文档文本内容
专题5-3 诱导公式
【题型1】利用诱导公式求解给角求值
【题型2】利用诱导公式求解给值求值问题
【题型3】利用诱导公式化简与求值
【题型4】利用诱导公式证明恒等式
【题型5】诱导公式在三角形中的应用
【题型6】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值（重点题型）
【题型7】诱导公式与同角三角函数的综合运用
诱导公式
公式
终边关系
图示
公式
公式一
终边相同的角的同一三角
函数的值相等.
，
公式二
角π＋α 与角α 的终边关
于原点对称
公式三
角－α 与角α 的终边关于
x 轴对称
公式四
角π－α 与角α 的终边关
于y 轴对称
公式五
公式六
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
①“偶”当
中k 取偶数时，如
，三角函数名不变，符号由原
三角函数角所在象限决定；
②“奇”当
中k 取奇数时，如
，三角函数名改变，符号由原三
角函数角所在象限决定；
【题型1】利用诱导公式求解给角求值
解题思路：利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
【例题1】
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.
【详解】
.
【巩固练习1】
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.
【巩固练习2】（2024·高一·江苏扬州·期中）
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.
【巩固练习3】（2024·高一·安徽蚌埠·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.
【巩固练习4】点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
.
同理，
，
所以点P 位于第一象限．故选：A．
【巩固练习5】化简：
.
【答案】
【分析】利用诱导公式及同角的三角函数关系式化简即可.
【详解】原式
.
【题型2】利用诱导公式求解给值求值问题
利用诱导公式变形时注意“符号看象限”是看变之前的函数对应的象限符号
【例题1】已知
为第四象限的角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
为第四象限的角，且
，即
，
.
.
【例题2】已知
，且α 是第四象限角，那么
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，即
，
因为
是第四象限角，所以
，
所以
.
【巩固练习1】已知角
的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角
的终边与
角
的终边相同，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角函数定义求得
，再利用诱导公式化简即可.
【详解】由题意得
，
【巩固练习2】已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意利用诱导公式结合同角三角关系运算求解.
【详解】因为
，
且
，
，
所以
.
【巩固练习3】已知
为第二象限角，若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系式，可得答案.
【详解】由
，则
，
由
为第二象限角，则
，所以
.
【题型3】利用诱导公式化简与求值
基本步骤：先用诱导公式化简去括号，再进一步化简求值
【例题1】化简
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】直接利用诱导公式化简得解.
【详解】
.
【例题2】化简下列各式：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)1
(2)
【分析】利用诱导公式，化简求值.
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
【巩固练习1】（2024·高一·福建莆田·期末）化简求值：
(1)已知
，且
为第四象限的角，求
的值．
(2)已知
，求
的值．
【解析】（1）
，且
为第四象限的角
，
（2）原式
【巩固练习2】已知
．
(1)化简
；(2)若
为第三象限角，且
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）利用诱导公式代入计算即可得
；
（2）根据角的范围将
代入计算即可得
.
【详解】（1）
即
（2）由
，可得
．
因为
为第三象限角，
因此
，
故
.
【题型4】利用诱导公式证明恒等式
利用诱导公式化简后再证明等式两边相等
【例题1】求证：当
或3 时，
.
【答案】证明见解析
【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.
【详解】当
时，左边=
；
当
时，左边=
；
综上，
或
有原等式恒成立.
【例题2】求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】直接利用诱导公式化简左边即得证明.
【详解】证明：左边
=
右边，
所以原式或立．
【巩固练习1】已知角
的终边在第三象限，
，证明：
．
【解析】由题可知
．
．
为第三象限角，
为第三或第四象限角．
又
，
为第四象限角，
．
．
．
【巩固练习2】（1）求证：
；
（2）设
，求证
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.
【
详
解
】
（
1
）
左
边
=
=右边，所以原等
式成立.
（2）方法1：左边=
=
=
=右边，所以原等式成立.
方法2：由
，得
，
所
以
，
等
式
左
边
=
=
=
=右边，等式成立.
