专题4-2 对数与对数函数15 类题型汇总
【题型1】对数运算........................................................................................................................2
【题型2】指数式与对数式的相互转化........................................................................................4
【题型3】换底公式的应用............................................................................................................5
【热考题型1】用已知对数表示其他对数............................................................................5
【热考题型2】利用换底公式证明等式恒等........................................................................6
【题型4】对数函数函数的概念与图象........................................................................................6
【热考题型1】对数函数的概念............................................................................................7
【热考题型2】对数函数过定点问题....................................................................................7
【热考题型3】对数函数的图象性质....................................................................................8
【题型5】解对数方程..................................................................................................................10
【热考题型1】常规对数方程..............................................................................................11
【热考题型2】对数型嵌套函数方程..................................................................................11
【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题..................................................................................12
【题型7】对数相关函数图像的识别..........................................................................................14
【题型8】对数型复合函数的值域问题......................................................................................16
【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求值域......................................................16
【热考题型2】已知对数型复合函数的值域求参数范围..................................................17
【题型9】比较大小......................................................................................................................18
【热考题型1】找中间数比较大小......................................................................................19
【热考题型2】结合单调性比大小......................................................................................19
【热考题型3】去“1”法比大小..........................................................................................20
【热考题型4】指对互化，换底公式比大小......................................................................20
【热考题型5】结合函数图形比大小..................................................................................21
【热考题型6】结合函数单调性与奇偶性比大小..............................................................22
【题型10】对数型复合函数的单调性........................................................................................23
【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求单调区间..............................................23
【热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数范围..............................................24
【题型11】解对数不等式.............................................................................................................25
【热考题型1】解对数型不等式..........................................................................................25
【热考题型2】结合函数性质解不等式..............................................................................26
【题型12】对数函数模型的实际应用........................................................................................28
【题型13】反函数对称性质的运用............................................................................................31
【题型14】等高线问题................................................................................................................32
【题型15】对数函数的综合问题................................................................................................35
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
【题型1】对数运算
1、对数计算公式
（1）同底对数加减运算：
；
（2）底数和真数是乘方数时：
（3）对数恒等式：
（4）倒数式：logab=
1
logba
1．计算：
(1)
：
(2)
．
2．计算：
(1)
，
(2)
.
3．化简
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．-1
4．
____________
5．已知函数
是定义在R 上的奇函数，且满足
. 若当
时，
，则
的值为_____.
【巩固练习1】计算：
(1)
；
(2)
．
【巩固练习2】求值
；
【巩固练习3】求值
（1）
（2）
（3）
（
4
）
【题型2】指数式与对数式的相互转化
对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最
简，然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真
数的积、商、幂再运算.
(3)指对互化：
(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算
中应注意互化.
6．已知
，则
．
7．已知
，则
．
8．若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
9．设
，且
，则
（ ）
A．
B．10
C．100
D．1000
【巩固练习1】若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】设
，求
的值．
【巩固练习3】已知
，则
．
【巩固练习4】
，则
的值（ ）
A.小于0 B.等于1 C.大于1 且小于2 D.等于2
【题型3】换底公式的应用
换底公式：logab=
logcb
logc a (a＞0，且a¿
1；c＞0，且c¿
1；b＞0)．
【热考题型1】用已知对数表示其他对数
10．已知
，
，则
（用
，
表示）
11．已知
，
，则
.（用
表示）
12．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】设
，
，
（1）用含
，
的式子表示
，形式为___________.
（2）用含
，
的式子表示
，形式为___________.
【巩固练习3】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】（1）已知
，
，试用
表示
；
（2）已知
，
，试用
表示
．
【热考题型2】利用换底公式证明等式恒等
13．已知
，求证：
.
【巩固练习1】已知a，b，c 均为正数，且
，求证：
；
【巩固练习2】设
，且
，求证：
【题型4】对数函数函数的概念与图象
一、对数函数过定点(1，0)，即x＝1 时，y＝0；
函数
过定点
二、对数函数的图象（底大图低）
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1 时，y＝0
函数值的变化
当0＜x＜1 时，y＜0；
当x＞1 时，y＞0
当0＜x＜1 时，y＞0；
当x＞1 时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、
平移、对称等变换得到，当
时，对数函数的图像呈上升趋势；当
时，对数函数的图
像呈下降趋势.
