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第 1 讲 三角函数的图象与性质
[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图
象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以
选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．
考点一 三角函数的运算
核心提炼
1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α
.
2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
例1 (1)(2022·菏泽检测)已知角α的终边经过点(－1,2)，则cos 2α等于( )
A．－ B．－
C．－ D.
答案 B
解析 因为角α的终边经过点(－1,2)，
所以sin α＝＝，
cos α＝＝－，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－.
(2)已知sincos＝，且0<α<，则sin α＝__________，cos α＝________.
答案
解析 sincos
＝－cos α·(－sin α)
＝sin αcos α＝.
∵0<α<，
∴00，
sin 10°＝asin 100°＝asin(90°＋10°)＝acos 10°，
又因为sin210°＋cos210°＝1，
解得sin 10°＝，
cos 10°＝，
所以sin 20°＝2sin 10°cos 10°
＝2··＝.
(2)已知2cos＝cos(α－π)，则sin 2α＋cos 2α＝________.
答案 －
解析 ∵2cos＝cos(α－π)，
∴2sin α＝－cos α，
∴tan α＝－，
∴sin 2α＋cos 2α＝
＝＝－.
考点二 三角函数的图象与解析式
核心提炼
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤
例2 (1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于( )A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案 B
解析 依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩
大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝sin
―――――――――――――→y＝sin的图象――――――――――――――→y＝sin的图
象．
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的部分图象如图所示，则f(x)＝______.(填序号)
①2sin；
②2sin；
③2cos；
④2cos.
答案 ②③
解析 根据图象，可得A＝2，设f(x)的最小正周期为T，
则T＝－＝，
解得T＝π，所以ω＝＝2.
将代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中，
得2sin＝－2，
则＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
解得φ＝2kπ－(k∈Z)，
所以f(x)＝2sin(k∈Z)．
令k＝0，则f(x)＝2sin
＝2sin＝－2cos
＝2cos.
规律方法 由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为m，则M＝A＋
B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势
还是下降趋势．
跟踪演练2 (1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲
线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝sin.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z)．因为ω＞0，所以ω ＝.
min
(2)(2022·黄山模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了
得到y＝f(x)的图象，需将函数g(x)＝Acos ωx的图象至少向右平移( )
A.个单位长度
B.个单位长度
C.个单位长度
D.个单位长度
答案 A
解析 由图象可知A＝2，f(x)的最小正周期
T＝2×＝，解得ω＝2，
∴f ＝2sin＝2，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又－π<φ<0，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin
＝2sin.
∵g(x)＝2cos 2x＝2sin
＝2sin，
∴将g(x)的图象至少向右平移＋＝个单位长度可得f(x)的图象．
考点三 三角函数的性质
核心提炼函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋
2kπ(k∈Z)可得单调递减区间．
(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴．
(3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝
Asin(ωx＋φ)为偶函数．
例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若0)相邻两条对称轴之间的距离为2π，若f(x)在(－
m，m)上单调递增，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为f(x)＝sin(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离2π，
则T＝2π，即T＝4π，则ω＝＝，
则f(x)＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，
得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)在上单调递增，
由(－m，m)⊆得00)的最大值为2，若方程f(x)＝b
在区间内有三个实数根x，x，x，且x0，
解得a＝，所以f(x)＝2sin.
方程f(x)＝b在区间内的实数根，即为y＝f(x)在区间内的图象与直线y＝b的交点的横坐标，
如图所示，
由f(x)图象的对称性可知，＝，＝，即x ＋x ＝，x ＋x ＝，所以x ＋2x ＋x ＝(x ＋x)＋(x ＋
1 2 2 3 1 2 3 1 2 2
x)＝.
3
9．将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)
在上单调递增，则ω的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D.
答案 A
解析 依题意，得g(x)＝2sin
＝2sin ωx，由－≤ωx≤，ω>0得－≤x≤，于是得y＝g(x)的一个单调递增区间是，因为y＝
g(x)在上单调递增，因此⊆，即有≥，解得0<ω≤2，即ω的最大值为2.