【巩固练习3】若
，求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】分
为偶数和
为奇数讨论，利用诱导公式化简即可证明；
【详解】证明：若
为偶数，则
左边
；
若
为奇数，则
左边
【题型5】诱导公式在三角形中的应用
因为三角形内角和为180°，所以提供了诱导公式变形的条件
A,B,C 为△ABC 的三个内角，则有
①
，
②
，
③若
，则
④若△ABC 为锐角三角形，则任意角的正弦值大于其它2 个角的余弦值
【例题1】（多选题）在△ABC 中，下列关系式恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】对于A 中，由
，所以A 正确；
对于B 中由
，所以B 正确；
对于C 中，由
，所以C 正确；
对于D 中，
，所以D 错误．
【例题2】在锐角
中，证明：
.(注：函数
在第一象限递增)
【解析】证明：因为
是锐角三角形，所以
，
【巩固练习1】（23-24 高一·浙江·期中）已知
为
的三个内角，下列各式不成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为π，逐个去分析即可选出答案．
【详解】由题意知，在
中，
，
对A 选项，
，故A 选项正确；
对B 选项，
，故B 选项正确；
对C 选项，
，故C 选项正确；
对D 选项，
，故D 选项不正确．
【巩固练习2】（23-24 高一上·广东深圳·期末）已知
是
的三个内角，下列条件是“
”的一个充分不必要条件的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】
根据题意要逐一判断由选项能否推出
，推出
为钝角三角形，其中A,C 项都
无从推出钝角，B 项可以利用诱导公式判断
是钝角，D 项利用两角差的余弦公式可推得
，从而得出钝角.
【详解】对于A 选项，由
可得
，则
可以是锐角或者钝角，无法判断
的符号，故A 项错误；
对于B 选项，由
可得
，因
，故
是钝角，
都是锐角，即有
；
反过来，由
可得
中必有一个钝角，当
时,
，故B 项正确；
对于C 选项，当
时，如果取
,则
，此时
，不
合题意，故C 项错误；
对于D 选项，由
可得
, 即
，因
,
,
则
，即
中必有一个是钝角，从而
是锐角，即
必成立，
反过来，由
可得
中必有一个钝角，当
时,
，故D 项正确.
【巩固练习3】在
中，
是钝角，设
证明：
.(注：函数
在第一象限递增)
【解析】证明：因为
是钝角，所以
都是锐角，
因为
，
同理
，所以
,
所以
【题型6】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值（重点题型）
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到2 个角的和差为
的整数时都可用诱导公式．
（2）对其中一个括号中的式子换元
（3）利用诱导公式变形，注意若题目给了象限范围则一般需要改变函数名
【例题1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
.
【例题2】若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
.
【例题3】若
是第四象限角，且
,
．
【答案】
【解析】因为
是第四象限角，所以
，
所以
，又
，故
在第四象限，
，
所以
，
所以
【巩固练习1】已知
，则
等于 ．
【答案】
【解析】
.
故答案为：
【巩固练习2】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.
【巩固练习3】已知
，则
的值为 ；
【答案】
【解析】
，
，
，
，
.
【巩固练习4】已知
，则
的值为
【答案】
【解析】原式
．
故答案为：
．
【巩固练习5】已知
，且
是第三象限角，求
的值．
【解析】因为
是第三象限角，所以
是第二象限角，则
，
又
，所以
是第二象限角，
可得
，
所以
．
【巩固练习6】（23-24 高一上·浙江温州·期末）已知
，
，则
【答案】
【分析】先求得
，再利用两角和的余弦公式求解即可．
【详解】因为
，
，
所以
，
则
．
故答案为：
．
【巩固练习7】（23-24 高一上·江苏南京·期末）已知
，则
的值是
.
【答案】
【分析】利用诱导公式得到
，再由同角基本关系式可解.
【详解】由于
，
所以
.
【题型7】诱导公式与同角三角函数的综合运用
【例题1】已知
，且
，则
＝ .
【答案】
【解析】∵
，
.
又
，
，
，
，
原式
.故答案为：
.
【例题2】在单位圆中，锐角
的终边与单位圆相交于点
，将射线
绕点
按逆时针方
向旋转
后与单位圆相交于点
．
(1)求
的值；
(2)记点
的横坐标为
，若
，且
，求
的值．
【解析】（1）由题意，
，
，
所
以
，
，
所
以
.
（2）由题及第（1）小问可得
，又
，
，
（3）
又
，所以
，所以
，
所
以
.
【巩固练习1】如图，以
为始边作角
与
，它们的终边分别与单位圆相交
于点P，Q，已知点Q 的坐标为
.
(1)求
的值；
(2)若
，求P 的坐标.
【解析】（1）因为点
在单位圆上且
，所以
，得
.
即
，且由三角函数定义知，
，
，
故
.
（2）由题意：
，
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故
.
【巩固练习2】已知
(1)若角
的终边过点
，求
；
(2)若
，求
的值．
【解析】（1）
若角
的终边过点
，则
，
所以
（2）若
，
所以
【巩固练习3】在单位圆中，锐角
的终边与单位圆相交于点
，连接圆心
和
得到射
线
，将射线
绕点
按逆时针方向旋转
后与单位圆相交于点
，其中
.
(1)求
的值；
(2)记点
的横坐标为
，若
，求
的值.
【解析】（1）由于点
在单位圆上，且
是锐角，可得
，
所以
，
所以
；
（2）由（1）可知
，且
为锐角，可得
，
根据三角函数定义可得：
，
因为
，且
，
因此
，所以
所以
.