【热考题型1】对数函数的概念
14．(多选)下列说法正确的有（ ）
A．零和负数没有对数
B．任何指数式都可以化成对数式
C．任何对数式都可以化成指数式
D．
15．代数式
有意义时，求x 的取值范围．
【巩固练习1】已知函数
是对数函数，则
．
【巩固练习2】使式子
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【热考题型2】对数函数过定点问题
16．函数
(
且
)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数
恒过定点
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．
C．3
D．
【巩固练习1】已知函数f ( x)=1+ loga(2 x−3) (a>0,a≠1)恒过定点(m,n)，则m+n=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【巩固练习2】已知直线
经过函数
图象过的定点（其中
均大于
0），则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【巩固练习3】函数
（
且
）的图象恒过定点
，若
且
，
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．
D．
【热考题型3】对数函数的图象性质
18．已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx 的大致图象如图所示，则下列
不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a
B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d
D．b＋d＜a＋c
19．已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a 的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．(0，
) C．(0，1] D．[1，+∞)
20．当
时，在同一平面直角坐标系中，函数
与
的图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
21．在同一平面直角坐标系中，函数
，
（
且
）的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】如图是对数函数
的图象，已知a 值取
，
，
，
，则相应的
，
，
，
的a 值依次是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【巩固练习2】已知函数
（
且
，
，
为常数）的图象如图，则下列结
论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【巩固练习3】在同一平面直角坐标系中，函数
，
（
且
）的图象可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】已知函数
（
且
）的图像如图所示，则以下说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型5】解对数方程
【方法技巧】
（1）对于形如
的形式，利用
转化；
对于形如
的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.
（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这
个不等式即可．
【热考题型1】常规对数方程
22．方程
的解为________
23．已知方程＝0 的两根为则＝（ ）
A．－ln12
B．2ln2﹒ln3
C．
D．12
【巩固练习1】求下列各式中的
值：
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
．
【热考题型2】对数型嵌套函数方程
24．方程
的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
25．（杭州学军中学2024-2025 高一上期中）已知函数
在定义域
上单调，若对任意的
，都有
，则方程
的解的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
26．已知
f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有
2
1
2
1
3
x
f
f x
，
则
2
log 3
f
的值为________.
【巩固练习1】已知函数f(x)是定义域内的单调函数，且满足
2
[
3
)]
1
(
f f
x
ln x
ln
－
＋
＝
＋，
则函数
f
x 的解析式
f
x ＝_______，若不等式
x
f
x
m
e
＞－
对任意
0[
)
x
，＋
恒
成立，则实数m 的取值范围是_______.
【巩固练习2】已知
，则
的值为__________．
【巩固练习3】已知
，则
的值为__________．
【巩固练习4】已知函数
，则方程
的解为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题
常见对数型函数奇偶模型
（1）
，
（2）
（
3
）
是
偶
函
数
，
如
，
27．（2023 年新课标全国Ⅱ卷）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
28．函数
的部分图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．若函数
为偶函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1
30．已知函数
，求函数
的定义域，并判断其奇偶性.
31．已知函数
是奇函数，则
.
32．已知函数
是偶函数，求实数
的值.
33．已知函数
为偶函数，则
.
34．（2023·重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数
为偶函数，则实数
的值为
.
35．若函数
是偶函数，则
【巩固练习1】设函数
2
( )
log (4
1)
,
R
x
f x
kx x
为偶函数，求k 的值
【巩固练习2】设
是实数，若函数
为奇函数，则
【巩固练习3】已知函数
是奇函数，则实数
的值为 .
【巩固练习4】函数
为奇函数，则实数
.
【巩固练习5】函数
为奇函数，则实数k 的取值为 .
【巩固练习6】若函数
是奇函数，则
．
【巩固练习7】已知函数
，f(a)＝4,则f(－a)＝ .
【巩固练习8】若函数
是R 上的奇函数，则
________，
________.
【巩固练习9】（2022·全国·高考真题）若
是奇函数，则
，
．
【题型7】对数相关函数图像的识别
1、判断函数图像常用的办法是排除法
一:判断奇偶性(依选项而判断)；二:代入特殊点看正负；三:极限思想
2、判断奇偶性技巧
(1)运算函数的奇偶性规律：
运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如
.
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.
(2)复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
⑤若
为奇函数，则
为偶函数
36．函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
37．（多选题）函数
的大致图象不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型8】对数型复合函数的值域问题
对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的
问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1 的大小关系；三是复合函数的
构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与
化归思想的应用.
【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求值域
38．函数
的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
39．已知函数
的最大值为2，则
．
【巩固练习1】已知函数
2
lg
1 ,
1,3
f x
x
x
，则
f x 的值域为（ ）
A．
0,
B．
0,1 C．
lg2,1 D．
0,1
【巩固练习2】若函数
的最大值为0，则实数a 的值为___________.