10．(2022·山东联考)已知曲线C ：y＝cos 2x，C ：y＝－sin，则下面结论不正确的是( )
1 2
A．把曲线C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
1
单位长度，得到曲线C
2
B．把曲线C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
1
单位长度，得到曲线C
2
C．把曲线C 向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵
1
坐标不变，得到曲线C
2
D．把曲线C 向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵
1
坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，得到曲线C
2
答案 B
解析 对于选项A，把曲线C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到
1的曲线向右平移个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为
y＝cos＝cos
＝－sin，故A正确；
对于选项B，把曲线C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线
1
向右平移个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为
y＝cos＝cos≠－sin，
故B错误；
对于选项C，把曲线C 向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来
1
的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数解析式为
y＝cos＝cos
＝－sin，故C正确；
对于选项D，把曲线C 向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来
1
的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，所得曲线对应的函数解析
式为
y＝cos＝cos
＝－sin，故D正确．
11．已知函数f(x)＝|sin x|＋cos x，下列结论正确的是( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)为非奇非偶函数
C．f(x)在[0，π]上单调递减
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
答案 A
解析 由题意得函数的定义域为R，
关于原点对称．
f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以选项A正确，选
项B错误；
当0≤x≤π时，f(x)＝sin x＋cos x＝sin，令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z, 所以2kπ＋≤x≤2kπ
＋，k∈Z，
令k＝0得≤x≤，
令k＝－1得－≤x≤－，
所以此时函数的单调递减区间为，所以选项C错误；
f ＝＋cos＝，f ＝＋cos ＝0≠f ，即f(x)的图象不关于直线x＝对称，所以选项D错误．
12．(2022·潍坊模拟)设函数y＝sin在区间上的最大值为g(t)，最小值为g(t)，则g(t)－g(t)
1 2 1 2
的最小值为( )A．1 B.
C. D.
答案 D
解析 因为函数y＝sin的最小正周期为T＝＝π，
所以区间的区间长度是该函数的最小正周期的，
因为函数y＝sin在区间上的最大值为g(t)，最小值为g(t)，
1 2
所以当区间关于它的图象的对称轴对称，即对称轴为＝t＋时，g(t)－g(t)取得最小值，且此
1 2
时函数y＝sin在上有最值±1，
不妨设y在上有最大值g(t)＝1，
1
则有sin＝1，
所以sin＝1，
即2t＋＝＋2kπ，k∈Z，
得t＝kπ－，k∈Z，
所以g(t)＝sin
2
＝sin
＝sin＝，
所以g(t)－g(t)的最小值为.
1 2
二、填空题
13．(2022·黄山模拟)已知tan＝，则sin x＝________.
答案
解析 由tan＝，
得＝，
即＝，即cos2x＝sin x，
整理得sin2x＋sin x－1＝0，
而－1≤sin x≤1，
解得sin x＝.
14．(2022·石家庄模拟)已知角α的终边经过点P(8,3cos α)．则sin α＝________.
答案
解析 ∵|OP|＝＝，
∴sin α＝，
cos α＝，
∴sin α·＝3cos α，
即sin2α(64＋9cos2α)＝9cos2α，
∴sin2α[64＋9(1－sin2α)]＝9(1－sin2α)，即9sin4α－82sin2α＋9＝0，
解得sin2α＝9(舍去)或sin2α＝，
∵cos α>0 ∴sin α>0，
∴sin α＝.
15．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为
f(x)的零点，则ω的最小值为________．
答案 3
解析 因为T＝，f ＝，
所以cos＝，
即cos φ＝.
又0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝cos.
因为x＝为f(x)的零点，
所以ω＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得ω＝9k＋3(k∈Z)．
又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值，
且最小值为3.
16．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件
>0的最小正整数x为________．
答案 2
解析 由题图可知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝
2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，
则2×＋φ＝，得φ＝－，
所以f(x)＝2cos，
所以f ＝2cos
＝2cos＝2cos ＝1，
f ＝2cos＝2cos ＝0，
所以>0，
即[f(x)－1]·f(x)>0，
可得f(x)>1或f(x)<0，所以cos>或cos<0.
当x＝1时，2x－＝2－∈，
cos∈，不符合题意；
当x＝2时，2x－＝4－∈，
cos<0，符合题意．
所以满足题意的最小正整数x为2.
