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2025 年 9 月高一上学期数学月考试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可根据全称命题的否定是特称命题来得出结果.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ ， ”的否定是“ ， ”，
故选：C.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，主要考查全称命题的否定，考查推理能力，体现了基础性，
是简单题.
2. 已知集合 ，且 ，则满足条件的集合 的个数（ ）
A. 8 B. 9 C. 15 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】先求得集合 ，根据 ，结合集合子集个数的计算，即可求解.
【详解】由不等式 ，解得 ，即
又由 ，可得满足条件的集合 的个数为 .
故选：A.
3. 已知实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得 的取值范围.
的
方法二：利用双换元法，结合不等式 性质求得正确答案.
【详解】方法一：设 ，则 ，
所以 解得 即 ，
因为 则
因此 ．
方法二：设 ，则 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
因此 ．
故选：D
4. 已知集合 ， ，则 不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题选择 不可能的选项，依次检验找出矛盾即可.
【详解】依次检验：
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学科网（北京）股份有限公司如果是 选项，则只能考虑 ，集合 不满足元素互异性；
当 ， 选项正确；
当 ， 选项正确；
当 ， 选项正确；
故选：A
【点睛】此题考查集合并集运算和元素互异性，对分析问题能力要求较高.
5. 若 ，则下列四个数中最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 可以推出 、 、 都大于1， ，故可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ， ， ，
，
所以四个数中最小的数是 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用不等式的性质找中间量1进行比较是解题关键.
6. 已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据判别式进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法、根与系数关系等知识确定正确答案.
【详解】对于函数 ．
①令 ，即 ，满足 恒成立，
因此，只需 ，即 ，所以 ．
②令 ，即 或 ．
设方程 的两根分别为 ，则 ．
当 时，方程 有两个正根，
存在 ，使得 ，不符合题意，舍去；
当 时，方程 有两个负根，
因此，只需 ，即 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
故选：C
7. 某商场对100位顾客做了一项调查，购买 商品的有80人，购买 商品有70人，则两种商品都购买的
人数的最大值与两种商品都没购买的人数的最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】
本题可根据购买两种商品的人数与总人数之间的联系得出结果.
【详解】因为购买 商品的有80人，购买 商品有70人，
所以两种商品都购买的人数的最大值为 人，
因为共100位顾客，
所以两种商品都没购买的人数的最大值为 人，
故选：C.
【点睛】本题考查学生从题目中获取信息的能力，考查学生解决实际问题的能力，考查推理能力，是简单
题.
8. 已知集合 ， ，则 的必要不充分条件是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分集合 和 讨论求解，先确定 的充要条件，再确定其必要不充分条件.
【详解】因为 或
.
若 ，则 ，此时 ；
若 ，由 ，此时 .
所以 的充要条件为： .
所以 的必要不充分条件为： .（因为 ，但 ，所以 是
的必要不充分条件）
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
二、多选题（每题5分，共15分）
9. 已知集合 ， ，若 ，则 的值可能为（ ）
A. B. 2 C. D. 12
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据 ，得到 或 ，分类讨论得到 的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的
解，求出 的值.
【详解】因为 ，所以 或 .
①当 时， ， ，
所以 或 ，得 或4.
当 时， 不合题设，舍去.
当 时， ， ，此时 .
②当 时， ， ，
所以 或 ，解得： 或 或
当 时， 不合题设，舍去.
当 时， ，此时 .
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，此时 .
故选：ABD
10. 下列函数的最小值为4的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】构造基本不等式，然后根据基本不等式计算与判断A，B，C选项，取特殊值验证选项D即可.
【详解】对于A， ，
当且仅当 时等号成立，
，故A正确；
对于B， ，
当且仅当 即 时等号成立，
故B正确；
对于C， ，
因为 无解，故等号不成立，故 不是4，
故C错误.
对于D， ，取 ，则 ，
故D不正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：AB.
11. 下列函数中最大值为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】解：对A， ，
当且仅当 ，即 时取等号，故A错误；
对B， ，
当且仅当 ，又 ，即 时取等号，故B正确；
对C，当 时， ；当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故C正确；
对D， ，
当且仅当 ，又 ， 时取等号，故D错误.
故选：BC.
三、填空题（每题5分，共15分）
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知 ，且 ，则 的最大值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
将 化为 后，根据基本不等式可求得结果.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立.