【热考题型2】已知对数型复合函数的值域求参数范围
40．函数
的值域为R．则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
41．若函数
的值域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
42．设
且
，若函数
的值域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
43．若函数
存在最大值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
44．已知函数
在区间
上有最大值或最小值，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知函数
在
上的值域为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（1）若
的定义域为
，则实数
的取值范围为 ；
（2）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围为 ．
【巩固练习3】已知函数
的值域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】若函数
且
在
上的值域为
，则
的值为（ ）
A．
或
B．0 或
C．
或
D．
或
【题型9】比较大小
1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
2、当底数和真数的差或倍数一样时， 可以考虑拆出一个1
例1：
和
（倍数一致）
简析：
；
，由图像可知
例2：
和
（差一致）
简析：
；
，由图像可知
【热考题型1】找中间数比较大小
45．设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
46．已知
，
，
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】设
，
，
，则三者大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知
，
，
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知
,
，
，则( )。
A. x＜y＜z B. z＜x＜y
C. z＜y＜x D. y＜z＜x
【热考题型2】结合单调性比大小
47．已知
,
,
,则a, b, c 的大小关系为( ) .
A. c＜b＜a B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a
【巩固练习1】已知
、
、
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知
是定义在
上的单调函数，
是(0,+∞)上的单调减函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【热考题型3】去“1”法比大小
48．（重庆南开中学高一期末）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
49．已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【热考题型4】指对互化，换底公式比大小
50．若
，则
，
，
从小到大的顺序是
A．
B．
C．
D．
51．设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
52．设
，且实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
53．设a＝logo.20.3，b＝log20. 3，则( )。
A. a＋b＜ab＜0 B. ab＜a＋b＜0
C. a＋b＜0＜ab D. ab＜0＜a＋b
【巩固练习1】若
，且
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】若
，
，则x，y，z 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】若
，则
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】设x、y、z 为正数，且＝＝则（ ）
A．2x＜3y＜5z
B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x
D．3y＜2x＜5z
【热考题型5】结合函数图形比大小
54．已知正实数a, b,c,满足:
则( )
A. a＜b＜c B. c＜b＜a. C. b＜c＜a D. c＜a＜b
55．已知实数a、b 满足等式＝下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a
＝b，其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【巩固练习1】（多选）已知实数
满足等式
，则下列可能成立的关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（多选）已知实数a，b 满足等式
，下列五个关系式：
①
；②
；③
；④
；⑤
其中有可能成立的关系式有（ ）
A．①
B．②⑤
C．②③
D．④
【热考题型6】结合函数单调性与奇偶性比大小
56．（深圳高级中学高一校考期末）已知函数
，记
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
57．已知定义在R 上的函数
为偶函数，且
在区间
上是增函数，记
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】若偶函数f ( x)在(−∞，0]上单调递减，a=f (4
2
3 )，
，c=f (2
3
2 )，
则a、b、c 满足（ ）
A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b
D.c<b<a
【巩固练习2】函数f(x)定义在实数集上,有f(－1＋x)＝f(3－x),且当x≥1 时, f(x)＝lnx,则有( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【巩固练习3】已知奇函数f(x)在R 上是增函数,g (x)＝xf(x)。若a＝g(－log25.1),b＝g(20.8),c＝ g(3),
则a,b,c 的大小关系为( )。
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. b＜a＜c D. b＜c＜a
【巩固练习4】已知奇函数
在
上是增函数，
， 则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】已知
，其中
是奇函数且在
上为增函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型10】对数型复合函数的单调性
对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求单调区间
58．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
59．函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】函数
的单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知函数
，若
，则此函数的单调递增区间是
．
【巩固练习3】函数
的减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数范围
60．若函数
在区间
上是单调增函数，则实数a 的取值范围是___．
61．若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是 .
62．已知f（x）＝
在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是
________．
63．已知
是定义在
上的偶函数，且在
上为增函数，
，则不等式
的解集为 ．
【巩固练习1】“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【巩固练习2】若函数
在区间
上为减函数，则
的取值范围是 .
【巩固练习3】设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型11】解对数不等式
解对数不等式时，首先确定对数的定义域，然后利用对数函数的单调性去掉对数，转化为代数不等
式求解。注意验证解是否符合原不等式定义域，最后写出解集。
【热考题型1】解对数型不等式
64．设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
，
65．若实数x 满足不等式
，则实数x 的取值范围是______．
【巩固练习1】已知实数
，且满足不等式
，则不等式
的解
集为________．
【巩固练习2】不等式
的解集是 .
