文档文本内容
专题5-2 三角函数的概念
【题型1】利用三角函数的定义求值（3 种类型）
【题型2】三角函数的符号与所在象限判断
【题型3】求任意角的三角函数值
【题型4】单位圆上的动点与旋转点
【题型5】对sinα，cosα，tanα 的知一求二问题
【题型6】正、余弦齐次式的计算
【题型7】sinα±cosα、sinαcosα 关系应用
【题型8】利用同角关系化简求值
【题型9】证明三角恒等式
一、三角函数的定义
1、定义：设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x , y)，则：
叫做
的正弦函数，记作
.即
；
叫做
的余弦函数，记作
.即
；
叫做
的正切函数，记作
.即
。
2、三角函数定义域：正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
3、三角函数另一种定义：设点
（不与原点重合）为角α 终边上任意一点，点P 与原点的
距离为：
，则：
，
，
.
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关
二、三角函数值的符号及公式一
1、三角函数值的符号
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
【注意】（1）由三角函数的定义可知，角的三角函数值的符号由角的终边上任意一点的坐标确定
的，准确确定角的终边的位置是判断三角函数值符号的关键；
（2）要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
2、诱导公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得
到诱导公式一
sin(α+2kπ )=sinα
cos(α+2kπ )=cosα
tan(α+2kπ )=tanα 其中k ∈Z
【注意】（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围
内角的三角函数值．
（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．
三、特殊角的三角函数值
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3 π
4
5 π
6
π
3 π
2
0
1
2
√2
2
√3
2
1
√3
2
√2
2
1
2
0
－1
1
√3
2
√2
2
1
2
0
-1
2
-√2
2
-√3
2
－1
0
0
√3
3
1
√3
−√3
－1
−√3
3
0
【题型1】利用三角函数的定义求值（3 种类型）
三角函数的定义求值中常见的三种题型及解决方法
1、已知角
的终边上一点
的坐标，求角
的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2、已知角
的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角
有关的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求
出未知数，从而求解问题；
3、已知角
的终边所在的直线方程（
，
），求角
的三角函数值
方法：先设出终边上的一点
，求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求
解（注意
的符号，对
分类讨论），结论：
【例题1】若角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为角
的终边经过点
，则
.故选：D
【例题2】已知
是角
的终边上一点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义求出
的值，再根据三角函数的定义进行求值即可.
【详解】由三角函数的定义知:
，
所以
.
【例题3】已知角
的终边落在直线
上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论.
【详解】设直线
上任意一点P 的坐标为
（
），
则
（O 为坐标原点），
根据正弦函数的定义得：
，
时，
；
时，
，
所以选项D 正确，选项A，B，C 错误
【巩固练习1】如果角
的终边过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先算点P 坐标，然后由三角函数定义可得.
【详解】由题可得
，因为
，所以
.
【巩固练习2】若角
的终边经过点
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数定义可得.
【详解】因为角
的终边经过点
，则
，
所以
，
所以
.
【巩固练习3】已知角
的顶点为原点，起始边为
轴非负半轴，若点
是角
终边上一点，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义可得出关于
的等式，即可解出
的值.
【详解】因为点
是角
终边上一点，且
，
由三角函数的定义可得
，则
，解得
.
【巩固练习4】（2023·江苏盐城·高一校联考期末）已知角
终边经过点
，且
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为角
终边经过点
，所以
，
所以
，解得
.故选：C
【巩固练习5】已知角
的终边经过点
，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据三角函数的概念求解
，即可得
的值.
【详解】已知角
的终边经过点
所以
，
则当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
所以
的值可能为
或
.
【巩固练习6】如果角
的终边在直线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为角
的终边在直线
上，所以
.
所以
【题型2】三角函数的符号与所在象限判断
简记：
；
；
.
【例题1】已知
，
，则角
的终边位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，即可求解.
【详解】由
，
，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，
可得角
的终边位于第四象限.
【例题2】已知点
是第三象限的点，则
的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵点
是第三象限的点，∴
，
，
由
可得，
的终边位于第二象限或第三象限或x 轴的非正半轴；
由
可得，
的终边位于第一象限或第三象限，
综上所述，
的终边位于第三象限．故选:C
【巩固练习1】已知
，
，则角
的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】根据所给条件得到
、
，
，即可判断.
