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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 09 练 二次函数与幂函数（精练）
1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝ ，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解
幂函数.
2.掌握二次函数的图象和性质.能利用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
2．（2023·全国·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
3．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，故 .
故答案为：C.
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点 ，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案.
【详解】设幂函数的解析式为 ，由于函数过点 ，故 ，解得 ，该幂函数的解析式为
；
故选：B2．（2024·广东梅州·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由对数函数的性质求出集合 ，再根据二次函数的性质求出集合 ，最后根据并集的定义计算即
可.
【详解】因为 ，
二次函数 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以 .
故选：D
3．（23-24高三上·上海青浦·期中）下列函数中，在其定义域内既不是增函数，也不是减函数的为（
）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性的定义，结合常值函数、幂函数、指数函数和反比例函数的性质，逐项判定，即
可求解.
【详解】对于A中，函数 ，在定义域 内既是增函数，也是减函数，不符合题意；
对于B中，函数 ，在定义域 内为单调递增函数，不符合题意；
对于C中，函数 ，在定义域 内单调递增函数，不符合题意；对于D中，函数 在 为单调递减函数，但在整个定义域内不单调，符合题意.
故选：D.
4．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数 的图象在 上单调
递减，则 的取值是（ ）
A．1 B．-3 C．1或-3 D．2
【答案】A
【分析】先根据幂函数的定义得： 或 ，然后再根据函数在 上单调性进行
取舍.
【详解】∵ 为幂函数，∴ 或 ；
当 时， ，在 上单调递减；
当 时， ，在 上单调递增，不满足题意.
综上可知： .
故选：A.
5．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数 的单调递增区间是 ，则实数a的值是
（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【分析】求出二次函数的单调递增区间，利用相等集合列式求解即得.
【详解】函数 的单调递增区间是 ，
因此 ，即 ，解得 ，
所以实数a的值是 .
故选：C
6．（2024·福建三明·三模）若 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性可判断 的大小，利用对数函数的单调性判断a的范围，即可得答案.
【详解】由题意得 ，
由于 在 上单调递增，故 ；
而 在 上单调递减，故 ，
故 ，
故选：A
7．（23-24高三上·全国·期末）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的单调性可得出关于实数 的不等式，解之即可.
【详解】函数 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线 ，
由函数 在 上单调递减可得 ，解得 ，
故选：D．
8．（2024·辽宁·一模）若函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【详解】设 ， ，则 在 上单调递增.
因为 在区间 内单调递减，所以函数 在区间 内单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得： ，解得 4.
故选：
9．（23-24高三上·北京·阶段练习）若函数 有最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，将 转化为关于 的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可.
【详解】设 ，则 ， ， 有最小值.
当 时，二次函数 开口向下，无最小值；
当 时， 无最小值；
当 时，若 在 上有最小值，则对称轴 ，解得 .
故选：A
10．（2023高一·全国·课后作业）关于x的方程 至少有一个负根的充要条件是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解.
【详解】当方程没有根时， ，即 ，
解得 ；
当方程有根，且根都不为负根时， ，
解得 ，
综上， ，即关于x的方程 没有一个负根时， ，
所以关于x的方程 至少有一个负根的充要条件是 ，
故选:B.
二、多选题
11．（22-23高一上·浙江杭州·期中）若幂函数 的图象过 ，下列说法正确的有（ ）
A． 且 B． 是偶函数
C． 在定义域上是减函数 D． 的值域为
【答案】AB
【分析】根据幂函数的定义可得 ，由经过 可得 ，进而得 ，结合选项即可根据幂
函数的性质逐一求解.
【详解】对于A;由幂函数定义知 ，将 代入解析式得 ，A项正确；
对于B;函数 的定义域为 ，且对定义域内的任意x满足 ，故 是偶
函数，B项正确；
对于C; 在 上单调递增，在 上单调递减，C错误；
对于D; 的值域不可能取到0，D项错误.
故选：AB
12．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知函数 在 上的值域为 ，则实数 的
值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【分析】配方后得到当 时， 取得最小值 ，结合 ，求出 ，得到答案.【详解】 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
故当 时， 取得最小值 ，
又 ，
故要想 在 上的值域为 ，
则要 ，
故实数 的值可以是 .