【巩固练习3】若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
【热考题型2】结合函数性质解不等式
66．已知函数
的最大值为2，则
．
67．设函数
，则使得
成立的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
68．设函数
2
( )
log (4
1)
,
R
x
f x
kx x
为偶函数．
(1)求k 的值；
(2)写出函数
( )
y
f x
的单调性（不需证明），并解不等式
(2
1)
(
1)
f
x
f x
．
69．已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间
上单调递减，若
，且满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
70．已知函数
，
的最大值为
，最小值为
，则
.
【巩固练习1】已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围是 ．
【巩固练习2】已知函数
，则满足不等式
的实数
的取值范围是 .
【巩固练习3】已知函数
，若不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
单调递减，则不等式
的解集为 .
【巩固练习5】已知函数
，则
的解集为 ．
【巩固练习6】函数
是定义在
上的偶函数，
，当
时，
．
(1)函数
的解析式；(2)解不等式
．
【题型12】对数函数模型的实际应用
对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析
式，然后根据实际问题求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代
入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
71．某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时
间（单位：h）的关系为
（
且
，
且
），其图象如下，则污染物减
少
至少需要的时间约为（ ）（参考数据：
，
）
A．23 小时
B．25 小时
C．42 小时
D．44 小时
72．一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21 个月（假设没有捕杀与
其他损耗）.那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要（ ）年
A．23
B．22
C．21
D．20
73．把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是
，空气的温度是
，则
后该
物体的温度
满足
. 将温度分别为
和
的两块物体放入温度为
的空气中，要使两块物体的温度之差不超过
，至少要经过（ ）(取:
)
A．
B．
C．
D．
74．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中
酒精含量达到20⁓79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾
车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，
他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其
中取
)（ ）
A．7 小时
B．6 小时
C．5 小时
D．4 小时
75．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科
技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”，
实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划在2024 年全年投入芯片制造研
发资金60 亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长
，则该公司全年投入的研
发资金开始超过100 亿元的年份是 .
（参考数据：
，
，
）
76．中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用
的水泡制，再等到茶水温度降至
时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组
联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是
，经过
后
的温度是T，则
，其中
表示环境温度，h 为常数.该研究小
组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是
，放在
的室温中，
以后茶水的温度是
，在上述条件下，大约需要再放置
能达到最佳饮用口感.（结果精确到
0.1，参考数据：
，
）
77．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环
保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为
，排放前每过滤一次，该
污染物的含量都会减少
，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过
，
若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】（华南师大附中高一期末）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少
需要将 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5 倍．（参
考数据：
．）
【巩固练习2】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是
，空气的温度是
，经过
分钟后物体的温度
可由公式：
求得．其中
是一个随着物体与空气的接触
状况而定的大于0 的常数．现有
的物体，放在
的空气中冷却，5 分钟以后物体的温度是
，则
约等于 （参考数据：
A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55
【巩固练习3】2008 年我国人口总数为14 亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则
年我国人口将超过20 亿．（
，
，
）
【巩固练习4】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
约为
，而可观测宇宙中普通物质
的原子总数
约为
．已知
，则下列各数中与
最接近的是
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】当生物体死亡后，它机体内的碳14 含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730 年
衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”
年3 月23 日四川省文物考古研究院联合北京
大学对三星堆新发现
坑的部分炭屑样品使用碳14 年代检测方法进行了分析，发现碳14 含量衰
减为原来的
，则该遗址距今约 年．（参考数据：
A．3000
B．3100
C．3200
D．3300