【详解】因为
，即
，
又
，所以
，即
，所以
，
所以角
的终边在第三象限.
【巩固练习2】若
，
，则
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【解析】由
，
，得
，
，
所以
是第一象限角.故选：A.
【巩固练习3】若
是第二象限角，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若α 是第二象限角，则
，故A 错误；
为第一、三象限角，则
，故B 正确；
，故C 错误；
，故D 错误.
【巩固练习4】（多选）若
，则
可能在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】BCD
【分析】对角
的终边的位置进行分类讨论，求出
的值，即可得出结论.
【详解】当
是第一象限角时，
，故
一定不是第一象限角；
当
是第二象限角时，
，即
可以是第二象限角；
当
是第三象限角时，
，即
可以是第三象限角；
当
是第四象限角时，
，即
可以是第四象限角．
【题型3】求任意角的三角函数值
求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
【例题1】
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
.故选：D.
【巩固练习1】
的值为（ ）
A．－
B．
C．－
D．
【答案】D
【解析】
故选：D.
【巩固练习2】“
”是“
”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
，则
；
若
，不一定有
，
例如
，则
；
综上所述：“
”是“
”成立的充分不必要条件.故选：A.
【题型4】单位圆上的动点与旋转点
考虑做垂线构造特殊直角三角形，通过三边之比求坐标
【例题1】（2024·高一·安徽合肥·阶段练习）已知平面直角坐标系
，点
在半径为2 的圆
上，
现点
从圆
与
轴非负半轴的交点
出发按顺时针方向运动了
圆周，则此时点
的纵坐标为
.
【答案】1
【解析】由题意，点
顺时针转过了
角，
故
，
.
【巩固练习1】在直角坐标系
中，若点
从点
出发，沿圆心在原点，半径为3 的圆按逆时
针方向运动
到达点
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，作出图示如下：
根据题意可得
，
，作
轴且垂足为
；
利用三角函数定义可得
，
；
又
点在第四象限，所以点
的坐标为
.
【巩固练习2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系
中，动点
、
从点
出发在单位圆上运动，点
按逆时针方向每秒钟转
弧度，点
按顺时针方向每秒
钟转
弧度，则
、
两点在第
次相遇时，点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】相遇时间为
秒，
故
转过的角度为
，
故对应坐标为
，即
.
【巩固练习3】在直角坐标系
中，一个质点在半径为2 的圆O 上，以圆O 与x 正半轴的交点
为起点，沿逆时针方向匀速运动到P 点，每
转一圈，则
后
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知，一个质点在圆O 上每
逆时针方向转一圈，
那么
后，到达P 点，所以
，
而在
中，
且为圆的半径，
取
的中点T，如图，则
，
所以
，则
，
所以
，故选：C
【题型5】对sinα，cosα，tanα 的知一求二问题
(1)若已知
或
，可以先应用公式
，根据角终边所在的象限，判断三角
函数的符号，求得的值，再由公式
求得
的值．
(2) 若已知
，可以应用公式
，再代入
，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号。
【例题1】计算：
(1)已知
，
，求
的值.
(2)已知
，求
，
的值
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由商数关系及平方关系，结合角的范围求
即可；
（2）讨论
为第二或第三象限角，结合同角三角函数关系求正弦、正切值.
【详解】（1）由
，
得：
，
又
，所以
.
（2）因为
，所以
为第二或第三象限角，又
.
若
为第二象限角，则
；
若
为第三象限角，则
.
【巩固练习1】设
为第二象限角，若
，则
.
【答案】
/
【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出
，求和即可.
【详解】
为第二象限角，则
，
，
若
，则有
，解得
，
所以
.
【巩固练习2】若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
又因为
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
.故选：C
【巩固练习3】（1）若
是
的一个内角，且
，求
的值;
（2）若
，求
的值;
【答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】根据同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可；
【详解】解:（1）若
是
的一个内角，且
，
所以
，
所以
所以
（2）因为
，所以
是第一、第二象限角.
当
是第一象限角时，
此时
；
当
是第二象限角时，
此时
，
综上，当
是第一象限角时，
;当是
第二象限角时，
.
【题型6】正、余弦齐次式的计算
解题思路
(1)对只含有
的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化
为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．
(2)对于形如
或
的分式，分子、分母同时除以
，
，将
正、余弦转化为正切，从而求值．
(3)对于形如
的式子，将其看成分母为1 的分式，再将分母1 变形
为
，转化为形如
的式子求值．
【例题1】已知
，则
的值为（ ）
A．
B．1 C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
.故选：C.
