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考点 04 指对幂函数（核心考点讲与练）
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N ，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝
+
(a>0，m，n∈N，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
+
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 00时， y > 1； 当x<0时， y > 1；当x<0时， 0 0时， 0 0，且a≠1).其中，
a a
数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
5.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alog N＝N；②logab＝b(a>0，且a≠1).
a a
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log(MN)＝log M ＋ lo gN；
a a a
②log＝log M － lo gN；
a a a
③logMn＝ n lo gM(n∈R)；
a a
④log m Mn＝logM(m，n∈R，且m≠0).
a a
(3)换底公式：log N ＝ (a，b均大于零且不等于1).
b
6.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logx(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
a
(2)对数函数的图象与性质
a>1 01时，y>0； 当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
7.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 y＝ax y＝logx y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过
(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数 a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分 01两种情况分类讨论.
4.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
a
当a>1且01时，log b<0.
a
5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把
不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线 y＝1交点的横坐标进行判
定.指数函数
一、单选题
1．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知 是正实数，函数 的图象经过点 ，则
的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．2
【答案】B
【分析】将 代入 ，得到 ， 的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．
【详解】由函数 的图象经过 ，则 ，即 ．
，当且仅当 时取到等号．
故选：B．
2．（2022·江西上饶·二模（理））函数 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案．【详解】当 ， ，函数为奇函数，排除C；
，排除AD；
故选：B.
3．（2022·河北秦皇岛·二模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】因为 ， ， ，
所以 .
故选：B
4．（2022·浙江嘉兴·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解出集合 ，再计算 即可.
【详解】 ，故 .
故选：A.
二、多选题
5．（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】设 ，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选
项得答案．
【详解】解：设 ，则 ， ， ，所以
，
即 ，所以 ，所以 ，故D正确；
由 ，所以 ，故A正确，B错误；
因为 ， ，
又 ，所以 ，即 ，故C正确；
故选：ACD
三、填空题
6．（2022·江苏南通·模拟预测）若 ，则 的最小值为_________．
【答案】
【分析】把 表示成 的函数，再借助均值不等式求解作答.
【详解】依题意， ， ，则 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，此时， ，
所以，当 时， 取最小值 .
故答案为：
7．（2022·辽宁锦州·一模）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
___________.
【答案】【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为 ，列式求实数a的取值范围.
【详解】当 时， ，当 时， ，
因为函数的值域为 ，所以 ，解得： .
故答案为：
8．（2022·山西·二模（理））已知函数 给出下列结论：① 是偶函数；② 在
上是增函数；③若 ，则点 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．
【答案】①③
【分析】对于①：利用偶函数的定义进行证明；
对于②：取特殊值： ，否定结论；
对于③：直接表示出点 与原点连线的斜率为 ，并判断 .
【详解】
函数 的定义域为 .
对于①：因为 ，所以 是偶函数.故①正确；
对于②：取特殊值：由 ， ，得到 ，不符合增函数，
可得②错误；
对于③：当 时，点 与原点连线的斜率为 .因为 ，所以 ，所以
，所以 .故③正确；所以正确结论的序号为①③．
故答案为：①③
9．（2022·福建龙岩·一模）已知函数 ，若方程 有解，则实数 的
取值范围是_________．
【答案】
【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.
【详解】由题意得： 有解
令
有解，即 有解，显然 无意义
,当且仅当 ，即 时取等，
故答案为： .
10．（2022·海南·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则 _________．
【答案】
【分析】由已知可得不等式 的解集为 ，可知 为方程 的根，即可求得实数 的
值.
【详解】由题意可知，不等式 的解集为 ，则 ，解得 ，
当 时，由 ，可得 ，解得 ，合乎题意.
故答案为： .
对数函数
一、单选题1．（2022·辽宁锦州·一模）若 ， ，则x，y，z的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先指对互化得 ， ，再结合对数函数的性质判断 的范围和大小，再结合对
数函数的单调性比较x，y，z的大小关系.
【详解】 ， ， ， ，
， ， ， ，且 ，
即 ， ，
根据函数的单调性可知， ，即
.
故选：A
2．（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信
号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数
中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至5000，则C大约增
加了（ ）（附： ）
A．20% B．23% C．28% D．50%
【答案】B
【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.
【详解】将信噪比 从1000提升至5000时，C大约增加了.
故选：B.
3．（2022·北京顺义·二模）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解．
【详解】由题意 ，解得 ．
故选：A．
4．（2022·河南新乡·二模（文））函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用定义域和奇偶性排除选项D，再利用特殊值排除选项A、C.
【详解】因为 的定义域为 ，
且 ，
所以 为偶函数，其图象关于 轴对称，故排除选项D；
又 ，所以排除选项A；
又 ，所以排除选项C.
故选：B．
5．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数 在 上为减函数，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析可知内层函数 在 上为增函数，且有 ，可得出关于实数
的不等式组，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】令 ，因为外层函数 为减函数，
所以内层函数 在 上为增函数，则 ，得 ，
且有 ，解得 .
