
即
故选C
【点睛】本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用能力.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
先解方程组 得 ，再根据集合的运算即可得答案.
【详解】解：根据题意解方程组 得 ，
所以 .
故选：CD.
10. 下面选项判断错误的有（ ）
A. 成立的条件是
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学科网（北京）股份有限公司B. 若 ，则 的最小值为
C. 函数 的最小值等于 ；
D. 函数 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由 ，可判定A不正确；由 ，可
判定B不正确；根据基本不等式，可判定C不正确，D正确.
【详解】对于A中，由 ，
所以对于任意实数 ，都有 成立，所以A不正确；
对于B中，若 ，由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，所以 的最小值为 ，
所以B不正确；
对于C中，由 ，
当且仅当 时，即 ，此时不成立，
所以 的最小值不等于 ，所以C不正确；
对于D中，当 时，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以. 函数 的最大值为 ，所以D正确.
故选：ABC.
11. 已知正数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为1 B. 的最小值为4
C. 的最小值为9 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形 为关于 的二次函数求最
值判断C，利用条件变形可得 ，转化 为关于 的式子由均值不等式判断D.
【详解】由正数 满足 ，可得 ，解得 ，即 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故A正确；
由正数 满足 ，可得 ，
解得 或 （舍去），当且仅当 ，即 时等号成立，故B正确；
，由A知 ，
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学科网（北京）股份有限公司由二次函数的单调性知 ，即 时， 的最小值为8，故C错误；
由 可得 ，即 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故D正
确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】由并集的性质及 ， ，可得 的值.
【详解】解：由 ， ，
可得 ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查并集的概念，考查学生对基础概念的理解，属于基础题.
13. 已知两个正数 ， 满足 ，则使不等式 恒成立的实数 的范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将 代入 进行整体代换和合理拆项得 ，再利用基本不等式
求出它的最小值，最后根据不等式恒成立求出 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意知，两个正数 ， 满足 ，则 ，
则 ，
当 时取等号，∴ 的最小值是 ，
∵不等式 恒成立，∴ .
故答案为： .
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和解决恒成立问题，首先利用条件进行整体代换和合理拆项，
再根据基本不等式求最值，考查化简运算能力.
14. 若 ， 或 ，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取
值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意有AB，根据集合的包含关系，列不等式求实数a的取值范围.
【详解】因为A是B的充分不必要条件，所以AB，
又 ， 或 ，
因此 或 ，解得 或
所以实数a的取值范围是 ．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 已知集合 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出 ，根据题意列出不等式组，求解即可；
（2）由 得 ，分 ， 两种情况讨论可求得 的取值范围．
【
小问1详解】
由集合 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，解得 ；
所以实数 的取值范围是 ．
【小问2详解】
若 ，则 ，
当 时， ，解得 ；
当 时，有 ，要使 ，则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 ．
16. 已知集合 、集合 （ ）.
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）设命题 ： ；命题 ： ，若命题 是命题 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分 、 讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分 、 讨论，即可求解.
【小问1详解】
由题意可知 ，
又 ，当 时， ，解得 ，
当 时， ， 或 ，解得 ，
综上所述，实数 取的值范围为 ；
【小问2详解】
∵命题 是命题 的必要不充分条件，∴集合 是集合 的真子集，
当 时， ，解得 ，
当 时， （等号不能同时成立），解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
17. 已知集合 ， ．请从① ，② ，③
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学科网（北京）股份有限公司这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件
分别解答，按第一个解答计分）
（1）当 时，求 ；
（2）若______，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）条件选择见解析， .
【解析】
【分析】(1)取 化简 ，化简A，再根据交集的定义求 ；
(2)若选①，由 可得 ，讨论 的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论
的正负，化简集合 ，结合条件 列不等式求a的取值范围；若选③，讨论 的正负，化简集合
，结合条件 列不等式求a的取值范围.
【
小问1详解】
由题意得， ．
当 时， ，
∴ ；
【小问2详解】
选择①．
∵ ，∴ ，
当 时， ，不满足 ，舍去；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，要使 ，则 ，解得 ；
当 时， ，此时 ，不满足 ，舍去．
综上，实数 的取值范围为 ．
选择②
∵ ，∴ ，
当 时， ，不满足 ，舍去；
当 时， ，要使 ，则 ，解得 ；
当 时， ，此时 ，不满足 ，舍去．
综上，实数 的取值范围为 ．
选择③
∵ ，∴ ，
当 时， ，不满足 ，舍去；
当 时， ，要使 ，则 ，解得 ；
当 时， ，此时 ，不满足 ，舍去．
综上，实数 的取值范围为 ．
18. 已知实数 、 满足： .
（1）求 和 的最大值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求 的最小值和最大值.
【答案】（1） ；
（2）最小值为 ，最大值为 .
【解析】
【分析】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解；
（2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解.
【小问1详解】
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
当且仅当 、 或 、 时等号成立，∴ 的最大值为 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 、 时等号成立，∴ 的最大值为 ；
【小问2详解】
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
当且仅当 、 或 、 时等号成立，∴ 的最小值为 ，
第14页/共17页
学科网（北京）股份有限公司又 ，∴ ，即 ，
当且仅当 、 或 、 时等号成立，
∴ 的最大值为 .
19. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工
业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为 （单位：米），地面面积为81平
方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为 ；
方案二：其给出的整体报价为 元，
（1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求 的值；
（2）求 的函数解析式，并求报价的最小值；
（3）若对任意的 时，方案二都比方案一省钱，求 的取值范围.
【答案】（1）18 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；
（2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数 ，再利用基本不等式求最值；
（3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可.
【小问1详解】
宽度为8米时，方案二的报价为29700元，
，
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学科网（北京）股份有限公司的
所以 值为18.
【小问2详解】
设底面长为 ， ，
所以墙面面积为 ，
， ，当 时取
等，
所以 ，最小值为 .
【小问3详解】
对任意的 时，方案二都比方案一省钱，
即 时， 恒成立，
整理得 ，
因为 ， ，
设 ，则 ，
又由对勾函数性质可得 在在 上单调递增，
，
又 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以方案二都比方案一省钱， 的取值范围为 .
第17页/共17页
学科网（北京）股份有限公司