【例题2】（23-24 高一上·湖北·期末）已知
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】由齐次式法结合平方关系即可求解.
【详解】
.
【例题3】已知
，则
.
【答案】2 或
【解析】由
两边平方得
，
解得
，
所以
，即
，解得
或
.
【巩固练习1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知
，
则
，故选：D
【巩固练习2】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
或1
D．
或1
【答案】B
【分析】利用弦化切可得出关于
的等式，即可求得
的值.
【详解】因为
，解得
.
【巩固练习3】（23-24 高一上·江苏无锡·期末）已知
是关于
的方程
的一个实根，
且
是第一象限角，求
的值；
【答案】
．
【分析】解方程
，求出
，利用同角三角函数关系式能求出结果．
【详解】解方程
，得
，
，
是关于
的方程
的一个实根，且
是第一象限角，则
，
【巩固练习4】已知
，求：
（1）
；（2）
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
；
（2）
=
.
【巩固练习5】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意可得
，根据齐次式法可得
，即可得结果.
【详解】因为
，可得
，
可得
，
所以
.
【巩固练习6】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知求出
，再利用“1”的变换，将所求的式子化为关于
的齐次分式，
化弦为切，即可求解.
【详解】若
，则
，不合题意，所以
，
由
，可得
，解得
，
所以
.
【题型7】sinα±cosα、sinαcosα 关系应用
对于
，
，
这三个式子，知一可求二：
但是要特别注意角的象限决定正负号。
【例题1】（高一上·山东青岛·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将题设条件等式两边平方，可得
，再将目标式平方并结合角的范围即可求
.
【详解】
，则
，
而
，又
，
∴
，则
.
【例题2】（22-23 高一上·广东深圳·期末）已知
，
是关于x 的方程
的两根，
则实数
．
【答案】
【分析】利用韦达定理列出关于m 的方程，再利用同角之间的基本关系，即可求解．
【详解】由
，
是关于
的方程
的两根，所以
，
由
，可得
，则
，
经检验符合题意，所以实数
的值为
.
【例题3】（23-24 高一上·安徽亳州·期末）已知
，
则
.
【答案】
【分析】平方相加可得
，即可根据角的范围求解.
【详解】将两式平方
,
相加得
，即
，
因为
，所以
，所以
.
【例题4】（23-24 高一上·广东佛山·期末）已知
是方程
的两个实数根．
(1)求
的值：
(2)若
为第二象限角，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可确定m 的范围，再结合根与系数的关系以及同角的三角函数关系，即可
求得答案；
（2）根据角
所在象限，确定
的正负，平方后结合同角的三角函数关系，化简求值，
即可求得答案.
【详解】（1）由题意知
是方程
的两个实数根，
故
；
且
，
因为
，故
，
解得
，满足
，
故
；
（2）因为
为第二象限角，所以
，则
，
由（1）知
，
所以
，
则
.
【巩固练习1】（23-24 高一上·四川成都·期末）（多选）已知
，则下
列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用三角函数基本关系
和完全平方公式、三角函数值的正负求解.
【详解】将
平方得
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
，
，
所以
，
因为
，所以
，
根据
解得
，
所以
.
故选：ACD.
【巩固练习2】（23-24 高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α 为锐角，且
则下
列选项中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】由同角的三角函数基本关系逐项分析即可得解.
【详解】因为
，所以
，而α 为锐角，
所以
，故A 错误；
由
，两边平方可得
，故C 正确；
因为α 为锐角，
所以
，故D 正确；
由
，故B 错误.
【巩固练习3】（23-24 高一上·江苏常州·期末）已知
为第二象限角，且满足
，
则
．
【答案】
【分析】平方得到
，变换得到
，解得
，
，
解得答案.
【详解】
，则
，即
，
故
，
为第二象限角，故
，
，
，
解得
，
，故
.
【巩固练习4】（23-24 高一上·浙江·期末）若
，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用同角的三角函数关系求出
，判断
的范围，确定
，结合齐次
式法求值求出
，即可求得答案.