所以 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
13. 已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
将已知整理为 ，令2 ，得 ，即可将所求最值的关于xy的表
达式转化为mn的表达式，整理后由均值不等式可求得最小值.
【详解】因 4为x+y+2xy+1=0，则4x+y+2xy+2=1，即
令2 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司所以x2+y2+x+4y
由均值不等式 ，当且仅当 取等号
所以x2+y2+x+4y的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，属于难题.
14. 关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为______
【答案】
【解析】
【分析】不等式 的解集为 可以确定 的正负以及 的关系，从而可得 的解.
【详解】不等式 的解集为 ，故 且 ，
故 可化为 即 ，
它的解为 ，填 .
【点睛】本题考查一元一次不等式的解与对应方程之间的关系及分式不等式的解法，属于容易题.
四、解答题（共80分）
15. 已知集合 ，
（1）求 .
（2）求
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2） 或 ， 或 .
【解析】
【分析】（1）先化简集合，再利用集合的交集和并集求解；
（2）利用集合的补集和并集求解.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ；
【小问2详解】
因为 ，
，
所以 或 ， 或 .
16. (1)解不等式:
(2)解关于 的不等式:
【答案】(1) ;
(2)见解析.
【解析】
【分析】(1)由 得 ，解出即可得到不等式 的解集；
(2)根据 对参数 分 、 、 、 、
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学科网（北京）股份有限公司五类讨论，可分别求得不等式 的解集.
为
【详解】解：(1)因 ，
所以 ，即 .
.
解得：
所以不等式 的解集为 .
(2)由 得 .
当 时，解得： .
当 时. .
当 时，若 ，即 时，解得： .
若 ，即 时，解得： 或 .
若 ，即 时，解得： 或 .
当 时，解得： .
综上所述： 时，不等式: 的解集为 ；
当 时，不等式: 的解集为 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，不等式: 的解集为 ；
当 时，不等式: 的解集为 ；
当 时，不等式: 的解集为 或 .
【点睛】本题考查无理不等式与分式不等式的解法，突出等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，属于
难题．
17. 已知函数 .
（1）当 时，求函数的最值；
（2）求 的最小值 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的单调性即可求解，
（2）根据二次函数的性质，结合1和 到对称轴的距离大小，即可求解.
【小问1详解】
当 时， 开口向下，对称轴为 ，
即 在 上是递增的，∴
，故函数的值域为 ；
【小问2详解】
对称轴为 ,开口向下，
①当 时，当 时取到最小值
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学科网（北京）股份有限公司②当 时，当 时取到最小值
综上可得，
18. 已知集合 或 ， ， ，
（1）已知 ，求实数 的取值范围；
（2）已知命题 ，命题 ，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集的定义即可求解；
（2）由题意可得 ，根据参数 的取值分类讨论即可求解.
【小问1详解】
， 或 ，
因 ，故 ，
即实数 的取值范围为 .
【小问2详解】
由于 是 的必要条件，所以 ，
因 ，
① 当 时， ，此时 ，符合题意；
② 当 时， ，由 ，可得 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司③ 当 时， ，由 ，可得 ，解得 ，
综上所述： ，
即实数 的取值范围为 .
19. 已知函数
（1）若 的解集为 ，求实数 的值；
（2）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求实数a取值范围．
（3） ，解关于 的不等式 .
【答案】（1） ， ；
（2）
（3）答案见解析；
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数关系代入方程可解得 ， ；
（2）将不等式整理可得 ，利用基本不等式计算可得 即可；
（3）对参数 的取值进行分类讨论，利用一元二次不等式解法即可得出对应解集.
【小问1详解】
由 的解集为 可得3是方程 的一个实数根，
因此 ，解得 ；
所以 的另一实数根为1，可得 ；
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学科网（北京）股份有限公司即实数 的值为 ， ；
【小问2详解】
由 可得 ，即 ；
又因为 ，可得 恒成立；
易知当 时, ,
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 取得最小值，
所以
【小问3详解】
不等式 即为 ；
整理可得 ；
当 时，不等式为 ，易知其解集为 ；
当 时，不等式可分解为 ，其方程对应的两根分别为 ；
若 ，不等式等价为 ，此时不等式解集为 ；
若 ，不等式解集为 ；
若 ，不等式解集为 ；
若 ，不等式解集为 ；
综上可知，当 时，不等式解集为 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集 为；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 .
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