故选：BCD
13．（23-24高一上·贵州·阶段练习）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（
）
A． ， ， ，
B． ， ， ，
C． ， ， ，
D． ， ， ，
【答案】AB
【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可.
【详解】对于幂函数 ，若函数在 上单调递增，则 ，若函数在 上单调递减，则
，所以 ，D选项错误；当 时，若 的图象在 的上方，则 ，若 的图象在 的下方，则 ，
所以 ，C选项错误；
因为当 时，指数越大，图象越高，所以 ，
综上， ，AB选项正确.
故选：AB
14．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数 的最小值为 ，则 的值为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】求出函数的对称轴，分 、 、 三种情况，分别求出函数的最小值，即可求出
参数的值.
【详解】函数 开口向上，对称轴为 ，
若 ，即 时 ，解得 或 （舍去），
若 ，即 时，函数在 上单调递减，所以 ，解得 ，
若 ，即 时，函数在 上单调递增，所以 ，解得 （舍去），
综上可得 或 .
故选：BD
三、填空题
15．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数 的不等式，解之即可.
【详解】二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
因为函数 在区间 上是增函数，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
16．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数 ，若函数 与
在 上均为单调递增函数，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用分式函数、二次函数在 上的单调性求出 的范围得解.
【详解】由函数 在 上单调递增，得 ，解得 ，
由函数 在 上单调递增，得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
17．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）设函数 在 单调递增，则 的取值范
围为 ．
【答案】
【分析】由复合函数单调性“同增异减”原则，函数 在 上单调递增，且 在
上恒成立，建立不等式求解即可.【详解】由复合函数单调性“同增异减”原则，
函数 在 上单调递增，且 在 上恒成立，
已知二次函数 的对称轴为 ，所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
18．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实根
，且 ．则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得.
【详解】令函数 ，依题意， 的两个不等实根 满足 ，
而函数 图象开口向上，因此 ，则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .
故答案为：
19．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知 ，若幂函数 为奇函数，
且在 上严格单调递减，则 .
【答案】 或
【分析】由题意，结合幂函数的性质即可求解.
【详解】由幂函数的性质知， ，在第一象限内，当 时，函数单调递减，当 为奇数时，函
数为奇函数，
所以当 或 时，幂函数在 上单调递减，且为奇函数.故答案为： 或
20．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知幂函数 的图象过点 ，且 ，则实
数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由指数运算可得出 的值，可得出函数 的解析式，分析函数 的单调性，由
可得出关于 的不等式，解之即可.
【详解】因为 ，且 ，则 ，则 ，
因为函数 为 上的增函数，由 可得 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
21．（23-24高三上·四川眉山·期中）已知幂函数 的图象与坐标轴没有公共点，则
【答案】 /0.5
【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可.
【详解】由题意可知 或 ，
又当 时， 与坐标轴有交点，不符合题意；
所以 ，此时 .
故答案为：四、解答题
22．（2024·山东·二模）已知 是二次函数，且 ．
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求函数 的最小值和最大值．
【答案】(1) ；
(2) ， ．
【分析】（1）设二次函数为 ，根据题意，列出方程组，求得 的值，即可求
解；
（2）根据二次函数的性质，求得函数 的单调区间，进而求得其最值.
【详解】（1）解：设二次函数为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以函数 的解析式 ．
（2）解：函数 ，开口向下，对称轴方程为 ，
即函数 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ， ．
23．（22-23高三上·陕西·阶段练习）已知幂函数 在 上是减函数.
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求 的取值范围.【答案】(1)
(2)（2，5）.
【分析】（1）根据幂函数的性质可求得 的值.
（2）根据幂函数的单调性解不等式求参数.
【详解】（1）解：由题意得：
根据幂函数的性质可知 ，即 ，解得 或 .
因为 在 上是减函数，所以 ，即 ，则 .
故 .
（2）由（1）可得 ，设 ，
则 的定义域为 ，且 在定义域上为减函数.
因为 ，所以
解得 .
故 的取值范围为（2，5）.
24．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知函数 .
(1)求 的解析式；
(2)若为任意实数，试讨论 在 上的单调性和最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用配凑法，通过整体代换得到解析式；
（2）分别讨论 、 和 的情况，结合二次函数性质可求得结果.【详解】（1） ， .
