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限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气：
作业 02 三角恒等变换
1. 正弦的和差公式
，
2. 余弦的和差公式
，
3. 正切的和差公式
，
4. 正弦的倍角公式
5. 余弦的倍角公式
升幂公式： ，
降幂公式： ，
6. 正切的倍角公式
7. 推导公式
8. 辅助角公式
， ，其中 ，
一、单选题
1． 的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】利用诱导公式及两角和与差的三角函数公式化简求值.
【详解】因为 .
学科网（北京）股份有限公司故选：C
2．计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正切两角差的公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
故 .
故选：A
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由所给等式利用同角三角函数的关系可求得 ，再利用降幂公式及二倍角公式将
整理为 ，代入相应值即可得解.
【详解】 ， ，即 ， ，
.
故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，属于中档题.
4．若 ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司【分析】由辅助角公式和两角和与差的正弦公式化简已知式可得 ，则
，即可求出答案.
【详解】因为
，
所以 ，
，即 ，
所以 ，可得 ．
故选：D.
5．已知 为第一象限角，若函数 的最大值是2，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换整理得 ，结合最大值
，解得 ， 代入运算求得结果.
【详解】由题意可得，
，
则 ，解得 ，又 为第一象限角， ，
所以
.
故选：A.
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司6．设函数 ，若函数 为偶函数，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据三角函数变换结合条件可得 ，进而 ，即
得.
【详解】因为 ，
所以 ，又函数 为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 的值可以是 ， .
故选：BC.
7．已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由同角三角函数的基本关系求出 、 ，即可判断B，由 得
到 ，再结合两角和的余弦公式即可求出 ， ，即可判断A，再
由二倍角公式判断C，最后由 ，即可判断D.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，故B错误；
又 ，即 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
所以 ，故A正确；
，故C正确；
因为 ，
因为
，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
8．已知 ，则（ ）
A． 、 ，使得
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 、 ，则 的最大值为
【答案】BC
【分析】由 无解可判断A；根据题意求得 ，结合两角差的正弦公式，可判
定B；结合两角和的正弦公式，求得 ，利用余弦的倍角公式，可判定C；化简
，结合函数单调性，可判定D.
【详解】对于A，若 ，由 可得 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以方程无解，故A错误；
对于B，因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，由选项B可知， ，
所以 ，故C正确；
对于D，因为 ， ，
所以 ，
令 ，则 在 上单调递减，无最小值，
所以 在 上无最大值，故D错误.
故选：BC
三、填空题
9．已知 ，则 .
【答案】
【分析】利用诱导公式和余弦二倍角公式求出答案.
【详解】
.
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
10．已知 ， ， ， ，则 .
【答案】 /
【分析】由题先利用两角和正切公式求出 ，再利用 的范围求出角即可.
【详解】因为 ， ， ， ，
所以 ，因为 ，所以 .
故答案为：
四、解答题
11．已知 ，且 ．
(1)求 的值：
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正切公式和两角差的正切公式即可求解；
（2）根据已知角的范围及三角函数值，结合同角三角函数的平方关系和商数关系求出 ，由二倍
角的正切公式求出 ，再由 及差角正切公式求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
，
则 ，
因为 ，所以 .
12．已知 ．
(1)求 和 的值;
(2)求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）根据 求得 ，利用正余弦和角公式，即可求得 ；利用 配凑出
，再结合正弦的差角公式以及已知条件，即可求得结果；
（2）根据 求得 ，再根据正弦的倍角公式，结合已知数据，整理化简即可求得结果.
【详解】（1） ，故 ，则 ， ，
由 可得 ；由 可得 ，
两式相加可得 ，故 ；
学科网（北京）股份有限公司.
（2）由（1）知， ，又 ，故 ， ；
.
1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用正弦和正切的和差角公式，化简得到 ，再平方即可求出结果.
【详解】因为
，
，得到 ，
故选：A.
2．若 ，则 的大小关系
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角正弦公式对 化简；由正切差角公式对 化简；由二倍角公式对 化简；最后由余弦函
数的单调性比较大小即可.
【详解】因为 ，
由 所以 ，
即 ；
学科网（北京）股份有限公司又 ，
故 ；
因为 ，所以 ，
又 ，
又 ，所以 .
故选：D.
3．已知 ， ，则 ．
【答案】 /
【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可
【详解】由题意可知
，
即 ，
由题意可知 ，
则 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理的配凑即可处
理.本题已知 及 与 的关系，所以构造 ，利用整体思想凑出未知式计算即可.
4．已知 ，求 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得 ，再利用两角
和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得 ，继而利用三角恒等变换，化简
求值，即得答案.
【详解】由题意知，
即 ，
故 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，
故 ，
即
，
故选：D
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出 的表达
式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.
5．已知 ， 均为锐角， ，则 取得最大值时， 的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】由 ，两边同时除以 得
，再将 用 表示，再结合基本不等式求出 的最大值及此时
的值，再根据两角和的正切公式即可得解.
【详解】由 ，
两边同时除以 得 ，
所以 ，
因为 ， 均为锐角，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 取得最大值时， .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：将已知变形成 是解决本题的关键.
学科网（北京）股份有限公司1．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先证明 时， ，由b，c结合商数关系作商比较，由b，a结合二倍角余弦
公式作差比较.
【详解】如图所示：
在单位圆中，设 ，则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以当 时， ，
所以 ，则 ；
，则 ，
所以 ，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用单位圆证明 时， ，再利用此结论结合作差
法和作商法比较大小即可.
2．求值： （ ）
A． B． C．1 D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果.
【详解】由积化和差公式可得
，
故
，
由和差化积公式可得
，
故
所以 .
故选：A
【点睛】和差化积公式： ，
，
，
积化和差公式： ，
，
，
.
3．已知 ， ，则
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.
【详解】 ， .
，
， ，
， ，
又因为 ，所以 ，
则 ，所以
.
.
故选：A
1．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： ,
学科网（北京）股份有限公司即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．
3．（2021·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函
数的基本关系即可求解.
【详解】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 .
4．（2021·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处
理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过
齐次化处理，可以避开了这一讨论．
5．（2023·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关
系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司