【详解】因为
，故
，
即
，得
，
则
，且
，
所以
，
所以
，则
，
故
【巩固练习5】（23-24 高一上·广东深圳·阶段练习）已知
是关于x 的方程
的两个根
，则
．
【答案】
【分析】根据根与系数关系可以求得
，然后利用
，求出
的值，
然后
即可求解.
【详解】由题意得：
，
是
的两个根，即：
，解得：
或
，
由根与系数的关系得：
，所以：
，
即：
，解得：
，
（舍去），
.
【巩固练习6】（23-24 高一上·广东广州·期末）已知
．
(1)求
的值；(2)求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据题意，结合同角三角函数的关系，借助平方差，平方和公式计算即可;
（2）由（1）问，将
的分母展开代入即可.
【详解】（1）
，解得：
，
，解得：
，
，
，
，
．
（2）由（1）知，
，
,
.
【巩固练习7】（23-24 高一上·江苏无锡·期末）已知
，且
，求
的值．
【答案】
．
【分析】由
且
，得
，从而
，
再由
，能求出结果．
【详解】
，且
，
，则
，而
，
则
，故
，
【巩固练习8】（23-24 高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知关于
的方程
的两
个根分别为
和
，且
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；(3)求方程的两根及
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)两根为
，
；
或
.
【分析】（1）由
和
是方程的两个根得
，利用商数关系，求出代数式
的值；
（2）利用平方关系，和
，求得m 的值.
（3）解方程，得
和
的值，由
，得
的值.
【详解】（1）因为
和
是方程的两个根，所以
，
原式
.
（2）因为
，所以
，
所以
，解得
.
（3）由（2）可知，
，所以方程
的两根为
，
，
所以
或
，又因为
，所以
或
.
【题型8】利用同角关系化简求值
1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系
求解
2 、知弦求切：常通过平方关系，与对称式
，
建立联系，注意
的灵活应用
【例题1】已知
，则
的值为 ．
【答案】3
【解析】
【例题2】化简：
．
【答案】
【解析】
．
【例题3】已知
，
，且
是第二象限角，则实数
的值为 ．
【答案】
【分析】根据角所在象限，结合同角的三角函数关系，列出不等式和相应等式，即可求得答案.
【详解】由题意
，
，且
是第二象限角，
可得
，
解
，可得
或
，
当
时，不满足
，
适合题意，
故实数
的值为
【巩固练习1】（23-24 高一上·江苏盐城·期末）若
，
，则
．
【答案】0 或
【分析】根据
，代入整理求解得出
的值，进而得出
的值，即可得出
答案.
【详解】由已知可得，
，
所以，
，
整理可得，
，解得
或
.
当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
.
综上所述，
或
.
【巩固练习2】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
即
，即
，
显然
，所以
，则
，
又
，所以
，所以
.
【巩固练习3】（23-24 高一上·江苏南通·期末）已知
.
(1)化简：
；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用所给范围，结合同角关系式进行化简；
（2）利用
关系式和范围，求出
、
的值，化简式子代入即可.
【详解】（1）原式
因为
，所以
，所以原式
（2）因为
，所以
，即
，
所以
.
所以
.
因为
，所以
.所以
.
所以
.
所以
.
【巩固练习4】（23-24 高一上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系
中，已知角
的终边经过点
，其中
.
(1)求
的值；(2)若
为第二象限角，求
的值.
【答案】(1)
时,
；
时,
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义求解；
（2）由
为第二象限角得
，利用同角三角函数关系式得
，代入计算即可.
【详解】（1）因为
,
,所以
，
当
时，
；
当
时，
，
综上，
时，
；
时，
.
（2）因为
为第二象限角，所以
，
则
，
所以
【题型9】证明三角恒等式
解题思路：证明三角恒等式常用的方法
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0 或＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
【例题1】证明：
.
【答案】证明见解析.
【分析】根据平方关系将所证等式的左侧化简，再根据商的关系将其转化为正切即可.
【详解】左边
右边.
所以
.
【例题2】证明：
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：
，
即
.
【巩固练习1】求证：
.
【详解】证明：
.
【巩固练习2】已知
，
．求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】由切化弦，可将等式左边化为
，再通分即可证与右边相等.
【详解】∵
，
，
∴
且
，
，得证.
【巩固练习3】证明：
【分析】利用同角三角函数的基本关系分别化简左右两边可证.
【详解】
，
，
.
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可
联系微信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