（2）由（1）得： 为开口方向向上，对称轴为 的抛物线；
①当 时， 在 上单调递减， ；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
；
③当 ，即 时， 在 上单调递增，
；
综上所述：当 时， 在 上单调递减， ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， ；
当 时， 在 上单调递增， .
25．（22-23高二上·河南·开学考试）已知幂函数 为奇函数.
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得出 ，求得 或 ，代入解析式，结合 为奇函数，即可
求解；（2）由（1）得到 在 上为增函数，不等式转化为 ，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，幂函数 ，
可得 ，即 ，解得 或 ，
当 时，函数 为奇函数，
当 时， 为非奇非偶函数，
因为 为奇函数，所以 .
（2）解：由（1）知 ，可得 在 上为增函数，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
26．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知幂函数 是偶函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)函数 ， ，若 的最大值为15，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根据幂函数的特征，得 ，解得 或 ，检验 是偶函数，得出答案；
（2）求出 ，利用 的单调性，得 ，求解即可．
【详解】（1）由题知 ，即 ，解得 或 ．
当 时， ，不是偶函数，舍去，当 时， ，是偶函数，满足题意，
所以 ．
（2）由（1）知 ，且 图象的对称轴为 ，
所以 在 上是增函数，
则 ，
解得 或 ，
又 ，所以 ．
27．（23-24高三上·全国·期末）已知函数 为二次函数， 的图像过点 ，对称轴为 ，
函数 在R上最小值为 .
(1)求 的解析式；
(2)当 ， 时，求函数 的最小值（用m表示）；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设函数 ，由其对称轴及最值可得 ，再将点 代入，即
可求得 ；
（2）根据题意，由函数对称轴方程，分 ， 以及 讨论，即可得到结果.【详解】（1）设函数 ，
由对称轴为 ，函数 在 上最小值为 可得
，将 代入 可得 ，
故 .
（2） 的对称轴为 ，
时， 在 , 上递减，则 ，
时， 在 上递减，在 上递增，
故 ，
时， 在 上递增，故 ；
综上， ；
28．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数
(1)方程 在 有两个不等实数根，求 的取值范围．
(2)求解关于 不等式 ．
【答案】(1)
(2)答案见解析【分析】（1）由图象得出方程 在 有两个不等实数根，应满足的条件列出不等式组即得.
（2）根据方程 的判别式进行讨论即得.
【详解】（1）因为方程 在 有两个不等实数根，
由图知满足的条件为： 解得：
（2）由 得出
①若 时，即 或 ，方程 有两个相等的实数根为 ，
此时原不等式解集为 ；
②若 时，即 ，方程 无实数根.
此时原不等式解集为 ;
③若 时，即 或 ，
方程 有两个不相等的实数根分别为 ，或 ，此时原不等式解集为 ，
综上所述：
①当 或 ，不等式解集为 .
②当 或 ，不等式解集为 .
③当 ，不等式的解集为 ．
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知 ， ， ，则 ， ， 大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小即得.
【详解】依题意， ， ，而 ，
所以 ， ， 大小关系为 .
故选：A
2．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数 的图象经过点 ，下面给出的四
个结论：① ；② 为奇函数；③ 在R上单调递增；④ ，其中所有正确
命题的序号为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③
【答案】B
【分析】根据题求幂函数解析式，判断A；结合幂函数性质判断②③④.
【详解】对于①：由幂函数的定义可知 ，解得 ，将点 代入函数 得 ，解得 ，
所以 ，故①错误；
对于②：因为定义域为R，且 ，
所以 为奇函数，故②正确；
对于③：由幂函数的图象可知， 在R上单调递增，故③正确；
对于④：因为 ，且 在R上单调递增，所以 ，故④错误，
综上可知，②③正确，①④错误.
故选：B.
3．（23-24高三上·广东深圳·期末）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复合函数的单调性计算即可得.
【详解】令 ，对称轴为 ，
∵函数 在区间 上单调递增， 在 上单调递增，
∴ 在 上单调递增，且 ，
∴ 且 ，即 且 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：A.
4．（23-24高三上·河北邢台·期中）已知函数 是幂函数，且在 上单调递减，若 ，且 ，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
【答案】B
【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.
【详解】由 得 或 ，
时， 在 上是增函数，不合题意，
时， ，在 上是减函数，满足题意，
所以 ，
，则 ， ， 是奇函数，因此 ，
所以 ，即 ，
故选：B.