【巩固练习6】当生物体死亡后，它机体内的碳14 含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730 年
衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021 年3 月23 日四川省文物考古研究院联合北京
大学对三星堆新发现
坑的炭屑样品使用碳14 年代检测方法进行了分析，发现碳14 含量衰减为
原来的
，则该遗址距今约 年．（参考数据：
A．3300
B．3200
C．3100
D．3000
【巩固练习7】为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精
含量不得超过
．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升
到
，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少
．那么此人
在开车前至少要休息 （参考数据：
，
A．4.1 小时
B．4.2 小时
C．4.3 小时
D．4.4 小时
【巩固练习8】基本再生数
与世代间隔
是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染
者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：
描述累计感染病例数
随时间（单位：天）的规律，指数增长率与
，
近似满足
，有学者基于已有数据估计出
，
，据此，在新冠肺炎疫
情初始阶段累计感染病例数增加1 倍需要的时间为 （参考数据：
A．约1.8 天
B．约2.6 天
C．约3.5 天
D．约6.9 天
【题型13】反函数对称性质的运用
指数函数
（a>0 且a≠1）与对数函数
（a>0 且a≠1）互为反函数
反函数是高中数学中并不太重视的一个知识点，从大的角度讲，反函数是对称这个大家族中的一员。
对称是高考考察的热点及难点之一，线的对称本质上是点的对称，利用点与点之间的对称关系去理
解线与线之间的对称关系，是学好这一块内容的最佳途径，参考题中的信息，先要找到互为反函数，
且互为反函数关于y =x 对称。可以求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题。
78．若实数a 满足ex＋x－2＝0，实数b 满足lnx＋x－2＝0，则a＋b＝______
79．若满足＝满足＝＝（ ）
A．
B．3 C．
D．4
80．设方程
和方程
的根分别为
，设函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
81．设a、b 分别是方程
与
的根，则
．
82．已知
是函数
的零点，
是函数
的零点，则
的值为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【巩固练习1】已知函数
和
的图象与直线
交点的横坐标分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知函数
，
，
的零点分别是
，
，
，则
，
，的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知
，
分别是关于
的方程
，
的根，则下面为定值
2023 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
E．均不是
【题型14】等高线问题
等值线问题
等值线本是地理学中的名词， 借用到数学中来便有其特殊的含义．对于函数f(x)， 若存在互不相
等的实数a，b，c， 使f(a)＝f(b)＝f(c)＝t， 则称直线为函数的等高线． 解决等高线问题时， 要
注意函数本身的整体性， 遵循分段处理的原则， 首先画出分段函数的图象， 充分利用形的直观
性与数的精确性， 挖掘函数的性质， 如对称性、不变性(如定和、定积)等， 从而有效地、快速地
解决问题． 这类问题由四种常见题型．
1、求等高线对应的交点横坐标之和：利用函数的对称性
2、求等高线对应的交点横坐标之积：结合对数运算
3、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域：注意极端位置、特殊位置
4、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围
83．已知函数
有三个零点
，则
=（ ）
A.
B.8 C.15 D.16
84．已知函数
2
3
log
,0
2
2
1,2
5
x
x
x
f x
x
＜＜
≤
＜若存在实数
1
2
3
4
x
x
x
x
＜
＜
＜
，且
1
2
3
4
f x
f x
f x
f x
，则
3
4
1
2
2
2
x
x
x x
的取值范围是 ．
85．已知函数
，若存在互不相等的实数
，
，，
满足
，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．3
86．已知函数
，若
，则
；若
，且
，则
的取
值范围是 .
87．（多选）设函数
，若实数a，b，c 满足
，且
.则下列结论恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
88．（多选）已知函数
，若方程
有4 个不同的零点
，
，
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
89．（多选）已知函数
，若存在
，使得
，
则
的取值可以是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【巩固练习1】已知函数
，存在实数
满足
，则
的取
值范围是 .
【巩固练习2】已知函数
，若
且
，则
的取值范围为
.
【巩固练习3】已知函数
，若互不相等的实数
满足
，则
的取值范围是 ．
【巩固练习4】已知函数
，若a，b，c，d 互不相等，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】已知函数
，若方程
有4 个解，分别记为
，
，
，
，且
，则
.
【巩固练习6】（多选）已知函数
，若
有四个不同的解
且
，则有 （ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为
【题型15】对数函数的综合问题
90．已知函数
为偶函数．
(1)求k 的值；
(2)设函数
，若
，
恒成立，求a 的取值范围．
91．已知函数f (x), g(x)分别是定义在
上的奇函数和偶函数，且
.
(1)求函数f (x), g(x)的解析式；
(2)设
，对
，使得
，求实
数
的取值范围.
92．已知函数
（k 为常数，
），且
是偶函数.
（1）求k 的值；
（2）设函数
，若方程
只有一个解，求a 的取值范围.
【巩固练习1】设函数
.
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)当
时，若对任意
，函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1，求
a 的取值范围.
【巩固练习2】已知函数
是偶函数.
(1)求
的值;
(2)设
，
，若对任意的
，存在
，使得
，求
的取值范围.
【巩固练习3】已知函数
是偶函数.
(1)求
的值；
(2)设函数
，其中
.若函数
与
的图象有且只有一个交点，求
的取值范围.
【巩固练习4】已知函数
(1)当
时，解关于x 的方程
(2)若函数
是定义在R 上的奇函数，求函数
的解析式；
(3)在(2)的前提下，函数
满足
若对任意
且
不等式
恒成立，求实数
的最大值.
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