综上所述， .
故选：C.
6．（2022·山西·二模（理））已知 是 的一个零点， 是 的一个
零点， ，则（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】A
【分析】利用导数研究函数 的单调性得 仅有1个零点，且 ，结合函数 的单调性与零点的存在性定理得 ，根据对数运算得 ，进而 ，再根据范围得大小.
【详解】解：因为 ， ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，在 上是减函数，
因为 ，所以 仅有1个零点，
因为 ，所以 ，
因为 是增函数，且 ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 .
故选：A．
二、多选题
7．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知函数 是偶函数，则（ ）
A． B． 在 上是单调函数
C． 的最小值为1 D．方程 有两个不相等的实数根
【答案】BD
【分析】根据偶函数定义求得 ，由复合函数的单调性得出 的单调性，从而可判断各选项．
【详解】 是偶函数，则 ， ， ， 恒成立，所以
，A错；
，
由勾形函数性质知 在 时是增函数，又 在 时有 且为增函数，
所以 在 上是增函数，B正确，为偶函数，因此 在 上递减，所以 ，C错；
易知 时， ，即 的值域是 ，
所以 有两个不相等的实根．D正确．
故选：BD．
8．（2020·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】首先根据函数的解析式得到 关于直线 对称，那么函数 图像只取
, 的部分图像， 的图像将对数函数在 轴下方的图像翻到上方即可，从
而得到 的范围，进而判断AB选项；令 得到 ，从而得
到 ；又 时， ，再根据基本不等式求解范围即可.
【详解】当 时， .
设函数 ，则有 ， ，
，故 是偶函数，且最小值为0.
当 时， ，
所以 在 上单调递增，又 是偶函数，所以 在 上单调递减.
把 的图象向左平移一个单位长度，
得到函数 的图象，
故函数 的图象关于直线 对称，
故可得到函数 在 上的图象.
作出函数 的大致图象，如图所示.
又 ，故函数 的图象与 轴的交点为 .
作平行于 轴的直线 ，
当 时，直线 与函数 的图象有四个交点.
数形结合可知 ，故A错误；
由 ，得 ，
又根据题意知 ，
所以 ，即 ，
即 ，所以 ，故B正确；
令 ，则 ， ，得 ， ，
因此 ，故 正确；
又 时， ，
且函数 在 上单调递增，
所以 ，故D正确.
故选：BCD
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
三、双空题
9．（2022·河北石家庄·二模）已知函数 ，若存在实数 .满足
，且 ，则 ___________， 的取值范围是
___________.
【答案】 1
【分析】作出函数 的图象，结合图象可知 之间的关系，利用此关系直接求出 ，再将
转化为关于 的二次函数求范围即可.
【详解】
作出函数 的图象，如图，因为 ，
所以由图可知， ，即 ， ，且 ，
，
在 上单调递增，
，
即 的取值范围是 .
故答案为：1；
四、填空题
10．（2022·海南·模拟预测）若对任意的 且 ，函数 的图象恒过定点P，则点P
的坐标为___________.
【答案】（2，1）
【分析】根据对数函数的图象和性质，令 ，解得 ，进而得出点P坐标.
【详解】令 ，解得 ，
则 ，
所以点P的坐标为（2，1）.
故答案为：（2，1）.
11．（2022·江西赣州·二模（理））若函数 在 上是减函数，则 的取值范围
是___________.【答案】
【分析】根据定义域可以推出 ，根据 是减函数，且 在 上是减函数，可得
，从而可得 .
【详解】由题意可得 且 ，
因为函数 在 上是减函数，所以 ，
所以 ，即 ， 是减函数，
由于 在 上是减函数，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
五、解答题
12．（2020·全国·一模（文））（1）已知 ， ， ，证明： ；
（2）已知 ， ， ，且 ，若 恒成立，求实数k的最
大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）3.
【分析】（1）由基本不等式可得 ，同理可得 ， 的范围，化简整理即可
得证.
（2）利用换底公式可得 ，同理可将 化简，代入原式，可得 ，
又 同理可将 变形，代入，结合（1）结论，即可求得结果.
【详解】（1）证明：由 ， ，得 ，即 ，同理 ， ，
以上三式相加，得
（当且仅当 时取等号），
故 成立.
（2）解： =
= ，
根据（1），得
=
所以， ，故实数k的最大值为3.
【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，对数的计算与化简，考查计算化简，分析求值
的能力，属中档题.
幂函数
一、单选题
1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断.
【详解】A. 函数 的定义域为 ，值域为R；
B. 函数 的定义域为R，值域为 ；
C. 函数 的定义域为R，值域为R；D. 函数 的定义域为 ，值域为 ，
故选：C
2．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知幂函数 是定义在区间 上的奇函数，则
（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由奇函数定义域的对称性得 ，然后可得函数解析式，计算函数值．
【详解】因为幂函数在 上是奇函数，所以 ，所以 ，所以
，
故选：A．
3．（2021·江西·模拟预测）已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解.