5．（23-24高三上·全国·阶段练习）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】换元，设 ，将 化为 ，根据二次函数的单调性即可求得答
案.
【详解】设 ，则 即为 ，
而 图像的对称轴为 ，故 在 上单调递增，
则 ，即 的增区间为 ，
而函数 在 上单调递增，故 ，即实数 的取值范围为 ，
故选：B
6．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程 至少有一个负根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据实数 是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解.
【详解】当 时，方程为 ，此时方程的根为负根，
当 时，方程 ，
当方程有二个负根时，则有 ，
当方程有一个负根一个正根时，则有 ，
综上所述：当关于x的方程 至少有一个负根时，有 ，
即关于x的方程 至少有一个负根的充要条件是 .
故选：D.
二、多选题
7．（2024高三·全国·专题练习）(多选)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－ ，－4]，则
实数m的取值范围可以是（ ）
A．[0，4] B．[ ，2]
C．[ ，2] D．[1，2]
【答案】BC【详解】
∵ y＝x2－3x－4＝(x－ )2－ ，作出函数y＝x2－3x－4在区间[0，m]上的图象如图所示．由图象可知，
当x＝ 时，ymin＝－ .令y＝x2－3x－4＝－4得出x＝0或x＝3.当0＜m＜ 时，函数y＝x2－3x－4在区
间[0，m]上单调递减，此时ymin＝m2－3m－4＞－ ，不符合题意；当 ≤m≤3时，且当x∈[0，m]时，
由图象可知ymin＝－ ，ymax＝－4，符合题意；当m＞3时，且当x∈[0，m]时，由图象可知ymin＝－
，ymax＝m2－3m－4＞－4，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围是[ ，3].故选BC.
8．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数 在 上单调，则实数 的值可以为
（ ）
A． B． C． D．3
【答案】BD
【分析】分别讨论 和 两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.
【详解】①当 ，即 时， ，所以 的
对称轴为 ，则 的图象如下：结合图象可知，要使函数 在 上单调，则 或 ，解得：
或 ，即 或 ；
②当 ，即 或 ，令 ，则 的对称轴为 ，则
的图象如下：
结合图象可知，要使函数 在 上单调，
则 ，或 ，或 ，或
解得： ，或 ，
综上： 或 ；
故选：BD
三、填空题
9．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数 的值域是 ．
【答案】【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，
【详解】
令 则 ，
由于 在 单调递减, 单调递增，
所以 ，故 的值域为 .
故答案为: .
10．（2024·北京延庆·一模）已知函数 在区间 上单调递减，则 的一个取值为
．
【答案】 （不唯一）
【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.
【详解】因为 在 上单调递增，又 在区间 上单调递减，
所以 可以为偶函数，不妨取 ，
此时 ，函数定义域为 ，
且 ，故 为偶函数，
满足在区间 上单调递减.
故答案为： （不唯一）
11．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）已知 ．若方程 有解，则实数a的
取值范围为 .
【答案】
【分析】将方程 有解转化为 有解；令 ，结合二次函数知识即可求得答案.
【详解】由题意知 有解，
即 有解；
令 ，
由于 ，当 时， ；当 时， ；
故 ，即 ，
故答案为：
12．（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知函数 的定义域是 ，则函数
的单调增区间为 .
【答案】 /
【分析】先根据定义域求出 的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.
【详解】因为函数 的定义域是 ，
所以 为 的两个根，
所以 则 ，
即 ，
令 ，则 在 单调递减，
令 ，
则 为开口向下，对称轴为 的抛物线，且 ，
所以 时， 单调递增； 时， 单调递减；因为 ，
所以函数 的单调增区间为 .
故答案为：
13．（22-23高一上·四川成都·期中）已知函数 是定义在 上的单调递增函数，则实
数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分段函数 在 上单调递增，则在两个分段区间上都单调递增，且在 上的最大值要不
大于 上的任意函数值，据此解答即可.
【详解】因为 在 上单调递增，
所以当 时， 在 上单调递增，
又因为 开口向下，对称轴为 ，
所以 ，故 ，且 在 上的最大值为 ，
当 时， 在 上单调递增，
所以由幂函数的性质可知 ，且 ，
故 ，得 ，
由于以上条件要同时成立，故 ，即 .
故答案为： .14．（23-24高一上·重庆·阶段练习）若关于x的方程 在 上有两个不等实根，
则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】设 ，得到 ，转化为 在 上有两个不等的实根，
设 ，列出不等式组，即可求解.
【详解】由方程 等价于 ，
设 ，可得 ，
即方程等价于 在 上有两个不等的实根，
设 ，
则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题
15．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知幂函数 是奇函数.
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求实数 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数得定义与性质求解即可；
（2）先判断出函数的单调性，由函数为奇函数可得不等式 ，即为不等式
，再根据函数的单调性结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为 是幂函数，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ，函数 为偶函数，不合题意，
当 时， ，函数 为奇函数，符合题意，
由上知 ；
（2）由（1）得 为 上的增函数，且是奇函数，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，
即实数 的取值范围 .
16．（23-24高一上·四川内江·期末）已知二次函数 的最小值为 ，且 是其一个零点， 都有
．
(1)求 的解析式；(2)求 在区间 上的最小值；
(3)若关于x的不等式 在区间 上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；
（2）分 和 讨论即可；
（3）通过分离参数法和基本不等式即可求出 的范围.
【详解】（1）因为对 都有 ，
所以 的图象关于直线 对称，
又因为二次函数 的最小值为 ，
所以可设二次函数的解析式为 ，
又因为 是其一个零点，
所以 ，解得 ，
所以 的解析式为 .
（2）由（1）可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，当 时， ，
当 时， ，
.（3）因为关于 的不等式 在区间 上有解，
即不等式 在 上有解，所以 ，
记 ，因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为4，
所以 ，即 ，
故存在实数 符合题意，所求实数 的取值范围为 .
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（2024·安徽淮北·二模）当实数 变化时，函数 最大值的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】先对内函数 对应的方程的根的情况分类讨论，得出 时，结果为16，对于 时，求
出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得.
【详解】若 ，即 时， ，其对称轴为 ， ，
此时，因 ，故 的最小值为16；
若 ，由 可得 ，（Ⅰ）如图1，当 时，即 时， 在 上递减，
在 上递增，
在 上递减，在 上递增，又 ，
① 当 时， ，故 ，而 在 上单调递
减，则此时， ；
② 当 时， ，故 ，而 在 上单调
递增，则此时， .
（Ⅱ）如图2，当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，则此时 ，而 在 上单调递减，则 .
综上，函数 最大值的最小值为8.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题主考查绝对值函数在给定区间上的最值问题，属于难题.
解决绝对值函数的方法，主要是根据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类讨论去掉绝对值，再利用
函数的单调性，即可求其最值.
2．（2023·河南·模拟预测）已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【详解】 ， ，即 ，
，
下面比较 与 的大小，构造函数 与 ，
由指数函数 与幂函数 的图像与单调性可知，
当 时， ；当 时，
由 ，故 ，故 ，即 ，所以 ，
故选：A
二、填空题
3．（23-24高一上·浙江台州·期末）若函数 在 上的最小值为1，则正实
数 的值为 .
【答案】
【分析】对参数 进行分类讨论，根据分段函数的单调性和最值，即可求得结果.
【详解】由题可得 ,
因为函数 在 上的最小值为1，
当 时，在 上， 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，解得 （舍）；
当 时，在 上 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，解得 （舍）；
当 时，在 上， 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，解得 .
故答案为：
4．（23-24高一上·四川成都·期中）若函数 在区间 上同时满足：① 在区间 上是单
调函数，②当 时，函数 的值域为 ，则称区间 为函数 的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，则实数 的取值范围 .
【答案】
【分析】由二次函数的性质可得函数 单调区间，分类讨论结合二次函数根的分布分别求
解，最后再求并集即得答案.
【详解】函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
若 ，则 ，
由 ， ，可知 在 有两个不等根.
设 ，
所以 ，则 ，∴ .
若 ，则 ，
由 ， ，
两式相减可得 ，知 ，
从而 ，即 ，
同理可得 ，设 ，
所以 ，则 ，所以 .综上， 范围是 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于一元二次函数零点分布（一元二次方程根的分布）求解参数问题，往往要分析下
面几个因素：1、二次项系数符号；2、判别式；3、对称轴的位置；4、区间端点值的符号，结合图象列不
等式求解即可.