【详解】解：因为 为幂函数
所以
又 的图象过点
即
解得
所以
故选：C.
4．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知幂函数 和 ，其中 ，
则有下列说法：
① 和 图象都过点 ；② 和 图象都过点 ；
③在区间 上，增长速度更快的是 ；
④在区间 上，增长速度更快的是 .
则其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】A
【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可
【详解】幂函数的图象过定点 ，①正确，
在区间 上， 越大 增长速度更快，③正确，
故选：A.
5．（2022·全国·贵阳一中二模（文））下列函数中是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依次判断4个函数的单调性即可.
【详解】A选项为增函数，错误；B选项 ，为增函数，错误；C选项 在 为增函
数，在 为减函数，错误；D选项 为减函数，正确.
故选：D.
6．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对于A、B，构造函数，借助函数单调性比大小；
对于C， 没有意义；
对于D，取特值判断.【详解】对于A，构造函数 ，因为 单调递增，又 ，所以 ， ，
，故A答案不对；
对于B ，构造函数 ，因为 单调递增，又 ，所以 ， ，故B答案
正确；
对于C， ， 没有意义，故C答案不对；
对于D，取 时， ，故D答案不对；
故选：B.
二、多选题
7．（2022·全国·模拟预测）已知实数 ,且 ,则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用均值不等式可判断A；取 可判断B；借助幂函数 的单调性，结合 可判断
C；作差法可判断D
【详解】由于 ，
由均值不等式 ，当且仅当 时等号成立
选项A， ，当且仅当 时等号成立，故A正确；
选项B，由于 ，当 时， ，故B错误；
选项C，由于 ， ，故 ，即
由于 在 单调递增，故 ，故C错误；
选项D， ，由于 ，故 ， ，故D正确
故选：AD
8．（2021·山东·模拟预测）已知实数 ， 满足 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．若 ， ，则
C．
D．若 ， ，则
【答案】BCD
【分析】由 ，根据 为 上的增函数，所以 ，再逐项分析判断即可得解.
【详解】因为 为 上的增函数，所以 .
因为函数 在 上有增有减，所以A中的不等式不恒成立，A错误；
因为函数 在 上单调递减，
所以当 ， ， 时， ，故B正确；
因为 在 上单调递增，所以当 时， ，故C正确；
因为函数 在 上单调递增，
所以当 ， ， 时， ，故D正确.
故选：BCD.
9．（2021·全国·模拟预测）已知e为自然对数的底数，则下列判断正确的是（ ）
A．3e﹣2π＜3πe﹣2 B．πlog e＞3log e
3 π
C．log e D．πe＜eπ
π
【答案】BCD
【分析】由幂函数 在 上递减，即可判断A；根据对数性质有 ，即可判断B；构造函数 ，求导判断单调性即可判断C；根据C中的结论可判断D．
【详解】对于A，因为 在 上递减，则 ，所以 ，故A错；
对于B，由于 ，则 ，故B正确；
对于C，设 ，则
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 单调递减，则 ，得 ，故C正确；
对于D，由C项知 ，则 ，即 ，所以 ，故D正确．
故选：BCD.
10．（2021·山东潍坊·三模）已知函数 （ 且 ）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与
函数解析式对应正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由函数图象过点 可得 的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.
【详解】由图可得 ，即 ，单调递减过点 ，故A正确；
为偶函数，在 上单调递减，在 上单调递增，故B正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D正确；
故选：ABD.
三、填空题
11．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ______．
① ；
②当 时， ；
③ ；
【答案】 （答案不唯一）；
【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式.
【详解】由所给性质： 在 上恒正的偶函数，且 ，
结合偶数次幂函数的性质，如： 满足条件.
故答案为： （答案不唯一）
12．（2022·四川泸州·模拟预测（文））已知当 时，函数 的图象与 的图象有
且只有一个公共点，则实数 的取值范围是________.
【答案】 ##
【分析】根据题意画出图象，结合图象即可求解结论．【详解】函数 过定点 ，如图：
结合图象可得： ，
故答案为： ， ．
13．（2022·北京通州·一模）幂函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，能
够使 是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
【答案】1， （答案不唯一）
【分析】根据幂函数在 上的单调性得到 ，再根据 是奇函数可以得到幂函
数 和幂函数 都是奇函数，从而可得 的很多组值.
【详解】因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，
因为幂函数 在 上单调递减，所以 ，
又因为 是奇函数，所以幂函数 和幂函数 都是奇函数，所以 可以是 ， 可以是
.
故答案为：1， （答案不唯一）.一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较 、 与 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】 ，即 .
故选：C.
2．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常
用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根据 关系，当 时，求出 ，再用指数表示 ，即可求解.
【详解】由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.
3．（2020·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 的大小关系.
【详解】因为 ，
，，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数
函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
4．（2020·全国·高考真题（理））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真
数与 的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
5．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13A．a
